高考数列求和中对错位相减法新的探索

◇ 湖北 吴 莎

高考数列求和中对错位相减法新的探索

◇ 湖北 吴 莎

数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数.数列中的每一个数都叫做这个数列的项.排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示.

数列求和是指对按照一定规律排列的数进行求和,即求Sn.实质上是求{Sn}的通项公式,应注意对其含义的理解.常见的求和方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等.数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要有一定的技巧.

错位相减法是数列求和中的一种重要方法,主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列求和,是等比数列求和公式推导过程的推广.

下面我们从一个高考题出发得到我们的结论.

例1 (2012年天津卷)已知{an}是等差数列,其前n项和Sn,{bn}是等比数列,且a1＝b1＝2,a4＋b4＝27,S4－b4＝10.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.

(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn,其中n∈N∗,证明:Tn＝an－1bn＋1＋8,n≥2.

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由a1＝b1＝2,得a4＝2＋3d,b4＝2q3,S4＝8＋6d.

(2)证明:由(1)得

由式①－②得

而当n≥2时,an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1,所以

通过上面的高考题发现一个有趣的结论:错位相减法求和的结论可以写成:Tn＝an－1bn＋1＋C(其中n∈N∗,n≥2,C为常数),那么这个结论是不是真的成立呢?能否给出证明呢?

经过反复的验证,我们发现上面的结论对于q＝2是成立的.

例2 (2012年江西卷)已知数列{an}前n项和Sn＝kcn－k(其中c、k为常数)且a2＝4,a6＝8a3.

(1)求an;

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

(1)由Sn＝kcn－k得

由a2＝4,a6＝8a3,可得

所以a1＝S1＝2,an＝kcn－kcn－1＝2n(n≥2).

(2){an}为等比数列,q＝2满足我们前面结论的条件,则有结论Tn＝an－1bn＋1＋C成立.T2＝1·a1＋2a2＝1·23＋C.所以1·2＋2·22＝1·23＋C得C＝2.所以Tn＝an－1bn＋1＋C＝(n－1)·2n＋1＋2,即有这样的结论:{an}是首项为a1、公差为d的等差数列, {bn}是首项为b1、公比为q＝2的等比数列(其中a1、d、b1均为常数),则{an·bn}的前n项和Tn,可以写成Tn＝an－1bn＋1＋C(其中n∈N∗,n≥2,C为常数).

上面证明了数列求和中与错位相减法有关的一个结论,应用该结论解答高考题,可以迅速找到结果,大大简化了计算量.其实我们在教学的过程中发现,数列错位相减求和法中存在更一般的结论:{an}是首项为a1、公差为d的等差数列,{bn}是首项为b1、公比为q的等比数列(其中a1、d、b1、q均为常数)则{an· bn}的前n项和Tn可以写成Tn＝(An＋B)·qn－B (其中n∈N∗,A、B均为常数).这个结论我们通过大量题目的验证,目前来说都成立,也尝试证明,但是难度较大,分享给读者.如果能得到证明,那么以后数列错位相减法将可以用待定系数法来解决,只需要决定公式中的常数A、B即可,大大提高学生解答数列求和问题的速度和准确率.

湖北省武汉市第十五中学)