含参数的一元二次不等式的解法

刘艳玲（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

含参数的一元二次不等式的解法

刘艳玲
（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

含参数不等式的求解问题一直是高中数学的一个难点，求解这类问题，需要学生具有一定的分析能力和掌握相应的解题技巧。

含参数的不等式；分类讨论；解法

所谓含参数的不等式，就是指除含未知数之外还含有参数的不等式。此类不等式，往往因参数的取值范围不同，解集也不同。这类问题是中学数学的难点之一，学生对其常常难以驾驭，因此有必要研究其解法。本文重点讨论形如ax2+bx+c〉0（或ax2+bx+c＜0）的一元二次不等式模型，谈谈分类讨论思想在解不等式中的简单应用。

一、根据对应方程根的大小进行分类

例1.解关于x的不等式x2-（a2+a）x+a3〉0。

分析：先利用因式分解确定对应方程的两根，对两根的大小进行分类讨论。

解：原不等式可化解为（x-a2）（x-a）〉0。

（1）当a2〉a，即a〉1或a＜0时，原不等式的解集为｛x|x＜a或x〉a2｝。

（2）当a2=a，即a=1或a=0时，原不等式的解集为R。

（3）当a2＜a，即0＜a＜1时，原不等式的解集为｛x|x＜a2或x〉a｝。

综上所述，当a〉1或a＜0时，原不等式的解集为｛x|x＜a或x〉a2｝。

当a=1或a=0时，原不等式的解集为R。

当0＜a＜1时，原不等式的解集为｛x|x＜a2或x〉a｝。

规律总结：当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集。

二、根据二次项系数的符号进行分类

例2.解关于x的不等式ax2+（1-a）x-1〉0。

分析：先利用因式分解对不等式进行因式分解。因为二次项系数含有参数，因此需要对a与0进行分类，若a≠0，则需要比较两根的大小。

解：原不等式可化解为（x-1）（ax+1）〉0。

1.当a=0时，原不等式为x-1〉0，则x〉1。

∴原不等式的解集为｛x|x〉｝1。

当a=-1时，原不等式的解集为Ø。

规律总结：解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论。

三、根据对应方程判别式的符号进行分类

例3.解关于x的不等式2x2+ax+2=0。

分析：二次系数为2，判别式Δ=a2-16不为完全平方式，故不能确定根，因此需要对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数。

解：Δ=a2-16=（a+4）（a-4）。

（1）当a〉4或a＜-4时，Δ〉0，方程2x2+ax+2=0的两根为

（3）当-4＜a＜4时，Δ＜0，方程无根，原不等式的解集为R。

综上所述，

当a〉4或a＜-4时，原不等式的解集为

当-4＜a＜4时，原不等式的解集为R。

规律总结：若一元二次方程判别式符号不确定，应分Δ〉0，Δ= 0，Δ＜0讨论。

本文由浅入深地介绍了含有参数的一元二次不等式模型的几种基础解法。我们可以发现，在求解此类问题时，应正确认识问题中的参数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行求解，希望能对大家学习含参数一元二次不等式有所帮助。

·编辑 谢尾合