钢筋混凝土框架结构非线性静、动力分析的高效计算平台HSNAS(GPU)——Ⅰ程序开发

李红豫， 滕　军， 李祚华

(哈尔滨工业大学 深圳研究生院，深圳　518055)



钢筋混凝土框架结构非线性静、动力分析的高效计算平台HSNAS(GPU)
——Ⅰ程序开发

李红豫， 滕军， 李祚华

(哈尔滨工业大学 深圳研究生院，深圳518055)

摘要：基于传统串行计算平台的有限元分析面临精度不足、耗时巨大的问题成为目前高层钢筋混凝土框架结构非线性动力时程分析面临的瓶颈，利用GPU强大的并行计算能力，开发了一种结构非线性有限元静力、动力分析的高精度和高效率分析平台HSNAS(GPU)。针对静力问题提出了适用于GPU计算，且能有效解决结构负刚度问题的位移增量迭代算法，开发了相应的GPU线性方程组并行求解器；针对动力问题，开发了GPU基于Newmark时间积分算法的动力分析软件平台，结合纤维模型单元技术，引入扭转、剪切变形以及材料非线性。算例模型表明，HSNAS(GPU)平台在满足精度条件下能有效地提高结构非线性静、动力分析的计算效率。

关键词：钢筋混凝土结构；非线性有限元；模拟平台；GPU；纤维模型

高层建筑结构的复杂性以及精细化分析模型庞大的自由度数量，造成数值计算的规模庞大，对软件分析平台的计算速度要求更高。然而在传统CPU(Central Processor Unit，中央处理器)平台上完成计算任务，耗时多成为目前结构有限元分析面临的瓶颈[1]。如何实现性能高价格低的有限元分析平台，成为迫切需要解决的问题。随着计算机软硬件的进步，高性能计算正在向普及化发展。近年来计算机图形处理器GPU(Graphics Processor Unit)已超过摩尔定律的速度而高速发展，很大程度地提高了与计算机图形相关应用领域的快速发展。由于其硬件构造特殊，GPU的浮点运算、并行计算能力提供数十倍乃至于上百倍于CPU的性能，可以很好地解决大规模的科学计算问题[2]。因此，利用GPU强大的并行计算能力，开发基于GPU的钢筋混凝土框架结构非线性静力、动力计算的高精度高效率分析平台，突破目前复杂大型结构高度非线性数值模拟计算时间成本大的瓶颈，具有重要实用价值。

结构非线性分析模型和分析方法是制约结构静力、动力分析应用的重要因素。为了更精确地反映构件的非线性行为，提出了一种精细的分析模型——纤维模型[3]，该模型直接从材料本构关系出发获得截面乃至整个构件单元的非线性性能。然而工程中用到的纤维模型是基于平截面假定的，这显然不适用于需要考虑构件剪切或扭转影响的情形，如何弥补传统纤维模型单元刚度忽略剪切和扭转的不足，成为研究精细化分析模型需要解决的问题之一[4]。在求解非线性问题的计算方法上，仍然存在求解精度和效率无法兼顾、负刚度等问题[5]。

为此，本文基于GPU开发了一种钢筋混凝土框架结构非线性有限元分析高效计算平台HSNAS(GPU) (High-Rise Structure Nonlinear Analysis Software based on GPU, 软件著作权编号：2014SR086353)。针对静力问题提出了有效地解决结构负刚度问题且适用于GPU计算的位移增量迭代算法，在此基础上开发了GPU的线性方程组并行求解器；针对动力问题，开发了基于GPU的Newmark时间积分算法的结构动力弹塑性时程分析软件，该分析软件结合纤维模型单元技术，可以考虑扭转、剪切变形和材料非线性的影响，采用了多个适用于GPU计算的并行计算策略，实现了结构非线性分析的加速，为工程应用中梁柱结构非线性有限元分析提供了一种高精度、高效率的计算分析平台。

