金融投资组合的数学模型综述

李苗在

摘 要：金融市场数学模型就是将所研究的对象数量化，然后根据建立数学模型的理论知识分析现代金融市场中金融资产和其衍生产品的价格，进行投资等金融决策.金融投资市场中的数学建模也简称为经济中的模型，现在已经成为金融分析的重要流行趋势.其最重要的突破便是在金融经济市场体制下建立了资本资产定价模型和证券组合投资模型，后者对于现代金融市场更加重要.

关键词：模型 金融投益 风险

一、引言

经济学家马柯威茨认为投资组合是一个各种资产的，并且每项资产相联系的平均收益和受益方差都在这个集合之中.运用数学理论知识和方法阐述现代社会的经济现象就是现代金融市场中的数学模型运用，也可以理解为是对经济现象和经济过程中各种客观存在的变量之间的相互依存关系的数学描述，其目的为研究人们的经济行为，并根据模型相关知识来指导人们做出最优的经济行为.

二、金融投资组合的数学模型

1.金融问题的提出。若在金融市场上存在n种资产Si提供给投资者进行投资选择，且在某一时期购买资产Si的平均收益率为ri，投资风险损失率为qi，交易费费率为pi均为已知条件，假设当投资者购买该资产不超过给定值ui时，则交易费就按购买资产ui算.而且已经知道在同一时期内银行的存款利率为r0，不存在交易费和风险.从而提出以下问题：在投资资产和银行存款中如何进行合理选择，使得在获得高额收益的同时降低投资风险的成本.在本文的模型中有如下假设：所投资的资产收益率是进行投资的过程中利用数学知识计算出的随机变量，其中数学期望值为投资的盈利，同时标准差衡量投资的最小风险；在现代金融市场中，投资者最开始进行投资时，有三种决策形式：第一种是投入银行获取银行利息，第二种是投资金融资产获取收益，第三种就是简单的当做资金；模型中总体风险指的是投资者投资资产Si中最大的一个风险度量；xi表示投资者投资资产Si占总体投资的比例.

2.金融投资组合的数学模型。怎样进行决策才能在得到高额收益的同时降低风险成本，就需要对上述建立的数学模型进行优化.下面将分三种情况对上述的金融投资收益与风险的模型进行简单优化。证券投资组合分析是现代市场机构和个体金融投资者进行金融投资的重要理论内容.它分析的主要内容为证券的收益率和风险的关系从而构造合理的证券组合模型和最优的金融投资模型.从而通过对该理论的分析，为现代金融市场中投资者提供在一定风险条件下，得到最大预期收益的投资组合，或是在一定预期收益条件下，付出最小风险成本的证券组合。

假设金融投资者选择n种风险不相关的资产，对这些资产进行组合分析，设R=（r1，r2，...rn）为投资者所投资的资产的期望收益率向量，其中为该风险阵中的一个对角阵，该资产的投资比例向量为X=（x1，x2，...xn）.其中>0，因此可以知道风险阵V是一个正定阵，。

记，，，，易得出：

2.1 不相关风险资产投资优化数学模型及算法。假设投资者只对不相关风险资产进行组合投资，其中不相关风险资产组合的期望收益率为：

不相关风险资产组合的风险为：，假设r1

2.2存在无风险资产投资时不相关资产组合投资数学优化模型及算法。在实际投资环境中，无风险投资资产指的是对于投资者来说存在着风险相对很小且投资收益相对稳定的资产，例如短期融资券、短期财产抵押贷款及短期银行储蓄等.由于上述投资资产所受到的市场经济体制中的各类事物变化譬如通货膨胀的影响较小，并且它们的投资收益相对稳定，投资风险较小，因而可看作无风险资产。任意在金融市场中选取1种无风险投资资产和n种各不相关风险投资资产进行有效的组合.假设此类组合投资资产中无风险资产的投资利率为rf，即无风险投资资产的收益率为rf，因此，可假设无风险投资资产的收益率rf

2.3存在无风险资产贷入时不相关资产组合投资优化数学模型及算法。假设无风险贷入资产的利率为rg，显然可得出rf≤rg≤rn，且无风险贷入资产的贷入比例为，则不相关资产组合优化模型为： （2-7）

则有以下结论：当时，对无风险贷入资产时不相关资产的组合优化模型（2-7）进行二次规划的最优解唯一确定：

当时，

求解出的最优解为：

当时，求解出的最优解xk是由上式计算求得的.

參考文献：

[1]朱顺泉.金融财务建模与计算——基于VBA与MATLAB实现[M].北京：电子工业出版社，2009.

[2]凌晓东，刘萍.金融资产组合优化的模型和数值实现[J].数量经济技术经济研究，1995（3）.

[3]卢京，张卫国.选择金融资产组合投资策略的优化方法[N].宁夏大学学报（自然科学版），1997-04.

[4]张卫国，卢京.金融资产组合投资策略的优化[J].自然杂志，1998（2）.

[5]袁黎黎.金融数学发展综述[J].商品与质量，2011（7）.

[6]张瑞兰，梁建英.提高金融资产组合价值的优化模型[J].价值工程，1998（3）.