“圆”中错解，你有过吗？

赵萍萍



“圆”中错解，你有过吗？

赵萍萍

圆的学习，概念繁多，性质与判定交叉复杂，不少定理又有限制条件或前提条件，而且圆还具有多种对称性质，使得与圆有关的角、弦等位置关系充满着多种可能性，初学圆或综合起来解圆的习题时，有些同学就容易混淆概念或忽略不同情形，造成漏解、错解，下面我们做一些易错题盘点.

易错点1一条弦所对圆周角的值有两个，忽略其中一个

例1在半径为r的圆内，求长为r的弦所对的圆周角.

【错解】如图1所示，⊙O的半径为r，AB= r，∠ACB为弦AB所对的圆周角，连接OA，OB，则OA=OB=AB=r，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

图1

图2

【错解分析】产生错解的原因是只考虑了长为r的弦所对的圆周角的顶点在优弧上，却忽略了圆周角的顶点在劣弧上的情况.

【正解】如图1，当圆周角的顶点在优弧上时，同上；如图2，当圆周角的顶点在劣弧上时，∠ACB=180°-30°=150°.

易错点2证明切线时理由不充足，表达不规范

例2 如图3，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D，E分别是AC，BC的中点，⊙O是△DCE的外接圆.求证：AB是⊙O的切线.

图3

【错解】连接CO并延长交直线AB于F，

∵AC=BC，D，E分别为AC，BC之中点，

∴DC=EC=AD=BE，

∴DE∥AB，

∴O为CF中点，即有OF=OC，

∴AB为⊙O的切线.

【错解分析】证明中虽有OF=OC，但没有说明OF是圆心到直线的距离，理由不充足.

【正解】连接CO并延长交直线AB于F，

∵∠C=90°，∴DE为直径，点O在DE上.

∵AC=BC，D，E分别是AC，BC的中点，

∴CD=CE，DE∥AB，

∴O为CF中点，即OC=OF.

∵DE为⊙O的直径，OD=OE，

∴CO⊥DE，

∴OF⊥AB，

故AB为⊙O的切线.

易错点3当两圆相切时，只考虑一种情况造成漏解

例3半径分别为1 cm和2 cm的两圆外切，那么与这两圆都相切且半径为3 cm的圆的个数有（）.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【错解】A或C.

【错解分析】错选A的原因是只考虑所求圆与已知两圆外切的情形；错选C的原因是考虑所求圆与已知两圆都外切的情形，以及与其中一圆内切、另一圆外切的情形，漏掉了与两圆都内切的情形.所求圆与已知两圆的位置关系有五种情形：与两个圆都外切，符合条件的圆有两个；与其中一个内切，另一个外切，符合条件的圆也有两个；与两个都内切，符合条件的圆只有一个.

【正解】D.

易错点4滚动问题中弧长的计算出错

例4一个小朋友在粗糙不滑动的“Z”字型平面轨道上滚动一个半径为10 cm的圆盘，如图4所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60 cm，CD= 40 cm，BC=40 cm，请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度.

图4

【错解】此路线的长度为AB+BC+CD= 60+40+40=140（cm）.

【错解分析】如图5所示，圆盘在滚动过程中圆心经过的路线由四段组成，第一段：线段OO1，第二段：线段O1O2，第三段：O2到O3的一段圆弧，第四段：线段O3O4.显然路线长度不是线段AB、BC、CD的长度之和.

图5

【正解】由点O1分别作O1E⊥AB，O1F⊥BC，可得∠O1BE=∠O1BF=60°，

在Rt△O1BE中，

由BE=BF得，

由∠O2CO3=360°-120°-2×90°=60°，

O3O4=CD=40.

所以，圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的长度是

小试身手

1.（2015·黑龙江）如图6，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）.

A.60°B.120°

C.60°或120°D.30°或150°

图6

图7

2.（2015·南京）如图7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为（）.

参考答案

1.C

2.A解：如图8，连接OE，OF，OG，

图8

则根据矩形和切线的性质知，四边形AEOF，FOGB都是正方形.

∵AB=4，

∴AE=AF=BF=BG=2.

∵AD=5，

∴DE=DN=3.

设GM=NM=x，

则CM=BC-BG-GM=3-x，DM=DN+NM= 3+x.

在Rt△CDM中，由勾股定理得：

DM2=CD2+CM2，即（3+x）2=42+（3-x）2，

故选A.

（作者单位：江苏省南通市第一初级中学）