矢量对偶形态学算子

雷　涛,张艳宁，樊养余,王小鹏,王履程

(1.西北工业大学计算机学院，陕西西安 710129；2.西北工业大学电子信息学院，陕西西安 710129；3.兰州交通大学电子与信息工程学院，甘肃兰州 730070)



矢量对偶形态学算子

雷涛1,3,张艳宁1，樊养余2,王小鹏3,王履程3

(1.西北工业大学计算机学院，陕西西安 710129；2.西北工业大学电子信息学院，陕西西安 710129；3.兰州交通大学电子与信息工程学院，甘肃兰州 730070)

对偶性是形态学算子的重要性质之一,且具有重要应用.现有的矢量形态学算子均难以满足对偶性,从而限制了矢量数学形态学理论的发展及应用.为了解决该问题,研究了现有矢量形态学算子的性质,发现彩色空间和矢量排序算法是导致矢量形态学算子难以满足对偶性的两个关键因素.通过选用对称彩色空间,利用矢量对称距离实现了具有对偶特性的矢量形态学算子.为了验证矢量对偶形态学算子的性能,给出了满足对偶特性的矢量形态学滤波及梯度算子,并将其应用到彩色图像滤波及边缘检测中.实验结果表明,矢量对偶形态学算子较传统的矢量形态学算子具有更好的对称性,对噪声条件下的图像进行滤波及边缘检测,均获得了更好的处理效果.

数学形态学;矢量形态学算子;彩色图像处理;对偶性

1　引言

数学形态学(MM(Mathematical Morphology))是一种利用非线性技术处理图像的高效方法,其理论依据是数据处理必须基于完整的网格空间,即定义形态学算子之前必须对数据集合中的元素进行排序.由于一维实数具有确定的完整网格空间,因此经典的二值、灰度形态学算子具有统一的定义和性质.而高维数据(例如:彩色图像,高光谱图像)不具有确定的完备网格,导致在多种矢量排序规则下涌现出各种不同的矢量数学形态学算子[1].因此,矢量排序算法成为当前国内外学者的研究热点.

主流的矢量排序算法主要有3类:

(1) 条件顺序(Conditional ordering)

条件顺序是通过选择部分边缘分量,然后对各个分量进行等级排序,参与矢量排序的各分量根据等级位置不同而起不同的作用.条件顺序中的典型例子就是词典编纂顺序,它是目前矢量排序算法中应用最为广泛的一种.在文献[2]中,Vardavolia首先定义了具有两层词典编纂顺序的矢量排序算法(VS,Value-Saturation).Louverdis在此基础上增加了色调分量,定义了三层词典编纂顺序VSH(Value-Saturation-Hue),并将其应用于彩色图像处理中[3].然而,由于数学模型简单且未对多通道图像做任何预处理,基于VS和VSH构建的矢量形态学算子在处理多通道图像时具有较多缺陷,因此难以被广泛应用.针对该问题,Angulo提出了基于超复数表达的矢量形态学算子,并给出了几种基于超复数分解的词典编纂顺序,其中基于垂直分量、水平分量、R、G、B的五层顺序具有最好的矢量排序效果[4,5].词典编纂顺序的优势在于矢量排序规则符合多变量数据特征,因此应用最为广泛.然而,由于词典编纂顺序中各分量的等级必须依赖于彩色分量的选择,且等级较低的彩色分量难以参与到最终输出的决策中,导致传统的基于词典编纂顺序的多变量形态学算子性能较低.

(2) 退化顺序(Reduced ordering)

退化顺序也称为降维顺序,是利用降维算法将高维数据变为实数值.降维后的实数集合具有完整的网格空间,可以使用经典形态学理论进行处理.退化顺序的优势在于计算简单,可以将灰度数学形态学算法直接应用于彩色图像处理.Witte在RGB彩色空间中,利用欧式距离定义了矢量形态学腐蚀、膨胀算子以及形态学组合算子[6].Plaza等人利用两类矢量滤波器定义了矢量形态学腐蚀和膨胀,然而,该算子并不满足集合连通性,被称为伪形态学算子[7].Angulo在此基础上,总结并提出了基于距离的矢量排序规则,并定义了新的彩色形态学算子,将其应用于彩色图像滤波、增强和分析,取得了较好的效果[8,9].近来,雷涛等人提出了基于混合距离的矢量排序方法,该方法直接将多通道数据转换为一维实数用于矢量排序,因此计算复杂度较低[10].由于矢量距离综合考虑了彩色图像的各个分量,一定程度上能对矢量进行较为客观的排序,因此基于距离的矢量形态学算子具有较高的鲁棒性.然而,传统的矢量距离需要定义一个参考色vref,根据矢量形态学滤波器中提出的平均距离虽然能解决该问题,但计算量较大.

