解排列组合综合问题的基本方法

2016-08-01彭春齐

新课程·下旬 2016年6期

关键词：排法三棱锥题意

彭春齐

求解排列组合的综合问题，首先要认真审题。只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，并注意结合分类加法与分类乘法两个计数原理，要按元素的性质确立分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序。以下是解排列组合综合问题的一般思路：

一、四项基本原则

一是“先选后排原则”：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时采取此原则，即先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列。

例1.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）

解析：根据所选偶数位0和2分类讨论求解。

（1）当选数字0时，再从1，3，5中取2个数字有C23种选法，将其排在个位与百位有A22种排法，则排成三位奇数有C23A22=6个。

（2）当选数字2时，再从1，3，5中取2个数字有C23种选法，然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位有C12种选法，其余两个数字全排列有A22种排法，则排成的三位奇数有C23C12A22=12个。

由分类加法计数原理，共有18个三位奇数。

二是“特殊优先原则”：如果问题中有特殊元素或特殊位置，就优先安排特殊元素或特殊位置，再安排无特殊要求的其他元素或位置。

例2.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数。

（1）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；

（2）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。

解析：（1）这名男生必须选择，除他之外还需选择4人，有C47种选法，由于该男生不担任数学科代表，故先安排该男生有A14种方法，而其他4人没有特殊要求，则任意作全排列，故符合题意的共有C47A14A44=3360种不同的选法。

（2）这名男生和女生必须选择，因此先从除去该男生和该女生的6人中选3人，有C36种选法，该女生一定担任语文科代表故不需安排，则先安排该男生，有A13种方法，其余3人作全排，有A33种方法，故符合题意的共有C36A13A33=360种不同的选法。

点评：有特殊要求的元素一般优先安排，然后再对其他的元素作全排列。

三是“正难则反原则”：就是从正面直接考虑分类情况比较复杂或求解比较困难时，则从其反面考虑用间接法求解。

例3.已知M、N是两个平行平面，在M内取4个点，在N内取5个点，这9个点中再无其他4点共面，则以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？

解析：以这9个点中4个点为顶点要组成三棱锥就是要求这4点不共面，直接从9个点中选4个点不共面，应分三类：平面M取3个点平面N取1个点，平面M取2个点平面N取2个点，平面M取1个点平面N取3个点，故可组成C34C15+C24C25+C14C35=120个三棱锥，但若从反面考虑，从9个点中任选4个点有C49种，再只需去掉其中4点共面的情况，而由题意可知只有平面M和平面N中有4点共面，故以这些点中4个点为顶点能作C49-C44-C45=120个三棱锥。

点评：直接考虑选4个不共面的点作三棱锥分三类，其中容易漏选，但从反面间接考虑，在9个点中任取4个点之中去掉4点共面的情况即可，显然这种方法更便捷。

二、五种常见解法

1.分排问题“直排法”

把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。

例1.7人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？

解析：7个人可以在两排中随意就座，再无其他条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。

2.相邻问题“捆绑法”

排列问题中要求几个元素相邻就把几个相邻的元素捆绑在一起作为一个整体视为一个元素，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列。

例2.有3名男生，4名女生排成一行，其中男生必须在一起有多少种不同的排法？

解析：将男生看作一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有A33C55=720种不同的排法。

3.不相邻问题“插空法”

先排好其他一般元素，再把要求不相邻的元素插入其他元素之间或两端的空当中就可确保其不相邻。