1GPU并行计算平台设计

1.1GPU平台的任务划分

在实际应用程序中，大量的执行时间都耗费在循环迭代上。基于Knuth的统计，一个应用程序中规模不到4%的循环迭代耗费了约50%的应用程序执行时间。因此发掘应用程序的并行性是提高应用程序或应用算法执行性能的关键。

对一栋6层2×2跨的钢筋混凝土框架进行静力和动力作用下的模拟，统计各计算步骤的耗时，结果表明求解有限元方程组占整个问题求解时间的70%以上，动力问题相对静力问题占的比重更大。因此本文在HSNAS(GPU)平台上对算法流程在CPU和GPU进行任务划分(如图1所示)。将静力和动力计算程序交付给GPU执行，而初始化计算及前后处理则由CPU端完成。

图1　HSNAS(GPU)平台程序任务划分Fig.1 HSNAS(GPU) task partitioning

1.2GPU平台的核心架构

基于GPU架构的计算本质上是一种并行寻优的计算过程。在钢筋混凝土结构非线性问题的求解过程中，GPU计算模式需要遵循以下几条原则对整体有限元程序架构进行重新设计：① 充分考虑开发程序的并行性和异构性，以达到最优化的执行配置模式；② 能够识别计算任务中各任务的并行性并调度任务的执行；③ 能够使具有不同计算类型的计算资源能互相进行数据通信，协调运行；④ 最终目的是让整个应用程序的执行效率最高，计算耗时最短。

由此可见，基于GPU分析平台开发的关键是合理分配CPU与GPU的计算任务，因此本文设计和开发的分析平台让CPU执行数据读写和逻辑控制等顺序型任务，而计算密集的大规模数据运算则让GPU并行执行。

在HSNAS(GPU)平台上实现GPU并行计算的步骤如下：首先对需要并行计算的数据进行CPU端的预处理，由此转换成能被GPU端识别的数据文件；接着在GPU显存中开辟数据空间，将处理好的数据传输到GPU的显存中；然后读取计算配置文件，调用编写的内核函数(kernel)，开启GPU细粒度的并行执行任务；待GPU并行计算完成，再通过数据传输，将运算结果从GPU显存中拷贝回CPU内存里，接着继续进行余下任务的操作。

与单纯采用CPU多核并行架构[6]的并行模式相比，本文开发的HSNAS(GPU)平台架构相当于引入了更多数量的线程(thread)进行数据运算，GPU也根据相应的优化准则进行并行化计算，因而其计算效率能够得到明显地提高。

1.3CUDA并行编程模式

目前主流的GPU编程模式有CUDA、OpenGL、Direct Compute等。CUDA[7]是一种并行编程模型和软件开发环境，它提供了细粒度的数据并行化和线程并行化计算能力。本文开发的HSNAS(GPU)分析平台采用CUDA编程模式，且具备以下三个基本能力：① 任务管理：在CPU和GPU之间进行任务划分，并调度任务的执行；② 并行性描述：描述CPU和GPU之间的任务级并行以及CPU和GPU内部细粒度的线程级并行；③ 数据管理：能够管理CPU和GPU的程序数据，并在两者之间进行数据通信。

基于CUDA架构，对线程(thread)、线程块(block)以及内核函数(kernel)进行程序设计相当于对GPU的硬件单元进行控制设计。

2基于GPU的纤维模型非线性有限元理论

2.1虚加刚性弹簧的位移增量迭代算法

结构非线性静力分析的过程实际上是对非线性方程组求解的过程。已有的非线性方程组求解方法以力为增量的迭代法居多，其中Newton-Raphson法在求解结构力-位移曲线上升段时，适应性比较强。但是当临近极限强度以及软化下降段时，由于刚度矩阵失去正定性，采用以力为增量的迭代法导致计算不收敛，此称之为负刚度问题。目前已有一些负刚度问题的求解方法[8-9]，但这些方法也受到许多条件限制。本文提出虚加刚性弹簧的位移增量迭代算法，是一种有效解决负刚度问题的新方法。

