具有分红、流动储备金和利率的风险模型的绝对破产

张燕　赵培标

摘要建立了阈值分红策略下具有流动储备金、投资利率和贷款利率的复合泊松风险模型. 利用全概率公式和泰勒展式， 推导出了该模型的GerberShiu函数和绝对破产时刻的累积分红现值期望满足的积分微分方程及边界条件， 借助Volterra方程， 给出了GerberShiu函数的解析表达式.

关键词保险数学； GerberShiu函数； 积分—微分方程； 分红； 流动储备金

中图分类号O211.6 文献标识码A

AbstractThis paper studied the compound Poisson risk model with liquid reserves， credit interest and debit interest in the presence of a threshold dividend strategy. By the total law of probability and Taylor's expansion， we first obtained the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the GerberShiu function and presented the closed form expressions for the GerberShiu function. Secondly， we derived the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the expected discounted present value of all dividends until absolute ruin by employing Volterra equations.

Key wordsinsurance mathematics； Gerber-Shiu function； integro-differential equation； dividend； liquid reserves

1 引言

近年来， 常利率风险模型引起众多学者的关注， 也得到了很多有意义的成果，例如Kalashnikov & Konstantinides（2000）[1]， Cai & Dcikson（2002）[2]， Gao & Liu（2010）[3]和Li & Lu（2013） [4].具有常利率的经典风险模型中， 保险公司在t时刻的盈余U（t）满足

dU（t）=cdt+rU（t）dt-dS（t），t≥0， （1.1）

其中c是保费率， r是投资利率， {N（t），t≥0}是索赔计数过程， {Xi，i=1，2，…}是索赔额， 且

St=∑Nti=1Xi.

在模型（1.1）中， 当盈余大于0时， 保险公司将这些盈余全部投资到金融市场且能够获得投资利润， 当盈余小于0时， 我们称之破产. 事实上， 即使保险公司将其所有正的盈余全部进行无风险投资（或存入银行）， 在一些银行储蓄业务中， 必须存入的资金超过一定的量才能获得利息， 不一定如式（1.1）描述的只要盈余大于0就存在投资利润. 另一方面， 保险公司不一定将所有大于0的盈余进行投资， 其可能保留一部分大于0的盈余作为流动储备金.Embrechts&Schmidli;（1994）[5]提出了一种具有流动储备金的风险模型， 假设当保险公司的盈余达到一定的水平Δ>0时， 才可以进行投资且超过这个值Δ的盈余部分才能获得投资利率r. 当盈余小于Δ时，此时的盈余作为流动储备金， 且不获得投资利率. Cai et al （2009） [6]在模型（1.1）的基础上增加了阈值分红策略和流动储备金， 进一步假设如果盈余够大超过一个值b（≥Δ），那么超出b的那部分盈余将作为红利以一个常值红利率α（0≤α≤c+r（b-Δ））分给持保者， 且超出b的那部分盈余不会赚得投资利率， 研究了GerberShiu函数和破产时刻的累积分红折现期望等量. 其它阈值分红策略的研究可参见Lin&Pavlova;（2006）[7]， Zhang et al（2010） [8]和温玉珍&尹传存[9].

然而， 现实中， 当保险公司盈余小于0或出现财政赤字时， 保险公司可以以一定的贷款利率贷款以继续维持其经营， 同时保险公司需要从保费中支取一部分资金偿还贷款. 因此只要贷款利率合理， 负的盈余可能转为正的盈余， 但是， 当负的盈余小于一定的值时， 就不可能再转为正的盈余， 此刻绝对破产发生. 绝对破产概率是一个重要的风险尺度， 已引起众多学者的关注， 例如Cai（2007） [10] ， Cai et al （2009） [11] 和Yu[12] .受此启发， 在Cai et al （2009） [6]的基础上增加投资利率， 建立存在门限分红策略时具有流动储备金、投资利率和贷款利率的复合泊松风险模型， 研究其Gerber—Shiu函数和到绝对破产时刻为止的累积分红现值期望. 记D（t）为[0， t]内的所有累积分红， 分红后t时刻的盈余为Ub（t）=U（t）-D（t）且 Ub（0）=u. 于是， 盈余过程Ub（t）具有如下的形式