(3)模糊词典编纂顺序(Fuzzy lexicographical ordering)

模糊词典编纂顺序是在词典编纂顺序的基础上,利用模糊数学对各层分量进行模糊排序,使得词典编纂顺序中各分量等同参与到矢量排序决策中.模糊词典编纂顺序解决了传统词典编纂顺序仅依赖等级较高分量的问题.由于各分量等同参与到矢量排序决策中,因此该类矢量排序算法具有较高的鲁棒性.针对条件顺序和退化顺序对矢量数据排序结果较差的问题,Louverdis 最早在HSV彩色空间中提出了模糊矢量形态学算子.该算子明显改善了基于传统词典编纂顺序构建的矢量形态学滤波算子的性能,且提升了对多通道图像的滤波效果[11].Aptoula等人在此基础上提出了基于α修剪的词典编纂顺序,该顺序利用参数α与矢量值相乘,然后取整的方法放宽词典编纂顺序的上一层条件,使得运算可以进行到最后一层,得到更为客观的矢量排序结果,一定程度上提高了矢量形态学算子对多通道图像的处理效果[12,13].雷涛等人提出了基于四元数分解的模糊矢量形态学算子,选择了新的边缘分量,结合模糊词典编纂顺序,从而得到新的矢量数学形态学算子.该算子在彩色图像滤波、分割中具有实用性,滤波结果接近经典的矢量中值滤波器(VMF)[14].

近年来,随着机器学习、流形计算等新的数学理论在图像处理中的广泛应用,各种新的矢量排序算法不断涌现.针对矢量排序问题,学者们提出了基于随机投影深度函数、监督和半监督学习、等级变换、流形学习、不变组帧等各种新的矢量排序算法.新的算法对传统矢量排序算法做了不同程度的改进.然而,一个通用性问题目前仍未见到有关文献报道,即矢量形态学算子的对偶性.通过分析现有的各种矢量形态学算子,我们发现:矢量形态学滤波算子中,只有以腐蚀起始的算子具有滤波作用,而以膨胀运算起始的矢量形态学滤波算子难以有效降低图像中的噪声,甚至放大了图像中的噪声,这一结果与经典的形态学理论相矛盾.

针对上述问题,论文通过实验发现现有的矢量形态学算子均不满足对偶特性,通过理论分析揭示了现有的矢量形态学算子不满足对偶性的原因,最后根据灰度形态学算子满足对偶性的基本条件(网格中极值的对称性)选用了严格对称的RGB彩色空间,并构建了一对具有对称特性的矢量距离作为矢量形态学算子的极值输出规则,从而得到满足对偶性的多变量形态学算子.实验表明,本文提出的多变量对偶形态学算子继承了经典形态学算子的对偶特性,并拓展了其应用范围.

2　多变量对偶形态学算子

由于矢量形态学算子的性能主要依赖于彩色空间和矢量排序算法.我们首先分析彩色空间对矢量形态学算子性能的影响.

2.1彩色空间

在现有的多变量形态学算子中,选用的彩色空间主要有RGB、HSV/HIS、HSL、CIELAB四种,由于计算机基于RGB彩色空间显示彩色图像,因此其余彩色空间都需要通过彩色空间转换,才可以进行矢量排序.然而,RGB彩色空间三个分量具有较强的相关性,不利于人眼视觉感知,因此大部分矢量形态学算子是在更符合人眼视觉感知的彩色空间下定义的,例如:DLSH,TLO和HVSD.尽管符合人眼视觉感知的彩色空间有利于矢量排序,但这样的彩色空间能否满足形态学算子要求的对偶性是一个问题.下面我们给出理论分析.