非线性静力问题可归结为解代数方程组，一般采用增量格式：

[K]{Δδ}={ΔF}

(1)

式中:[K]为总刚度阵；{ΔF}节点荷载增量；{Δδ}为节点位移增量。

在原结构体系施加变载的各自由度方向上虚设一个刚度较大的弹簧，并且假设弹簧的刚度在受力过程中保持不变。原结构体系虚设弹簧后的合成体系如图2所示。

图2　原结构虚设弹簧示意图Fig.2 Structure add virtual spring

虚加弹簧作用之后，式(1)改写为,

(2)

(3)

式中:[K]s为虚加弹簧的刚度矩阵，表达式如下,

[K]s=diag(ξ1ks1,ξ2ks2,…,ξnksn)

(4)

式中:ksi表示在第i个自由度上虚加的弹簧刚度，一般取为刚性弹簧，刚度较大，保证在整个求解过程中，弹簧的内力与位移关系为线性。ξi为弹簧刚度的取值系数，即：

(5)

此外，虚加弹簧后的结构节点荷载向量也要考虑由于节点位移引起的弹簧虚加荷载增量：

(6)

因此式(2)展开写成：

[K]{Δδ}+[K]s{Δδ}={ΔF}+{ΔF}s

(7)

从式(7)左边项看出，弹簧刚度矩阵[K]s在整个求解过程中保持不变，结构的刚度矩阵[K]随着结构非线性受力变形而发生改变。当结构达到继续承载力时，[K]将从正定转为负定，有限元刚度方程的系数矩阵出现奇异，也就是前文提到的负刚度问题。为了克服这一问题，修正式(7)，在方程两边同时加上[K]0{Δδ}，其中[K]0为结构的初始刚度矩阵，这时式(7)变为：

([K]0+[K]s){Δδ}={ΔF}+{ΔF}s+{ΔR}

(8)

式中{ΔR}为不平衡力向量,

{ΔR}=([K]0-[K]){Δδ}

(9)

由式(8)可见，通过改写的方程左端系数矩阵在分析过程中始终保持正定。

式(8)的迭代格式,

(10)

式中:i为迭代次数；j为荷载增量步数。

如果结构只受位移控制，上式可简化为,

(11)

迭代的收敛准则采用位移增量为判断标准,

(12)

式中:tol为迭代收敛的容差，根据计算要求精度来确定。

上述修正后的算法对系数矩阵只需要在初始时进行一次分解，可保证节省存储空间的同时，显著提高计算效率。

2.2Newmark动力时程积分算法

非线性动力问题平衡方程的增量格式为：

(13)

上式求解方法常采用逐步积分法，本文采用Newmark-β法，时间微段的速度增量和位移增量为：

(14)

{Δu}=

(15)

将式(14)和式(15)代入式(13)：

[K*]{Δu}={ΔF*}

(16)

式中:[K*]为等效刚度，{ΔF*}为等效荷载增量。

有关Newmark-β法的更多详细介绍，可参考文献[10]，在此本文不作赘述。

2.3纤维模型单元技术

2.3.1基于Timoshenko梁的纤维单元模型

基于Timoshenko梁的纤维模型基本假定：① 满足平截面假定，变形前垂直于梁中心线的截面变形后仍保持平面，但不再与梁中心线保持垂直，而是发生翘曲；② 一个单元沿长度方向划分若干个积分点，各纤维处于单轴应力状态；③ 忽略纤维的黏结滑移影响；④ 剪力和剪应变沿截面均匀分布，在截面层次上考虑剪切，与其他变形分量不耦合。

截面的剪切应变为：

γ=dω/dx-φ

(17)

梁截面的曲率为：

χ=-dφ/dx

(18)

因此，考虑剪切变形影响的梁单元任一截面的变形为：

ds(x)=

(19)

根据Timoshenko梁垂直于中性面的截面变形后仍保持为平面的假定，纤维的应变为：

εf(x,yif,zif)=b(x,yif,zif)ds(x)

(20)

