中国城市地价波动的幂律特性

彭代彦，彭旭辉（华中科技大学经济学院，湖北 武汉 430074）

中国城市地价波动的幂律特性

彭代彦，彭旭辉
（华中科技大学经济学院，湖北 武汉 430074）

研究目的：实证分析中国城市地价波动的幂律特性，并比较幂指数的差异性。研究方法：最小二乘法（OLS），最大似然估计法（MLE），柯尔莫哥洛夫—斯米尔统计量。研究结果：中国城市综合地价、商服地价、住宅地价和工业地价的增长率波动都具有幂律特性，且所估计的幂指数都接近2，但工业地价对应的幂指数明显偏小，这些幂律规律与金融市场的幂律规律具有相似性，而幂指数却存在显著差异性。研究结论：城市地价波动的幂律特性是普适性的规律，能为土地市场进一步的发展完善提供有价值的政策启示。

土地经济；地价；幂律分布；最大似然估计；复杂系统

1　引言

土地是一种非常重要的不可移动的固定资产，地价是土地资产价值的反映。地价的波动不仅是整体经济运行的一种重要指标，也会对企业个体及整体经济运行产生重要影响，一定条件下甚至会对国民经济的发展带来长期性的阻滞效应［1］。日本在20世纪90年代的地价泡沫值得各国吸取教训，在泡沫破灭之前日本的平均地价从1981年到1991年增长了550%，彼时东京都的土地总价值甚至可以买下一个国家。然而在1992年地价达到峰值后，接下来的近十年中地价一直处于下跌趋势，到2002年时平均地价相对于峰值水平下降了大约70%，泡沫经济也由此破灭［2］，从此日本经济一直处于低迷状态，迎来“失去的二十年”。

最近十多年中国地价水平总体上处于波动上升的趋势，间或有下降的年份，2008年金融危机期间地价就呈现出下降的趋势。以中国三大重点经济区地价水平的变化趋势为例，环渤海、长三角及珠三角三大重点经济区的平均地价整体上升的趋势很明显，但工业地价的上升趋势却不显著，这大概与地方政府压低工业地价而进行引资竞争有关；而商服用地及住宅用地的平均价格却增长的很快，尤其是珠三角地区，其商服地价远远高于综合地价；三大区域的地价水平表现出的共同特点是商服地价最高，住宅地价其次，而工业地价是最低的①分析所用数据来自中国城市地价动态监测网（http：//www.landvalue.com.cn/）。。这也就不难理解地方政府通过商服及住宅用地的出让收入去弥补工业用地的现象了。

对于地价的波动，现有文献多研究其决定及影响因素，既有偏重宏观层面的，也有偏重微观地块交易的［3-5］。学界对房价及地价两者相关关系的研究文献也不少，典型的是基于时间序列的方法检验两者因果关系，以及使用面板数据等方法［6-10］。然而对于地价波动规律的研究很缺乏，赵奉军等［11］实证检验了中国土地交易价格的季节性并分析了季节性的根源，胡守庚等［12］基于多重分形方法的研究则发现城市地价数据主体部分服从近似对数正态分布，但两端数据显著偏离对数正态分布，其实两端的数据可能是服从幂律分布的。这与Kaizoji的研究具有类似性，Kaizoji通过研究发现日本的评估地价及地价变动率均服从幂律规律［13］。那么中国城市地价的变动是否也具有幂律规律呢？这需要进一步严谨的实证检验才能得以证实。从已有文献来看，尚未有研究对中国城市地价增长率的波动是否具有幂律特性进行系统的实证分析。地价的波动与经济增长以及宏观经济的波动具有很密切的关系［14-15］，地价可作为观察宏观经济运行的重要指标，其异常波动往往能提供更有价值的信息，而借助于幂律分布可以有效刻画异常波动值的规律，所以本文对城市地价波动的幂律规律开展深入分析，旨在为城市地价的监测和调控提供依据，使土地市场的管理更为科学。

2　幂律分布估计基本方法

幂律分布是复杂系统中的一个极具普适性的经验规律，也叫帕累托分布，最早是源于意大利经济学家帕累托的研究工作，其不仅广泛存在于物理学、生物学系统等自然科学领域中［16］，在经济和金融系统中也有大量应用［17-20］。经济学家Xavier Gabaix和物理学家Eugene Stanley等对幂律分布规律在经济金融学中的应用方面做了大量的研究工作，发现金融系统中的股价收益率及交易量等变量都服从普适性的幂律规律［21-24］，其成果对地价波动规律的研究具有很大的借鉴作用。

幂律分布的估计通常是采用位序—规模法则进行对数化的最小二乘法来近似，常规方法是先对数据进行从大到小的排序，再用位序的对数对规模变量对数进行最小二乘估计（OLS），即：