(1)

证明:在HSV彩色空间中

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

根据上述分析,可以确定矢量对偶形态学算子所选的彩色空间一定是RGB彩色空间或RGB彩色空间的线性变换空间,例如YUV/YIQ彩色空间.

2.2矢量排序算法

在2.1节中,分析了RGB的非线性变换彩色空间是导致矢量形态学算子难以满足对偶性的一个重要原因.下面研究在RGB彩色空间下,矢量排序方法对矢量形态学算子是否满足对偶性的影响,以退化顺序中的欧式距离为例.首先我们回顾基于矢量排序算法的矢量形态学腐蚀和膨胀的定义.

矢量极小、极大值定义:

(11)

(12)

由此可以得到RGB彩色空间下基于欧式距离的矢量腐蚀、膨胀算子为:

εED(f)(x)={f(y):f(y)=∧ED[f(t)],t∈Bx}

(13)

δED(f)(x)={f(y):f(y)=∨ED[f(t)],t∈Bx}

(14)

根据式(13)、(14),可以证明(εED,δED)不满足对偶性.

证明:

(δED(fc))c=(∨ED(fc))c

εED(f)=∧ED(f)

={vi∈f|vi≤EDvj,∀vj∈f}

={vi∈f|ED(vi)≤ED(vj),∀vj∈f}

由此我们得到

(δED(fc))c≠εED(f)

(15)

2.3基于对称距离的对偶形态学算子

根据2.1节和2.2节的结论,彩色空间和矢量排序算法是决定矢量形态学算子能否满足对偶性的主要因素.符合人眼视觉感知的彩色空间导致多变量极值输出不对称,为了计算方便,我们选用RGB彩色空间.对于矢量排序算法而言,由于词典编纂顺序的计算量较大且难以保证每个边缘分量的输出满足对偶性,因此我们选用基于退化顺序的距离矢量排序算法.由于常用的欧氏距离、马氏距离都会导致矢量形态学算子不对偶,下面我们给出一种新的对称矢量距离.

定义矢量集合v=(vr,vg,vb),bref=(0,0,0)表示黑色像素点,wref=(255,255,255)表示白色像素点.BED(vi,bref)表示当前像素点vi与黑色像素点bref的欧氏距离,WED(vi,wref)表示当前像素点vi与白色像素点wref的欧式距离.

(16)

(17)

则可以定义:

vi⟺BEDvj⟺BED(vi,bref)≤BED(vj,bref)

(18)

vj⟺WEDvi⟺WED(vi,wref)≤WED(vj,wref)

(19)

根据式(18)、(19),得到新的矢量极小、极大值定义为:

(20)

由式(12)～(14)得到RGB彩色空间下基于对称距离的矢量腐蚀、膨胀算子为:

εBED(f)(x)={f(y):f(y)=∧BED[f(t)],t∈bx}

(21)

δWED(f)(x)={f(y):f(y)=∨WED[f(t)],t∈bx}

(22)

根据形态学算子的对偶性,可以证明(εBED,δWED)是一对对偶算子.

证明:

(δWED(fc))c=(∨WED(fc))c

εBED(f)=∧BED(f)

={vi∈f|vi≤BEDvj,∀vj∈f}

={vi∈f|BED(vi)≤BED(vj),∀vj∈f}

显然存在:

(δWED(fc))c=εBED(f)

(23)

由式(23)可以看出,基于对称距离的矢量形态学腐蚀、膨胀运算(εBED,δWED)满足对偶性.将矢量对偶形态学算子(εBED,δWED)应用到实际的彩色图像滤波中,结果如图1所示.

由图1可以看出,VMO-SD满足经典形态学算子的特性,腐蚀后的图像整体变暗,而膨胀后的图像整体变亮.为了更清楚地表明矢量腐蚀、膨胀运算后图像的变化,给出了HSV空间下三个分量的直方图变化,如图1(d)～(f)所示.直方图表明,腐蚀和膨胀后的图像色调基本没有发生变化(由于色调本身不存在大小关系,因此这一点满足我们的视觉要求);腐蚀后的图像饱和度变大,膨胀后的饱和度变小(由于饱和度越小就越靠近白色点,因此这一点也是符合人眼的视觉感知的);腐蚀后的图像亮度变小,膨胀后的图像亮度变大,即腐蚀后的图像整体向黑色点靠拢,而膨胀后的图像向白色点靠拢,这一结论与经典的灰度形态学理论是一致的,即灰度形态学理论中的对偶性是矢量形态学理论对偶性的一类特殊情况.