式中:b(x,yif,zif)为考虑剪切效应的几何变换矩阵。

(21)

式中:zif和yif为纤维的几何中心坐标，如图3所示。

图3　纤维模型单元Fig.3 Fiber element

纤维的应力表示为：

σf(x,yif,zif)=Df(x,yif,zif)εf(x,yif,zif)

(22)

式中:Df(x,yif,zif)为纤维的材料刚度。

(23)

式中:Eif和Gif分别为纤维的切线模量和剪切模量。

对截面内所有纤维积分，获得截面刚度矩阵和截面抗力矩阵：

(24)

(25)

在单元层次上，单元刚度矩阵和单元抗力向量：

(26)

(27)

式中：B(x)为应变矩阵。

2.3.2钢筋混凝土纤维本构模型

纤维模型的计算精度和效率还取决于材料本构模型的选取。如下所述，本文选取的材料本构模型均是较为精细却又不失较高计算效率的本构模型。

(1) 钢筋本构模型

本文所采用的修正Menegotto-Pinto钢筋本构模型[11]，如图4所示，能够考虑钢筋屈服、等向强化、包兴格效应等特性，该模型不仅分析效率高并且与试验数据吻合较好。

图4　修正的Menegotto-Pinto钢筋本构Fig.4 Menegotto-Pinto steel model

(2) 混凝土本构模型

本文采用如图5(a)所示的混凝土受压滞回模型综合了Kent-Park模型[12]、Blakeley两折线模型[13]和焦点模型的优点。一方面，通过修改骨架曲线中的强度增大系数和应变软化段斜率，可以模拟箍筋对混凝土的约束作用；另一方面，采用的两折线卸载路径和焦点模型，可以模拟混凝土在滞回过程中的刚度退化和滞回耗能性能。混凝土受拉滞回模型采用如图5(b)所示的Yassin模型[14]。该模型较精细，可以考虑受拉刚化效应，模型参数也较少，能兼顾计算精度和计算效率。

图5　混凝土滞回本构Fig.5 Hysteretic concrete stress-strain relation

3基于GPU的非线性分析并行化实现

3.1计算数据与线程之间的映射关系

从有限元离散化角度出发，一个精确的有限元结构模型包含数十万个单元和节点，因此整个模型将有大量的全局自由度。将计算数据和线程一一对应是一种可行且高效的GPU并行策略。并行策略可分为以下三种计算模式：① 线程与单元对应；② 线程与节点对应；③ 线程与自由度对应。前两种模式的计算数据对象可以分割并分发到每个处理器的并行计算平台上。然而，GPU的并行模型是一个细粒度模型，用相邻的线程去映射相邻的数据是最有效的。因此本文将每一个全局自由度视为一个独立的计算单位，它的变量数据更新是独立的，即在全局坐标下的矩阵/向量(刚度矩阵、力、位移等)的元素是独立的。密集的算术运算使这些数据特别适合GPU线程级的并行实现。

计算数据和线程存在如图6所示的一一映射关系。图中示例为一个线程块(block)设置了128个线程(thread)，根据数据规模([n]+128-1)/128配置线程块数量，保证线程块数量为一个整数，因此所有线程总数大于或等于实际计算数据总量。此外，GPU的并行计算能力还依赖于GPU上固定集成的硬件资源，因此对硬件资源合理分配，才能保证计算程序效率的最大化。

图6　计算数据与线程之间一一映射关系Fig.6 Mapping relationship between calculated data and threads

3.2基于GPU的线性方程组并行求解器

PCG(Preconditioned Conjugate Gradients, 预处理共轭梯度法)法是目前求解大型对称正定稀疏线性方程组最为有效的算法之一[15]。该算法存在内在并行性，易于实现并行化，且要求的存储空间和计算量相对较小。图7给出了基于GPU并行PCG求解器的流程图。流程图中空心箭头指向的表示在GPU中执行的内核函数。