式（1）中，i表示规模变量的排序，Si表示第i个变量的规模大小，A为常数项，α为幂指数。

幂律分布的一般形式为P（S＞x）= k / xα，其中α为幂律指数，也称帕累托指数，k为常数。现实情况中往往不是研究对象的所有样本数据服从幂律分布，而只是大于某个最小临界值的数据xi≥xmin服从幂律，即其中的上尾部分服从幂律分布。虽然常规的对数化最小二乘法（OLS）简单方便，但这种方法存在系统性的偏误，且对于临界值的选取也没有可靠的规则，大多数的研究中是截取前5%或10%的样本进行估计，这样的经验处理方式主观随意性太大，并不科学。比较可行的方法是使用最大似然估计法（MLE），对于连续型变量的幂律分布，其幂指数的估计为：

而对于离散型变量的估计则较为复杂，一般可以用连续型变量的方法进行近似处理，得到的估计为：

为了得到拟合效果最好的模型估计结果，可以考虑通过一定的方法来保留合适的上尾，即选取合理的阈值截取分布前列的数据进行回归。这里借鉴Aaron Clauset等［25］提出的估计幂律分布的一般化方法来确定合适的阈值。具体方法是基于MLE来估计幂律参数，并结合Kolmogorov-Smirnov检验构造KS统计量

这里S（x）为xi≥xmin范围内的实际观测数据的累积概率分布（CDF），P（x）为该范围内估计所得的最优幂律分布模型的累积概率分布（CDF），对D最小化时所得的估计量x^min就是估计幂律分布时最合适的临界值。

3　城市地价波动的幂律分布实证

3.1主要数据来源

本文所用实证数据主要包括城市地价数据及地价增长率数据，均来源于《中国地价网》（http：//www.landvalue.com.cn/），这些地价数据是由国土资源部的城市地价动态监测系统发布，保证了数据的完整性和科学性。该系统发布的地价数据根据代表性监测地块的交易价格形成，相比于常规的总成交金额除以成交面积所得的平均地价更准确可靠，更重要的是还有连续发布的季度数据。本文将利用中国35个大中城市的地价增长率数据进行实证分析，数据的时间跨度为2004年第一季度到2014年第四季度。具体包括中国重点监测的35个大中城市综合地价、商服地价、住宅地价及工业地价4类地价的监测数据。

3.2城市地价波动的实证分析

股票市场价格的收益率变动规律具有幂律特性已被不少研究所证实，且幂指数αr≈3。那么城市地价的增长率变动是否也具有类似的规律以及同样的幂指数呢？

定义pt为某给定城市的地价，ri为城市地价的增长率，可以类似于股票收益率表示为Δt时间间隔的对数化变化，即rt= lnpt+Δt-lnpt，这里Δt为一个季度，当价格的变化很小时，可以近似的表示为离散形式的地价增长率，其实rt也可以看作是地价租金的收益率。那么城市地价增长率rt的绝对值也应该会服从如下经验性的幂律分布规律：

幂律分布幂指数的估计很关键，为了加强对比性，分别使用MLE估计方法和常规的对数化OLS估计了综合地价、商服地价、住宅地价及工业地价增长率对应的幂指数。运用Clauset等［25］提出的MLE方法进行参数估计，可以得到临界值x^min和幂指数及相应的自助稳健标准误，计算过程中自助抽样的次数为1000次。估计的结果如表1所示，从表1中的估计结果来看，MLE方法与OLS方法估计的幂指数相差不是很大，但OLS估计中报告的稳健标准误更小，而MLE方法中给出的为bootstrap稳健标准误。另外，OLS方法得到的拟合优度都很高，这也表明对数化的OLS方法对幂律分布的近似估计效果很好，尽管存在一些偏误，但是能够说明问题。

同时使用非参数的方法检验了样本数据是否真的服从幂律分布，采用Newman等［25］提出的判定幂律拟合好坏的p值，结果也报告于表中，该p值越大越好，表明支持样本数据服从幂律分布的证据更充分，临界值选为0.1，可以看到这里除了工业地价以外，其余地价类型相应的p值都大于0.1，进一步证实城市综合地价、商服地价、住宅地价都服从幂律规律，而工业地价服从幂律的证据似乎还不充分。

表1　地价增长率幂律分布的估计Tab.1 Estimation of power-law distribution for growth rates of land prices

为了直观的展示地价波动的规律性，给出了图1所示的综合地价增长率MLE估计结果的图示，图1纵轴为累积分布函数（CDF），坐标都经过对数化尺度变换，图2所示为对数化的OLS估计结果，与图1的上尾部分是一致的，其中OLS估计是选定临界值后所得结果。