实际上,除欧式对称距离外,城市对称距离、权重的欧式对称距离以及权重的城市对称距离均能使矢量形态学算子满足对偶性.为了方便表示,我们统一欧式对称距离和城市对称距离为对称距离SD,对应的矢量形态学算子为(εSD,δSD).根据(εSD,δSD),结合经典的形态学理论给出组合形态学算子,由此给出矢量开、闭定义如下:

γSD(f)=δSD[εSD(f)]

(24)

φSD(f)=εSD[δSD(f)]

(25)

利用开、闭滤波器可以定义各种组合滤波算子[15],如矢量开闭φSDγSD、矢量闭开γSDφSD.图2给出了组合形态学滤波算子对彩色图像的滤波结果(本文中SD选用欧式距离).

图2表明,基于本文方法构建的矢量形态学滤波算子能去除图像中的小结构元素.以矢量腐蚀起始的滤波算子导致滤波后的图像变暗,而以矢量碰撞起始的滤波算子导致滤波后的图像变亮,矢量对偶形态学滤波算子满足对偶性,处理后的图像具有对称性.

3　应用

经典的灰度形态学算子已广泛应用于图像滤波、边缘检测、图像增强以及图像分割等领域,然而,形态学理论在多通道图像的处理领域的应用尚处于探索阶段,为了拓展矢量形态学理论在多通道图像处理中的应用,下面给出两个应用实例.

3.1彩色图像滤波

传统的形态学滤波算子性能较低,而柔性形态学滤波算子由于具有较强的噪声抑制功能而得到了广泛应用[16].由于本文提出的VMO-SD可以将经典的形态学理论直接拓展到多通道图像处理中,因此我们可以构建满足对偶性的多变量柔性形态学滤波算子,以提高形态学滤波算子的性能.

基于柔性形态学腐蚀运算的定义,可以定义彩色图像f∈Γ(R,ΩRGB),B为结构元素,A为内核.利用结构元素B对图像f在x处的矢量柔性腐蚀可定义为(矢量排序方法为SD):

εSD(f)(x)(B,A,r)=

(26)

其中,◇表示重复运算.同样的,柔性矢量膨胀运算的定义为:

δSD(f)(x)(B,A,r)=

(27)

根据式(26)、(27),也可以证明(εSD(B,A,r),δSD(B,A,r))是一对对偶算子,即矢量柔性形态学算子亦满足对偶性.由此,经典的柔性形态学滤波算法可直接拓展到本文提出的矢量形态学算子中,构建基于SD的柔性形态学滤波算子为:

γSD(f)(B,A,r)=δSD[εSD(f)(B,A,r)](B,A,r)

(28)

φSD(f)(B,A,r)=εSD[δSD(f)(B,A,r)](B,A,r)

(29)

为了验证VMO-SD的性能,仿真实验选用了标准测试图像“Parrots”,噪声选用椒盐噪声模型.图3(a)为原图,图3(b)为加入椒盐噪声的图像(噪声强度为10%).为了表明本文方法的优越性,给出了5种主流的矢量形态学滤波算子作为对比(矢量排序方法见表1),构建的矢量形态学滤波算子分别为OC/CO-DLSH,OC/CO-TLO,OC/CO-QPEPA,OC/CO-HVSD、OC/CO-FEEA,OC/CO-SD和SOC/SCO-SD(OC/CO表示开闭/闭开滤波算子(φ)B2(γ)B1和(γ)B2(φ)B1,SOC/SCO表示柔性开闭/柔性闭开滤波算子φSD(B2,A,3)γSD(B1,A,2)和γSD(B2,A,3)φSD(B1,A,2),B1为3×3圆盘,B2为方形结构元素,柔性等级r为2和3),滤波结果如图3(c)～图3(i)所示.

