明辨条件，精准识别特殊四边形

周红



明辨条件，精准识别特殊四边形

周红

在数学模拟考试中，我们在选择题的第5题位置上选用了一道有关四边形的考题，然而全班却有四分之一的学生选错，其实这个题目很简单，看来还有不少同学对平行四边形的判定需要认真复习，下面我们先看这道考题：

例1（2015·连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）.

A.当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形

B.当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形

C.当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形

D.当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

【讲解】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，A不正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B正确；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，C不正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D不正确.故选B.

为了辨清特殊四边形的条件，以下再搜集一些平时易错的习题，罗列如下，供同学们纠错.

例2判断下列说法是否正确.

（1）有三个角相等的四边形是矩形；

（2）对角线相等的四边形是矩形.

【错解】（1）正确；（2）正确.

【剖析】（1）是把矩形的识别方法记错了，应是“有三个角是直角的四边形是矩形”，其中的条件是“三个角是直角”而不是“三个角相等”.（2）中错误地认为“对角线相等的四边形是矩形”，对矩形的识别方法理解不透彻.我们知道只有在平行四边形中加上“对角线相等”的条件，得到的才是矩形.

【正解】（1）错误；（2）错误.

例3如图1，已知在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC交于点E，∠B的平分线与AD交于点F，AE与BF交于点O，求证：四边形ABEF是菱形.

图1

【错解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，所以∠ABE+∠BAF=180°.

∵AE、BF分别是∠BAF、∠ABE的平分线，

即∠AOB=90°，

∴AE⊥BF，所以四边形ABEF是菱形.

【剖析】本题的推理看似严密，实际上忽略了菱形的判定条件，只有对角线垂直的四边形不是菱形，必须还要说明对角线互相平分，或者再说明四边形是平行四边形才能判定它是菱形.

【正解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAF=180°.

∵AE、BF分别是∠BAF、∠ABE的平分线，

即∠AOB=90°，所以AE⊥BF.

∵∠4=∠AFB，∠4=∠3，

∴∠3=∠AFB，

∴AF=AB.同理BE=AB，所以AF=BE.

又∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴四边形ABEF是菱形.

小试身手

1.（2015·梅州）下列命题正确的是（）.

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

图2

参考答案

1.D

2.2解析：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠B=90°.

由折叠可知AO=AD，CO=BC，

∠AOE=∠COF=90°，

∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，

∴∠CAB=30°，∠ACB=60°，

∵AB∥CD，∴∠OAE=∠FCO，

又∵AO=CO，∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∴EF与AC互相垂直平分，

∴四边形AECF为菱形，

（作者单位：江苏省海安县海陵中学）