切换思维和方法，灵活突围

2016-08-20丁虎平

初中生世界 2016年23期

关键词：树状平均数方差

丁虎平

切换思维和方法，灵活突围

丁虎平

在近几年中考命题中，“统计与概率”涉及的问题背景不断翻新，命题者用智慧设计出一道道亮丽的风景，因此我们的思维也要紧紧跟上.

一、巧用零头，化繁为简

在求平均数和方差时，如果数据较大，计算会很繁琐，我们可以设法将较大的数化为较小的数，简化运算.

1.巧用零头，计算平均数

例1（2015·温州）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核，甲、乙、丙各项得分如下表：

笔试　面试　体能甲83　79　90 乙85　80　75 丙80　90　73

（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；

（2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，请你说明谁被录用.

【巧思妙解】（1）选80分作为“基准”，分别计算各项成绩与80的差，得到每一项成绩的“零头”，计算这些“零头”的平均数再加上80即可.

∴84＞81＞80，

∴排名顺序为甲、丙、乙.

（2）将第（1）小题中得到的“零头”利用加权平均数的计算公式进行计算，再加上80即可.

由题意可知，甲不符合规定.

∴82.5＞82.3，

∴录用乙.

【解法说明】这种解法利用了平均数的性质：若一组数据“x1，x2，x3，…，xn”的平均数为，则另一组数据“x1+m，x2+m，x3+m，…，xn+m”的平均数为+m.用这个性质在求算术平均数和加权平均数时可以化大为小，化繁为简，事半功倍.

2.巧用零头，计算方差

例2（2015·镇江）某商场统计了2015 年1～5月A、B两种品牌的冰箱的销售情况，并将获得的数据绘制成折线.

（1）分别求该商场这段时间内A、B两种品牌冰箱月销售量的中位数和方差；

（2）根据计算结果，比较该商场1～5月这两种品牌冰箱月销售量的稳定性.

【常规思路】（1）从图中读取数据，然后排序求出中位数，直接利用方差的计算公式计算方差；

（2）根据方差的大小判断稳定性.

【巧思妙解】选取一个数据作为基准，用每一个数据减去这个基准，然后再利用方差的计算公式进行计算.

（1）由图可知：A种品牌1～5月的销量分别为：15，17，16，13，14，按照从小到大的顺序排列得到：13，14，15，16，17；B种品牌1～5月的销量分别为：10，14，15，16，20，

∴该商场这段时间内A、B两种品牌冰箱月销售量的中位数分别为15台、15台.

下面计算方差：

A种品牌1～5月的销量分别为：15，17，16，13，14，选13作为基准，用每个月的销量减去13得到一组新的数据：2，4，3，0，1，

B种品牌1～5月的销量分别为：10，14，15，16，20，选取15作为基准，用每个月的销量减去15得到一组新的数据：-5，-1，0，1，5，

∴该商场1～5月A种品牌冰箱月销售量较稳定.

【解法说明】方差实质是各个数据相对于平均数的波动程度，根据方差的性质可知：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，则方差为；而另一组数据x1+m，x2+m，x3+m，…，xn+m的平均数为+m，此时相应的方差s′2=，因此对于一组较大的数据，我们可以选取一个适当的数作为基准，然后用每一个数据减去这个基准得到一组新的较小的数据，然后计算这一组新数据的方差即可.此外，也可以直接算出一组数据的平均数，然后将每一个数据减去这个平均数得到一组新的较小的数据，然后计算这一组新数据的方差也可以达到同样的目的，

总之，利用转化的数学思想，将较大的数转化为较小的数，巧用“零头”，简化运算.