图3表明,传统的矢量形态学滤波算子均存在一个问题,即经过闭开滤波算子滤波后的图像较开闭滤波算子滤波后的图像质量差,图3(j)～图3(n)的残余噪声较图3(c)～图3(g)严重.基于DLSH、TLO、QPEPA、HVSD和FEEA排序算法定义的矢量形态学开闭、闭开算子性能差异较大,这与经典的形态学理论相矛盾.理论上我们已经证明了已有的矢量形态学滤波算子均不满足对偶性,而图3的滤波结果也进一步验证了理论的正确性.基于本文方法构建的矢量形态学滤波算子(OC/CO-SD)和柔性矢量形态学滤波算子(SOC/SCO-SD)满足对偶性,即开闭、闭开滤波后的结果近似,见图3(g),(h),(o),(p).尤其是SOC-SD和SCO-SD,滤波后的图像不仅有效去除了噪声,而且保留了传统形态学滤波算子的对偶特性.

表1　矢量排序算法

对于彩色图像滤波而言,常常用恢复图像偏移原始图像的误差来衡量图像滤波的质量.常用的衡量标准有图像的峰值信噪比和归一化色差.f(x,y)是原图像,g(x,y)是滤波后的图像,图像尺寸为M×N.由此得到彩色图像的峰值信噪比为:

(30)

归一化色差为:

(31)

根据式(30)、(31),对图3(a)加入不同等级的椒盐噪声后,利用不同矢量形态学滤波算子对噪声图像滤波,实验数据如图4所示.

由图4可以看出,在不同等级噪声下,本文提出的OC/CO-SD,SOC/SCO-SD均具有较高的PSNR和较小的NCD,在OC算子中,OC-FEEA的PSNR略高于本文方法,但NCD大于本文方法.这是由于FEEA采用了模糊极值估计算法,在去除噪声方面具有优势,然而该算子计算量较大,且不满足对偶性,无法构建柔性形态学算子.在CO算子中,本文方法具有明显的优势,具有最高的PSNR和较低的NCD数据，从而表明基于本文方法构建的矢量对偶形态学滤波算子具有近似的滤波性能,继承了传统形态学对偶算子的性质.综合各项性能指标可以看出,本文方法在彩色图像滤波中具有明显的优越性.

结合图3和图4可以看出,VMO-SD具有较高的滤波性能,且继承了经典形态学理论的对偶性.该类算子可以将经典的形态学滤波算子直接拓展到多通道图像处理中,从而解决了现有矢量形态学滤波算子性能较低、算法难以拓展的问题.

3.2彩色图像梯度

在4.1节中,我们利用形态学滤波算子验证了本文提出的矢量对偶形态学算子的优越性.下面我们验证矢量形态学算子在多通道图像梯度计算方面的性能.已知形态学梯度算子是各向异性的,因此传统的形态学梯度算子对噪声非常敏感[17],数学模型如式(32) 所示.针对该问题,Evans提出了一种有效的抗噪声形态学梯度算子,该方法首先计算矢量集合中具有最大矢量距离的像素点,然后通过移除具有最大距离的像素点,得到优化后的矢量集合,最后重新计算矢量梯度,数学模型如式(33)所示[18].

(32)

(33)

RCMG一定程度上改善了梯度算子的抗噪声性能.然而,由于形态学梯度算子是膨胀算子与腐蚀算子差,而RCMG算子不依赖膨胀和腐蚀的输出,仅通过计算矢量距离作为矢量梯度输出,不符合传统形态学梯度算子的定义,因此难以将其统一到形态学理论中,且该方法难以被拓展.基于RCMG的思想,为了改善形态学梯度算子的性能,将该理论统一到形态学理论框架下,结合4.1节提出的柔性形态学算子,本文给出了基于对称距离的矢量柔性形态学梯度算子(SGO-SD):

GSD(f)(B,A,r)=

|δWED(f)(B,A,r)-εBED(f)(B,A,r)|

(34)

柔性形态学梯度算子具有较好的抗噪声性能,且符合形态学梯度算子的定义.而且由于VMO-SD满足对偶性,因此可以将它的矢量形态算子统一到形态学理论框架下.为了验证SGO-SD的优越性,仿真实验中,选用标准测试图像“Caps”,噪声选用椒盐噪声模型.图5(a)为原图,图5(b)为图5(a)的形态学标准梯度图像,图5(c)为加入椒盐噪声的图像(强度为1%),图5(d)～(k)分别为经过GO-DLSH、GO-TLO、GO-QPEPA、GO-HVSD、GO-FEEA以及SGO-SD处理后的梯度图像(梯度算子均选用形态学标准梯度算子,结构元素选用3×3方形结构元素).