图7　基于GPU的线性方程组并行求解器流程Fig.7 PCG parallel solver based on GPU

从图7看出，除了在迭代开始前和结束后，需要进行CPU和GPU的数据传输，在迭代程序中，只需要在CPU中进行少量计算以及进行收敛控制外，其余计算基本都在GPU中执行。该求解器的设计既可以充分发挥CPU的任务调度与逻辑判断能力以及GPU强大的浮点运算能力，又尽可能地减少CPU和GPU之间的数据通信，减少时间开销，提高并行效率。

3.3基于GPU的动力时程分析程序

逐步积分法的每个时间步计算将消耗大量的计算时间。因此本文开发的动力分析程序将整个时间步积分在GPU中完成，计算流程如图8所示。每个时间步下等效刚度和等效荷载采用内核函数计算，位移增量则采用并行PCG求解器加速求解，新的速度和加速度也采用相应的内核函数计算，GPU中的计算直至整个时间步循环结束为止。

图8　基于GPU的动力时程计算程序流程Fig.8 Flowchart of dynamic analysis program based on GPU

4平台测试

4.1平台参数

计算平台：CPU为Intel i5-2300，频率为2.8 GHz，内存为4.00 GB；GPU为NVIDIA GeForce GTX 460，336个GPU流处理器核心数目，计算能力2.1，流处理器频率1.4 GHz，显存为1.0 GB，显存带宽为115.2 GB/s。

软件开发环境：① Microsoft Windows 7 64位操作系统；② Microsoft Visual Studio 2012开发环境；③ 全面支持CUDA Fortran的PGI Accelerator Visual Fortran编译器；④ CUDA 5.0驱动(driver)。

4.2算例模型

为进行初步验证，本文算例模型保持为弹性。非线性验证参考论文的第Ⅱ篇。

算例为一栋10层钢筋混凝土框架结构，结构平面和立面如图9所示。框架层高为3 m，跨度为6 m，框架柱截面450 mm×450 mm，混凝土采用C40，框架梁截面300 mm×500 mm，混凝土采用C30，楼面承受恒荷载3.0 kN/m2，活荷载2.0 kN/m2。

图9　框架模型Fig.9 Frame model

4.3静力计算

为了对比计算精度，采用本文开发的HSNAS(GPU)平台计算得到的①轴和轴相交的角柱竖向变形与有限元软件ABAQUS得到的计算结果对比，如表1所示。从表中看出HSNAS(GPU)平台与ABAQUS计算结果完全吻合，两者之间的误差几乎为0，初步验证了本文开发HSNAS(GPU)平台以及所提算法的正确性，可用来进行下一步的分析。

采用不同网格划分的计算模型，图10给出计算耗时及加速比与自由度大小的关系。由图中看出HSNAS(GPU)平台计算耗时远远少于传统CPU串行平台，计算效率非常明显，随着自由度增大，获得了30倍以上的加速比。

表1　①轴和轴角柱竖向变形计算结果对比

Tab.1 Comparison of vertical deformation of column in axis ① and 　mm

表1　①轴和轴角柱竖向变形计算结果对比

楼层HSNAS(GPU)ABAQUS误差(%)1-0.425-0.4250.0002-0.809-0.8090.0003-1.152-1.1520.0004-1.454-1.4540.0005-1.713-1.7130.0006-1.929-1.9290.0007-2.102-2.1020.0008-2.231-2.2310.0009-2.317-2.3170.00010-2.360-2.3600.000

图10　计算耗时对比及HSNAS(GPU)平台加速比Fig.10 Comparison of computation time and speed up

4.4动力计算

采用本文开发的HSNAS(GPU)平台进行动力时程分析，地震波采用El Centro(N-S)波，加速度峰值调整为35 cm/s2(7度多遇烈度)，结构采用瑞利阻尼，前两阶阻尼比取0.05。HSNAS(GPU)平台得到的顶层位移、速度、加速度时程曲线与ABAQUS计算结果对比如图11所示。