图1　综合地价增长率幂律分布的MLE估计Fig.1 Maximum Likelihood Estimation of power laws for growth rates of integrated land price

图2　综合地价增长率幂律分布的对数线性估计Fig.2 Logarithmic linear estimation of power laws for growth rates of integrated land price

估计的结果显示，幂指数的数值都在2左右，且对数化OLS估计与MLE估计的系数结果都很接近，OLS估计的拟合优度也都很高，对于p值，除了工业地价外，其他类型地价都显著大于0.1的临界值，说明这些地价的波动规律确实很好的服从幂律分布。幂律分布的幂指数大小往往能反映出均匀性程度，幂指数越大则分布越均匀，相反幂指数越小则分布就更不均匀，出现极端值的可能性就更大。从各类型地价的幂指数大小来看，综合地价对应的幂律分布指数是最大的，其波动性也就表现得最为均匀。住宅地价的幂指数与综合地价的最为接近，其波动性也相对均匀些，因为住宅用地无论是出让面积还是出让金额都在整个土地出让中占有较大比例。

深入对比三种分类地价波动规律的估计结果，可以看出商服地价和住宅地价对应的估计系数很接近，都大约等于2，且两种估计方法所得结果均如此，这表明商服地价和住宅地价的市场运行规律是一致的。自2002年出台《招标拍卖挂牌出让国有土地使用权规定》之后，城市土地出让市场不断完善，经营性用途的商住用地大都采用更为市场化的招拍挂出让方式，各大城市的商服用地及住宅用地的交易价格也更为市场化，所以商服地价和住宅地价波动的幂律规律趋于一致了。不过住宅地价对应的幂指数相对于商服地价偏大，原因在于住宅用地的交易规模一般更大且具有一定连续性，而商服用地的交易规模一般较小且可能存在间断性，这样就使得住宅地价的波动相比商服地价显得更为均匀和平稳，即表现出住宅地价对应的幂指数相对更大一点。

工业地价变动规律的幂指数则最小，明显与住宅地价及商服地价对应的幂指数存在较大差异，这与中国特殊的工业用地出让模式有很大关系。很多地方工业用地虽然出让面积很大，但市场化程度并不高，采用协议出让方式较多，绝大数还受到地方政府的行政性干预。在中国现行的地方分权体制下，地方政府为了发展经济有强烈的动机开展引资竞争，工业用地也就成为重要的土地引资手段，由此地方政府会倾向于极大的压低和人为调整工业地价，甚至会出现无底线的土地引资竞争，使得工业地价远远偏离其真实的市场价值和运行规律。从工业地价增长率的波动情况也可以发现，大多数时候工业地价都会保持不变，而少数时期则大幅度的增长，跳跃性比较大，这种间断性的调整往往是地方政府为维持土地引资竞争而采取的拖延性策略。所以工业地价的波动相比于商住地价更为不均匀，也更偏离工业用地真实的市场价值，这种偏离市场价值的地价波动也是工业用地利用效率低下的表现，未来应该更进一步的对工业用地的出让市场化。

以上的实证结果很清楚的表明城市地价波动具有幂律特性，不仅综合地价的波动服从幂律，而且细分类型的商服地价、住宅地价及工业地价都服从此规律，并且除工业地价外幂指数都接近于2，具有很大的一致性和普适性。然而地价波动的幂律特性与股价波动的幂律特性仍存在一定区别。股票价格收益率的幂律规律被称为“反立方定律”（inverse cubic law），即幂指数约等于3，且极具普适性，时间间隔从分到月的数据都符合，对于不同市值的股票，不同时期和不同的股票市场等都存在类似规律。而以上的结果显示城市地价增长率的幂指数大约等于2，与股价波动对应的幂指数并不一样，这应该是由土地市场交易和股票市场交易的差异性所决定的，同时幂指数的大小也反映出地价的波动没有股价波动表现的那么均匀。股票市场流动性大，交易过程接近完全竞争，并且是高频交易，而土地市场的流动性很小，交易的频次也相对较少，而且中国的土地市场很特殊，政府主导和人为干预的程度比较强，具有很大的垄断性。这些特有的差异性使得城市地价波动幂律分布的幂指数与股价波动幂律分布的幂指数具有较大不同，然而它们所表现出的规律却具有类似性，即都服从幂律分布规律。

