一道课本习题的演变与拓展

康海芯



思维训练营

一道课本习题的演变与拓展

康海芯

频数分布直方图是初中数学的重要知识点，也是各类考试命题的热点之一，现以课本中一道习题的演变与拓展为例，与同学们一起走进丰富多彩的数据世界，感受它的魅力.

【苏科版八（上）课本第82页第7章7.4习题1】为了调查某市噪声污染情况，该市环保局抽样调查了40个噪声测量点的噪声声级（单位：dB），结果如下：

（1）在噪声最高的测量点，其噪声声级在哪个范围？

（2）噪声声级低于65 dB的测量点有多少个？

【解析】（1）因为频数分布直方图中噪声声级横轴从左到右依次增高，所以噪声最高声级在第5小组，其范围为75～80 dB；

（2）观察频数分布直方图可知噪声低于65 dB的测量点有两组，共14个.

变式一更换问题背景，侧重考查依据频数分布直方图提取信息的能力

例1某次考试中，某班级的数学成绩

统计图如下.下列说法错误的是（）.

A.得分在70～80分之间的人数最多

B.该班的总人数为40

C.得分在90～100分之间的人数最少

D.及格（≥60分）人数是26

【分析】观察所给的条形统计图，可知图中各个竖条表示的是不同分数段的人数，从统计图中可知得分在50～60分之间的有4人，得分在60～70分之间的有12人，得分在70～80分之间的有14人，得分在80～90分之间的有8人，得分在90～100分之间的有2 人.由此可知该班的总人数为4+12+14+8+ 2=40（人），及格（≥60分）的有40-4=36（人），故选项D不正确.

解：选项A、B、C是正确的，选项D是错误的，故应选D.

【点评】从频数分布直方图中提取信息时，关键是要正确理解直方图中横轴与纵轴所表示的含义，以及小长方形的高与各小组频数之间的关系.

变式二补充问题条件，侧重考查频数分布直方图与频数分布表之间相互转换的能力

例2某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查.下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：

频数分布表

频数分布直方图

（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；

（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）

（3）为了鼓励节约用水，要确定月均用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？为什么？

【分析】（1）根据调查数据可知5.0＜x≤6.5的频数为13，所以6.5＜x≤8.0的频数为5，据此可以将两个图表补充完整；（2）结合统计图写出有关的结论即可；（3）要使60%的家庭收费不受影响，即不超过家庭月均用水量的应有30户，依据这个数据确定月均用水量.

解：（1）填表如下：

（2）答案不唯一：如从直方图中可以看出：①居民月均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月均用水量在3.5＜x≤5.0范围内最多，有19户；③居民月均用水量在8.0＜x≤9.5范围内的最少，只有2户，等等.（符合题意即可）

（3）频数分布直方图补充如下：

【点评】解答统计表与统计图相结合的统计问题时，要善于将统计表与统计图中的已有信息相互对照，进行补充.

变式三改变设问方式，侧重考查依据频数分布直方图进行计算与推理的能力

例33月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为增强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

频率分布表

频数分布直方图

（1）这次抽取了_______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m=_______，n=_______；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？

（4）针对学生安全意识不强的现象，请你向学校提出一条合理化建议.

”计算n的值；

（2）依据m、n的值可以补全频数分布直方图；

（3）先求出样本中70分以下（含70分）的学生的频率，再用样本中的频率来估计全校安全意识不强的学生数；

（4）提出的建议要具体有操作性，符合题意即可.

解：（1）200，70，0.12；

（2）补全后的频数分布直方图如下图：

（3）1500×（0.08+0.2）=420（人）；

（4）答案不唯一，如开设安全教育课，开展安全知识讲座等.

【点评】借助“全国中小学生安全教育日”的背景考查频数分布直方图，将社会热点问题与数学应用有机地结合起来，同时又体现了用样本估计总体的思想.

（作者单位：江西省赣县江口中学）