dUb（t）=c1dt+r（b-Δ）dt-dS（t），Ub（t）≥b，c2dt+r（Ub（t）-Δ）dt-dS（t），Δ≤Ub（t）

（1.2）

其中c2>0为保费率， Δ（≥0）是流动储备金水平， b为分红水平， 投资利率为r. 当盈余Ub（t）小于Δ时， 资产将被作为流动储备金， 且不获得投资利润. 当盈余Ub（t）大于Δ时， 超过Δ的资产获得投资利润. 如果当盈余Ub（t）达到一个更高水平b（≥Δ）时， 超过水平b的那部分盈余则作为红利以常数率α（0≤α≤c2+r（b-Δ））连续分红给保单持有者， 且其不再获得投资利润， 此时的保费率可以看作为c1=c2-α>0. 如果盈余Ub（t）介于Δ与b之间， 此时没有分红， 但超过Δ的那部分盈余获得投资利润.然而， 当盈余Ub（t）小于0时， 允许保险公司以贷款利率δ（δ≥r>0）向银行贷款以维持经营， 同时保险公司需要从保费中支取一部分资金偿还贷款， 当盈余达到或低于-c2/δ时， 保险公司的盈余不可能由负转正，此时其已无能力偿还贷款， 绝对破产发生.

假设N（t），t≥0为服从参数为λ的Poisson过程， Xi，i=1，2，…是独立同分布的非负随机变量序列， 分布函数为P（x），密度函数为p（x），且N（t），t≥0和Xi，i=1，2，…相互独立.为保证保险公司运行上的安全， 假定安全负载条件为c2>λEXi且c2-α+r（b-Δ）>λEXi.

4结论

在阈值分红策略下研究了具有流动储备金、投资利率和贷款利率的复合泊松风险过程的GerberShiu函数和分红问题. 利用全概率公式和泰勒展式， 得到了GerberShiu函数和绝对破产时刻的累积分红现值期望满足的积分—微分方程及边界条件， 并借助Volterra方程， 给出了GerberShiu函数的解析表达式. 进一步，当索赔额变量服从确定确定分布时，例如指数分布， 可以推导出绝对破产时刻的累积分红现值期的精确表达式. 考虑到市场经济的波动和一些不确定因素的影响，可以研究带扰动项的风险模型的相关问题，将红利策略推广为线性红利策略，使得模型更贴近实际运作，研究GerberShiu函数和分红问题，这对于决策者进行风险过程的稳定性分析提供了重要的理论依据.

参考文献

[1]Kalashnikov V， Konstantinides， D. Ruin under interest force and subexponential claims： a simple treatment[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2000 （27）： 145-149

[2]Cai J， Dcikson D C M. On the expected discounted penalty function at ruin of a surplus process with interest[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2002 （3）： 389-404.

[3]Gao S ， Liu Z M. The perturbed compound Poisson risk model with constant interest and a threshold dividend strategy[J]. Journal of computational and applied mathematics， 2010 （233）： 2181-2188.

[4]Li S， Lu Y. On the generalized Gerber–Shiu function for surplus processes with interest[J].Insurance： Mathematics and Economics， 2013， 52（1）： 127-134.

[5]Embrechts， P， Schmidli H. Ruin estimation for a general insurance risk model[J]. Advances in Applied Probability， 1994 （26）： 404–422.

[6]Cai J ， Feng R ， Willmot G. Analysis of the compound Poisson surplus model with liquid reserves， interest and dividends[J]. Astin Bulletin， 2009， 39（1）： 225-247.

[7]Lin X， Pavlova K P. The compound Poisson risk model with a threshold dividend strategy[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 2006 （38）： 57-80.

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[9]温玉珍， 尹传存.一类混合分红策略下的广义Erlang（n）风险模型[J].中国科学： 数学， 2014， 44（10）： 1111-1122.

[10]Cai， J. On the time value of absolute ruin with debit interest[J]. Advances in Applied Probability， 2007， 39 （2）： 343-359.

[11]Cai J， Gerber H U， Yang H L. Optimal dividend in an ornsteinuhlenbeck type model with credit and debit interest[J]. North American Actuarial Journal， 2006， 10（4）： 76-89.

[12]Yu W. Some results on absolute ruin in the perturbed insurance risk model with investment and debit interests[J]. Economic Modelling， 2013 （31）： 625-634.