图11　HSNAS(GPU)平台与ABAQUS计算结果对比Fig.11 Comparison of ABAQUS and HSNAS(GPU) platform

从图11中看出，HSNAS(GPU)平台得到的动力响应与ABAQUS有限元计算结果符合较好。同样，为了测试HSNAS(GPU)平台的动力问题计算效率，采用不同网格划分的计算模型，统计计算耗时及加速效果如图12所示。能得到与静力计算类似的曲线结果，随着自由度增大，获得了25倍以上的加速比。

图12　计算耗时对比及HSNAS(GPU)平台加速比Fig.12 Comparison of computation time and speed up

5结论

(1) 利用GPU并行计算能力，开发了基于GPU的钢筋混凝土框架结构非线性静力、动力计算的高精度高效率分析平台HSNAS(GPU)。让CPU处理数据读写和逻辑控制等顺序型任务，GPU则处理计算密集的大规模数据操作，将结构有限元分析各步骤进行了“粗粒度”的任务划分。从有限元离散化角度出发，将每一个全局自由度视为一个独立的计算单位，建立了计算数据与GPU线程一一对应映射关系，实现了对硬件资源的合理分配，保证了计算程序效率的最大化。

(2) 对非线性求解中常见的负刚度问题，提出一种新的适用于GPU计算的位移增量迭代算法。针对动力问题，提出了基于GPU的Newmark时间积分算法。结合纤维模型单元技术，引入剪切、扭转变形以及材料非线性的影响，采用了多个适用于GPU并行的计算策略并且编写了内核函数，在HSNAS(GPU)平台上开发完成了钢筋混凝土框架结构非线性有限元程序。该程序能够识别出数据并行程度高且计算密集的部分，通过配置语句由CPU主程序调用GPU的线性方程组并行求解器，从而实现了结构非线性静、动力分析的加速。

(3) 在HSNAS(GPU)平台上对钢筋混凝土框架结构算例模型进行了弹性的静力、动力分析进行初步验证。HSNAS(GPU)平台获得的计算结果与有限元软件对比吻合较好，随着计算模型的增大，分别获得了30和25倍以上的提速效率。

(4) 鉴于GPU的巨大计算潜能，为进一步提高计算平台体系的执行效率，本文对HSNAS(GPU)平台进行了相应的程序优化策略、更深入地非线性分析以及平台精度和效率的验证，这些研究内容将在论文的第Ⅱ篇详述。

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基金项目：国家自然科学基金重大国际(中美)合作研究项目(51261120374)；国家自然科学基金面上项目(51278155;51378007)

收稿日期：2015-04-07修改稿收到日期：2015-07-07

通信作者滕军 男，博士，教授，博士生导师，1962年生

中图分类号:TU375

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.008

An efficient platform HSNAS(GPU) for nonlinear static and dynamic analysis of reinforced concrete frames—Ⅰ. Program development

LI Hong-yu, TENG Jun, LI Zuo-hua

(Shenzhen Graduate School, Harbin Institute of Technology, Shenzhen 518055, China)

Abstract:The traditional serial computation platform has some disadvantages such as low accuracy and dramatically high time consuming, which have hindered the development of structural nonlinear dynamics analysis. In order to achieve a higher computing accuracy and save calculation time in the process of nonlinear dynamic analysis of reinforced concrete (RC) frames, a simulation platform HSNAS(GPU) based on the graphics processing unit (GPU) was developed. For static analysis, a GPU-based incremental displacement algorithm was introduced to deal with negative stiffness problems, and a parallel preconditioned conjugate gradients (PCG) solver was developed. For dynamic analysis, the GPU-based Newmark-beta algorithm was presented. The fiber beam model was improved by considering the effects of shear and torsion. In addition, the constitutive models of steel and concrete were developed. The results of numerical examples illustrate that the developed platform HSNAS(GPU) could improve the efficiency of nonlinear static and dynamic analysis besides satisfying the accuracy requirement.

Key words:reinforced concrete structure; nonlinear finite element analysis; simulation platform; GPU; fiber model

第一作者 李红豫 女，博士生，1985年生