图5表明,已有的矢量形态学梯度算子尽管不满足对偶性,其理论也难以统一到数学形态学理论框架中,但是它们具有梯度检测的功能,然而抗噪声性能较差.本文提出的对偶形态学算子满足对偶性,因此可以根据经典的灰度形态学理论进行拓展,得到矢量柔性梯度算子.新的梯度算子在有效检测梯度的同时对噪声具有较强的抑制作用.为了进一步验证SGO-SD的优越性,图6给出了不同噪声等级下各种不同矢量形态学梯度算子检测梯度的性能.

图6表明,在不同等级噪声环境下,SGO-SD均具有较高的PSNR和较低的NCD,尤其当柔性算子的参数变大(r=3)时,算子对噪声的变化不敏感,其滤波性能没有发生较大改变.如图6中的SGO-SD(r=3)几乎为水平直线,显然鲁棒性较高.而其余算子随着噪声强度的增大性能迅速降低.因此,SGO-SD鲁棒性较高,不易受噪声参数的影响.

4　结论

论文从现有的矢量形态学对偶滤波算子性能偏差较大这一发现出发,分析了影响矢量形态学滤波算子的彩色空间选择和矢量排序算法,通过理论证明验证了彩色空间和矢量排序算法是导致现有的矢量形态学算子难以满足对偶性的两个重要因素.针对这一问题展开研究,提出并实现了基于对称距离的矢量形态学算子.新的形态学算子满足对偶性,从而将矢量形态学理论与经典的形态学理论相统一,并将经典的数学形态学算子直接拓展到矢量形态学运算中,构建了矢量形态学柔性滤波算子和矢量形态学柔性梯度算子.将这些新的算子应用到多通道图像滤波和梯度计算中,实验结果表明了本文提出算子具有较高的性能,应用前景明朗.

[1]Aptoula E,Lefèvre S.A comparative study on multivariate mathematical morphology[J].Pattern Recognition,2007,40(11):2914-2929.

[2]Vardavolia M I,Andreadis I,Tsalides P.Vector ordering and morphological operations for colour image processing:Fundamentals and applications[J].Pattern Analysis & Applications,2002,5(3):271-287.

[3]Louverdis G,Vardavoulia M I,Andreadis I,et al.A new approach to morphological color image processing[J].Pattern Recognition,2002,35 (8):1733-1741.

[4]Angulo J.Geometric algebra colour image representations and derived total orderings for morphological operators-Part I:Colour quaternions[J].Journal of Visual Communication and Image Representation,2010,21(1):33-48.

[5]Angulo J.Hypercomplex mathematical morphology[J].Journal of Mathematical Imaging and Vision,2011,41(1-2):86-108.

[6]De Witte V,Schulte S,Nachtegael M,et al.Vector morphological operators for colour images[A].International Conference on Image Analysis and Recognition,(ICIAR’05)[C].Toronto:Springer LNCS,2005.667-675.

[7]Plaza A,Martinez P,Perez R,et al.Spatial/spectral endmember extraction by multidimensional morphological operators[J].IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing,2002,40(9):2205-2041.

[8]Angulo J.Unified morphological color processing framework in a lum/sat/hue representation[A].Mathematical Morphology and Its Applications to Signal and Image Processing,(ISMM’05)[C].Paris:Springer LNCS,2005.387-396.

[9]Anglulo J.Morphological colour operators in totally ordered lattices based on distance:Application to image filtering,enhancement and analysis[J].Computer Vision and Image Understanding,2007,107(1-2):56-73

[10]Lei T,Wang Y,Fan Y Y,et al.Vector morphological operators in HSV color space[J].Science China Information Sciences,2013,56(1):1-12.

[11]Louverdis G,Andreadis I,Tsalides P.New fuzzy model for morphological colour image processing.IEEE Proceeding-Vision Image Signal Process[J].2002,149(3):129-139

[12]Aptoula E,Lefèvre S.On lexicographical ordering in multivariate mathematical morphology[J].Pattern Recognition Letters,2008,29(2):109-118.