从复杂系统的视角来看，城市也是一种典型的复杂系统，大量研究发现城市系统中存在普适性的标度规律，而幂律就是其中的一种典型模式［26-29］。城市地价变动实质上是城市系统自组织过程运行的结果，城市系统面临各种资源约束和竞争，地价的变化并不是独立运动的，而是作为城市系统自组织过程的一部分。在地价增长过程中由于存在着各种竞争机制，一个城市的地价不会无限增长或下降，增长率越大的时点出现的频率越小，由此城市地价增长率的整体规律就表现出典型的幂律特性。工业地价幂指数与其他类型地价幂指数的差异性也是工业地价增长过程中市场竞争机制不完善的一种反映。很多研究指出了城市地价的各种决定因素，不同的地理位置、规模、资源禀赋、经济发展和市场规制等这些因素都会决定城市地价的差异性［30-32］。尽管不同城市地价水平各有不同，同一城市不同时点的地价也不同，然而在忽略地价决定的细节因素的情况下，城市地价增长率却仍能在整体上表现出幂律分布的共同规律。这是由于城市系统具有典型的分形几何特性，作为城市系统一部分的地价增长过程也就具有自组织相似性，再加上城市系统内在的竞争机制的作用，地价增长率最终就表现出复杂系统中普遍存在的幂律规律。

4　结论与讨论

本文基于城市地价的季度数据，使用了更为一般化的幂律估计方法对中国城市地价的波动规律进行了严谨的实证分析，结果发现城市地价的波动具有幂律特性，无论是综合地价，还是细分的商服地价、住宅地价以及工业地价都具有幂律规律，而且除工业地价外幂指数都接近2，表现出很大的一致性，其中工业地价的幂指数最小，这应该与工业用地的出让不够市场化和竞争机制不完善有很大关系。这些规律可以说是土地市场的普适性规律，不随城市规模大小、地理位置等个体异质性差异而变化。城市地价波动的这些统计规律虽然与股价的波动规律具有较大的类似性，但幂指数的大小存在一定差异性，主要是由于土地市场与股票市场交易的差异性所致，股票市场是接近于完全竞争的流动性市场，而中国的土地市场具有典型的垄断性和一定的非流动性。本文的实证研究从不一样的侧面提供了城市系统以及复杂系统中幂律规律的现实证据，这些实证结果可以从经济物理学及复杂系统自组织分形理论进行解释。城市地价增长过程在城市系统中具有自组织相似性结构，同时受到城市系统内在竞争机制的约束作用，所以使得城市地价增长表现出幂律特性。这种规律性广泛存在于复杂系统之中，不同类型系统所表现出的规律也都是类似的，差异性一般只是体现在幂指数的不同上面。另外，地价增长的幂律特性是自身系统中存在的普适性规律，其与城市的个体异质性以及地价的决定因素等几乎没有关系。

虽然还不知道城市地价波动规律的幂指数理论值为多少，但通过简单比较仍然可以发现一些有益的政策启示。本文的实证结果表明工业地价的幂指数明显偏小，价格波动相对商住地价更为不均匀。商住用地大多采用更为市场化的招拍挂出让方式，其地价变动的幂指数反映的是土地价格波动更为市场化的规律，而工业用地以协议出让为主，其价格机制不健全，存在资源配置扭曲，工业地价变动的幂指数偏小由此也反映出对土地市场规律的偏离。所以未来土地市场管理的重要任务之一是应该进一步提升工业用地出让的市场化水平，以提高工业用地的资源配置效率。

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（本文责编：郎海鸥）

Power Laws Features of Land Price Fluctuation in Chinese Cities

PENG Dai-yan，PENG Xu-hui
（School of Economics，Huazhong University of Science & Technology，Wuhan 430074，China）

The purpose of this study is to empirically explore the power-law features of land price fluctuation in Chinese cities，and compare the differences between the power-law exponents.The methods used include Ordinary Least Squares linear regression and Maximum Likelihood Estimation combining with Kolmogorov-Smirnov（KS）statistic.The results find that the fluctuation of growth rate of four different types of land price in Chinese cities，including integrated land price，commercial land price，residential land price and industrial land price，all obey power laws.The estimated exponents for land prices are approximately equal to two，but exponent for industrial land price is smaller.These power laws in land market are similar to those in financial market，yet they have significantly different scaling exponents.We conclude that the power-law features of land price fluctuation in Chinese cities are universal laws，and these statistical regularities can provide valuable policy implications for further improvements in land market.

land economics； land price； power-law distributions； maximum likelihood estimation； complex systems

F301.3

A

1001-8158（2016）01-0061-07

10.11994/zgtdkx.2016.01.007

2015-07-15；

2015-09-18

华中科技大学人文社会科学重大交叉研究项目（2014WZ06）；华中科技大学自主创新基金项目（2014AA046）。

彭代彦（1964-），男，湖北仙桃人，教授，博士生导师。主要研究方向为发展经济学，福利经济。E-mail：Pengdaiyan0880@126.com

彭旭辉（1987-），男，湖北红安人，博士研究生。主要研究方向为土地经济、发展经济学。E-mail：pxhust@126.com