信号与系统频域分析教学案例设计

曹英丽 许童羽 陈春玲 姚萍 杜梦媛

摘要：为解决信号与系统课程频域分析物理概念复杂、理论计算枯燥、学生理解困难等问题，通过对电力谐波分析评估科研项目分析、提炼、分解，设计频域分析教学案例，分析电力谐波检测的工程背景与问题提取，运用傅里叶变换实现谐波检测，探讨基于傅里叶变换谐波检测的频谱泄漏等工程问题。

关键词：信号与系统；频域分析；教学案例；科研实践

中图分类号：G424.2 文献标识码：A 文章编号：1674-1161（2016）05-0090-03

“信号与系统”是电气电子信息类本科专业必修专业基础课程，该课程的学习效果直接影响后续数字信号处理、通信原理等课程的学习，并且对学生建立信号分析与处理基本能力至关重要。然而，该课程物理概念抽象、数学推导复杂，涉及到大量理论计算，尤其是信号与系统的频域分析理解困难，导致大部分学生仅能够进行机械的数学演算，不理解频域分析的物理概念和工程含义。因此，有必要结合信号分析工程应用实际，对具体项目进行分析、分解，提炼出适当的教学案例。在频域分析知识点的讲解中借助案例分析，能够使学生更直观体会频谱的物理概念，了解频域分析能解决的工程问题，深入理解傅里叶变换的基本原理。现结合本团队电力谐波检测评估的科研课题，对其工程背景进行分析与提炼，设计电力信号频域分析教学案例，即电力谐波检测与分析。

1 电力谐波检测工程需求与问题分析

变频装置、电弧炉、电气化铁路等电力电子装置的广泛应用，不可避免的使电网电流和电压波形产生较大畸变，向电网中注入与基波频率成整数倍的频率分量，即谐波分量。电力谐波对电网具有很大危害：可能引发谐振现象，导致电容器、互感器等设备因过电流或过电压而损坏甚至爆炸；可能引起电压波形过零点偏移，正负半波幅值变化，导致继电保护等保护设备拒动作或误动作，影响电网正常运行。因而，国际（IEEE、IEC等）及国内制定相关电能质量标准，限制电网中谐波含量。谐波准确检测是电网谐波评价与抑制的基础。

目前，傅里叶分析方法（FT）仍是谐波分析检测的主要方法。IEC国际标准61000-4-7和国家标准均给出了基于快速傅里叶变换（FFT）谐波子组测量方法，我国50 Hz电力系统的谐波频谱分析时间长度为10周波，即200 ms；数据截断窗函数为矩形窗；各个频率分量计算采用组/子组计算方法；需采用同步锁相技术。

在案例设计中应注意如下问题：1） 介绍电力谐波分析的工程背景，使学生直观体会信号与系统频域分析理论能够解决的实际工程问题；2） 电力谐波检测的工程实际应用的理论算法为傅里叶频域分析方法，带领学生复习与熟悉FT算法的理论计算与推导，在理解物理概念基础上完成理论计算；3） 应用FT理论方法时，注意增加分析窗函数长度、组/子组谐波计算等工程限制，让学生体会理论方法在工程实际应用的具体实施方法；4） 谐波分析中通过比对理论计算值与真实计算值的差异，让学生体会傅里叶分析方法频谱泄漏等工程问题，并给予理论解释。

案例设计应紧扣频域分析教学内容，与频域分析知识点紧密联系，起到触类旁通的作用，同时兼顾实践性和启发性，使其能够切实服务于信号与系统课程教学。

2 频域分析教学案例实施

2.1 谐波检测的理论算法

根据IEC61000-2-1国际标准定义，谐波频率为基波频率的非整数倍。50 Hz电力系统电压/电流二次谐波、三次谐波的频率分别为100 Hz，150 Hz，其它谐波频率以此类推。傅里叶分析方法将信号表示为众多正弦信号之和，如公式（1）的傅里叶逆变换；傅里叶变换为信号各个频率分量的大小，如公式（2）的傅里叶变换，可以应用傅里叶分析方法检测电网谐波分量。

工程实际谐波测量或Matlab仿真均需采用数字信号处理方法，对应频域分析方法为离散傅里叶变换（DFT），因此需对信号x（t）进行采样得到有限长离散序列x（n），采样率fs=10 kHz。截取x（t）的10个周期波形，因信号被离散化，采样周期为0.1 ms，即一个周期采200个点，所以截取2 000个点实现同步截断，再对采样离散序列进行DFT算法处理得到频域。利用MATLAB中的快速傅里叶变换（FFT）进行时域频域转换，其时域波形与频谱图如图1所示。

根据傅里叶变换结果计算各频率分量大小，检测该信号中包含的4个频率分量：基波、三次谐波、五次谐波和七次谐波，相对幅度分别为1.00，0.17，0.05和0.02，仿真检测结果与理论值一致，验证傅里叶分析方法谐波检测的准确性。同时，对比国家标准规定的各次谐波限值，即可实现电网谐波含量的评估与监测，为后续谐波治理提供依据。

2.3 傅里叶分析的频谱泄漏

工程中基于傅里叶分析的谐波检测存在频谱泄漏问题，因此，在实际谐波检测中，分析信号的时间窗长度与电力信号频率同步至关重要，现就该工程给予理论分析与解释。从傅里叶分析公式（2）可知，信号频谱是分析信号从负无穷到正无穷无限长信号的总体特性，而工程上借助计算机分析谐波分析仅能处理有限长度的信号。傅里叶变换为离散傅里叶变换，但在具体实现时，计算机将截断的有限长度信号进行周期延拓来近似无限长信号，然后进行傅里叶变换。如果同步截断，则周期延拓后信号与原信号一致，如图2所示；如果非同步截断，则周期延拓后信号在延拓节点产生突变点，其频谱会出现非正常频谱分量（见图2），该现象称为频谱泄漏。由理论分析可知，频谱泄漏出现的频率成分并不是原信号本身具有的频率分量，影响电力谐波检测精度，因此在工程实际检测中应尽量避免频谱泄漏的发生。

3 结语

对电力谐波检测工程应用进行分析、分解与提取，设计信号频域分析的工程案例，给出傅里叶变换在工程谐波检测中的理论方法、谐波检测Matlab仿真实现，以及工程实际中谐波检测的数字实现方法，分析频谱泄漏等工程问题，并给予理论解释。从理论方法、问题提取到工程实现，整个教学案例提供全面分析，将晦涩的理论知识具体化、形象化，有助于学生深入了解傅里叶变换频域分析理论，激发学生学习热情，促进教学环节的师生互动与讨论。

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Abstract： In order to solve the problems in frequency domain analysis of signal and system teaching， such as complex physical concept， boring theoretical calculation and hard understanding for students etc， the scientific research project of electric power harmonic analysis and evaluation was analyzed， refined and decomposed for the teaching case designing of frequency domain analysis. The engineering background and problems extraction were analyzed， and the power harmonic detection was provided by using Fourier transform. The detection problem such as spectrum leakage in harmonic detection based on DFT was discussed.

Key words： signal and system， frequency domain analysis； teaching cases； scientific research practice