[13]Aptoula E,Lefèvre S.α-Trimmed lexicographical extrema for pseudo-morphological image analysis[J].Journal of Visual Communication and Image Representation,2008,19(3):165-174.

[14]Lei T,Fan Y Y,Zhang C R,Wang X P.Vector mathematical morphological operators based on fuzzy extremum estimation[A].IEEE International Conference on Image Process(ICIP’13)[C].Melbourne:IEEE CS,2013.3031-3034

[15]赵继印,徐艳蕾,焦玉斌.基于顺序形态学的图像边缘检测快速算法的研究[J].电子学报,2009,36(11):2195-2199.

Zhao J Y,Xu Y L,Jiao Y B.The fast arithmetic study of image edge detection based on the order morphology[J].Acta Electronica Sinica,2009,36(11):2195-2199.(in Chinese)

[16]Ji T Y,Lu Z,Wu Q H.Optimal soft morphological filter for periodic noise using a particle swarm optimizer with passive congregation[J].Signal Processing,2008,87(11):2779-2809.

[17]LEI T,Fan Y Y.Noise gradient reduction using dual morphological operators[J].IET Image Processing,2011,5(1):1-17.

[18]Evans A N,Liu X U.A morphological gradient approach to color edge detection[J].IEEE Transactions on Image Processing,2006,15(6):1454-1463.

雷涛男,1981年11月出生,陕西大荔人.2011年获西北工业大学电子信息学院信息与通信工程专业博士学位.现为西北工业大学电子信息学院电子科学与技术专业博士后,兰州交通大学电子与信息工程学院副教授,主要从事图像处理、模式识别、计算机视觉等方面的研究工作.

E-mail:leitao@mail.lzjtu.cn

樊养余男,1960年出生,陕西蓝田人.1999年获西北工业大学航海学院水下声学信号处理专业博士学位,现为西北工业大学电子信息学院教授,博士生导师,主要从事图像处理、模式识别、虚拟现实等方面的研究工作.

E-mail:fan_yangyu@sina.com

王小鹏男,1969年出生,甘肃正宁人.2005年获西北工业大学信号与信息处理专业博士学位.现为兰州交通大学电子与信息工程学院教授,主要从事图像处理、模式识别方面的研究工作.

E-mail:wangxiaopeng@mail.lzjtu.cn

王履程男,1978年12月出生,甘肃皋兰人.2005年获兰州交通大学通信与信息系统硕士学位.现为西安电子科技大学电子工程学院模式识别与智能系统专业博士生,兰州交通大学讲师,主要从事数字图像处理、模式识别、机器视觉等方面的研究工作.

E-mail:wanglc@mail.lzjtu.cn

Vector Dual Morphological Operators

LEI Tao1,3,ZHANG Yan-ning1,FAN Yang-yu2,WANG Xiao-peng3,WANG Lü-cheng3

(1.SchoolofComputerScience,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an,Shaanxi710072,China;2.SchoolofElectronicsandInformation,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an,Shaanxi710072,China;3.SchoolofElectronicandInformationEngineering,LanzhouJiaotongUnivesity,Lanzhou,Gansu730070,China)

Duality is one of the most important properties of morphological operators,and it has important applications in image processing.Since the existing vector morphological operators are unable to meet the duality,it is difficult to develop vector morphological theory and applications.In order to address the issue,we studied the properties of the existing vector morphological operators,and then found color spaces and vector ordering algorithms are two important factors which directly determine whether vector morphological operators are dual or not.In this paper,the symmetric color space and the symmetric vector distance are chosen and used to define the novel vector morphological operators with duality.Moreover,the novel vector morphological filters,gradient operators are also proposed and applied to color image corrupted by noise.Experimental results show that the proposed vector morphological operators can provide better results than the existing approaches for color image filtering and edge detection.

mathematical morphology;vector morphological operators;color image processing duality

2013-12-30;修回日期:2014-03-19；责任编辑：梅志强

国家自然科学基金(No.61461025,No.61202314,No.61261209,No.61402371);中国博士后科学基金(No.2012M521801);中国博士后特别资助(No.2014T70937)

TP391.41

A

0372-2112 (2016)06-1285-09