高考数学中三角函数、立体几何以及数列问题分析

徐沈慧

（江苏省常州市金坛区第四中学）

高考数学中三角函数、立体几何以及数列问题分析

徐沈慧

（江苏省常州市金坛区第四中学）

为了更加有效地帮助学生提高高考成绩，促进学生对三角函数、立体几何、数列问题的学习效果，有必要针对高考数学中三角函数、立体几何以及数列问题进行深入分析。

一、解答高考中三角函数问题的策略

高中三角函数知识中的难点较多，很多学生都难以理解深刻，因此学生对三角函数知识的掌握效果普遍不佳，而三角函数又是高考中主要考查的知识点之一，教师必须帮助学生攻克难关。我认为，教师应该着重引导学生分散难点和转化难点，当学生遇到陌生而复杂的三角函数式子时，首先要认真审题，弄清本道题考查的知识点是什么，之后要利用三角函数的性质，并充分运用倍角公式、降幂公式、化二为一公式来把该式将式子变形，分散和转移难点，再利用所学知识进行解答。

例如，在求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值时，假如学生对此式子感到陌生，此时教师就可以引导学生来分散和转移难点，该题可以利用倍角公式降幂，再利用配方变为复合函数，通过教师一步步的引导，最终学生可以将y=7-4sinxcosx+ 4cos2x-4cos4x转化为y=（1-sin2x）2+6，这样一来此题就容易解答了，因为函数z=（u-1）2+6在［-1，1］中的最大值为Zmax=（-1-1）2+6= 10，最小值为Zmin=（1-1）2+6=6，因此该题最终答案即是“当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6”。

二、解答高考中立体几何问题的策略

很多高考学生在解答立体几何问题时出现错误，都是因为对知识掌握不牢固，或者是因为学生头脑中缺乏空间感和立体感，也有个别学生由于书写不规范导致没能取得理想的成绩。教师应该带领学生进行易错题练习，教师在平时的日常教学过程中，一定要善于总结，归纳出学生容易产生错误的题型，进而针对性地进行训练，并且在训练过程中要带领学生进行总结，分析每道题中容易出现错误的环节，让学生引以为鉴。

例如，在下面这个图形中：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长等于b，斜三棱柱的底面为正三角形，正三角形的边长等于a，AB和AC是底面两条邻边，AB、AC与侧棱AA1都成45°角，求斜三棱柱的侧面积。

在解答这道题时，一些学生没有给出任何证明而直接计算结果，也有一部分学生在作直截面时出现了错误，过BC作平面AA1垂直于M，还有一些学生由∠A1AB=∠A1ACAA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线，没有给出结论，这些都是学生比较容易出现的错误，针对这些问题，教师应该先引导学生找到正确答案，引导学生过点B作BM⊥AA1于M，之后再启发学生连结CM，最后一步步指引学生找出正确的解题思路：在ABM和ACM中，AB=AC，同时∠MAB=∠MAC=45°，并且MA为公用边，所以可以证明ABMACM，进而又可以证明∠AMC=∠AMB=90°，因此AA1⊥面BHC，根据上述步骤就可以证明平面BMC为直截面，在此基础上通过BM=CM=ABsin45°=a，又可以证明BMC的周长等于a+a=（1+）a，已知条件中给出了棱长等于b，所以最终S侧=（1+）ab。

高中学生在解答立体几何问题时，常常由于缺乏立体感和空间感而出现错误，因此教师还应该加强学生的立体感和空间感。

例如以下这道题：一个密封的正方体盒子中有一个小球，正方体盒子的棱长为6 cm，小球的半径为1 cm，无论怎样摇动这个正方体盒子，盒子中都有一部分空间是小球不能到达的，求小球在盒子中不能到达的空间的体积。

这道题的题目只有文字叙述，没有图形，因此需要学生在大脑中形成立体图形，个别学生在解答过程中，误以为小球就是正方体的内切球，直接用正方体的体积减去内切球的体积，这样就出现了错误，而出现错误的一个主要原因就是学生想象力不足，缺乏立体感和空间感，教师应该多通过类似的练习题来提升学生的立体感和空间感。

另外，书写是否规范也对学生的成绩有一定影响，因此教师还要帮助学生锻炼书写能力，使学生能够熟练做好“作”“证”“算”各个步骤，帮助学生正确地表述，纠正他们的逻辑错误，使他们可以将自己想表达的内容完整、有序地表达出来。

三、解答高考数列问题的策略

在解答数列问题时，教师应该帮助学生明确以下几条思路：

（1）在处理数列的计算问题时，应充分、灵活地利用等比以及等差数列的通项公式、前n项和的公式，同时要妥善利用数列的性质；

（2）在处理等比以及等差数列的证明问题时，要充分运用定义；

（3）在遇到数列方面的难题时，应进行转化，将数列问题转化为数学问题，这样就可以通过数学知识来解答问题；

（4）想要顺利地处理数列问题，就要熟练掌握一些数学思想，包括分类讨论思想、函数方程思想、整体解决问题思想等等，因此教师要帮助学生强化数学思想。

此外，教师应该带领学生在平时的学习过程中多积累知识，首先应该让学生勤看课本，课本中的范例难度适中，有助于帮助学生加深对立体几何知识的印象。当学生熟练掌握课本内容之后，再带领学生进行习题训练，教师一定要注意，开展习题练习不能盲目采取题海战术，习题练习不仅需要“量”，更需要“质”，一定要明确学生的学习难点，有针对性地进行训练。

在高中数学知识中，三角函数、立体几何、数列问题是三个重要的知识点，在多年的高考试题中，都要涉及这三个知识点，本文分别探讨了解答这三种问题的策略，希望对教学工作有所借鉴。

·编辑薄跃华