超越现实：负数的诞生

◇储冬生

超越现实：负数的诞生

◇储冬生

负数的产生

数学的产生无非就是两个路径：一是实践的产物，二是数学自身发展的产物。负数的产生就是如此：一方面是源自人们生活中的经验，如交易中的盈利和亏损，个人收支的得与失等；另一方面也是数学自身的发展需求，如减法运算中，两个正数相减不一定得到正数。为了解决这些问题，人类不得不创造出一种新数，把数的范围从正数扩大到负数。

据史料记载，世界上较早发现与认识负数的应当是我们中国人和同处东方的印度人。在我国战国时期，李悝在一部有关法律的著作《法经》中就已记下应用负数的案例：“今一夫挟五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石……衣五人终岁用千五百，不足四百五十。”这段话是说：一个农夫的五口之家，种田百亩。每年每亩收获一石半，共收粮食一百五十石 （除缴税、口粮以及宗祠祭祀用钱外，每年剩余1050钱——此处未引用原文），穿衣每人要300钱，5人一年1500钱。最后一句是说这户农家入不敷出，“不足四百五十”，即 1050-1500=-450。 这里出现的“不足”二字，用现代观点来看就是有了负数，至少是负数诞生的萌芽。

现在有很多秦汉时期的竹简陆续被发现，在我国西北地区的居延海附近发现的汉代竹简上，出现了大量的负数运算的宝贵史料，如“万岁候长”有“负四筭，得七筭，相除得三筭”。“筭”为古字“算”，“相除”就是相减，“负”是欠人家的，其算法是7-4=3，实际应是（－4）+7=3。 又如“相除以负百二十四筭”，即指－124。这些出土文物证明了负数在我国的起源是很早的。

公元3世纪，我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中，率先给出了负数的精辟定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”这句话是说，在计算过程中，遇到具有相反意义的两数，以正数和负数来区分它们。刘徽关于正负数的定义，是建立在当时的人们使用正负数运算的经验之上的，是以凝练的词语、确切的含义对这一实践的理论升华，是负数发展史上的一个里程碑。

关于负数的表示，较早有这方面记载的也是中国和印度。聪明的中国祖先是采用算筹来表示正负数的。比如：用红筹表示正数，黑筹表示负数；用正着摆表示正数，用斜着摆表示负数；用截面为三角形的筹表示正数，用截面为正方形或矩形的筹表示负数；用斜画一杠表示负数，通常画在最后一位有效数字上；在负数后面写一个“负”字……但令人遗憾的是，中国古代数学始终没有创造出简明的符号来表达负数，这是一个致命的弱点，它严重阻碍了中国数学的大发展。后来印度的数学家婆什伽罗在《算法本源》一书中，首次提出用记号表示负数，即在数字的上面加上小点或小圆圈来表示负数，这应当是负数发展史上的又一次飞跃。

负数的争论

中国人、印度人在1000多年以前就认识了负数，并使用正数和负数进行简单加减运算，可是西方国家对负数的认识却经历了一段艰难曲折的历程。古希腊数学家丢番图一方面应用负数，并且给出负数的运算法则，另一方面却拒绝方程的负根。丢番图这种矛盾的双重性态度，代表了西方世界较为普遍的倾向，即实践上加以应用，理论上拒绝承认负数。就此，他们又展开了长时间的深入思考，思考的焦点凝聚于一点，就是：方程到底有没有负根？

法国数学家阿纳德还举出一个例子来反对负数，他说，承认－1∶1=1∶－1，而－1<1，那么较小数与较大数的比，怎能等于较大数与较小数的比呢？这个责难引起了不少数学家的赞同，连德国数学家莱布尼兹也认为这个责难有道理。第一个给负数正确解释的是意大利著名数学家斐波那契，他在《算盘书》（1202年）中认为负量是有意义的，可表负债，但他也不承认负根。

西方世界对于负数的争论达400多年之久，18世纪达到高潮。著名数学家德·摩根在《论数学的研究和困难》（1831年）一书中，仍坚持 “负数是荒谬的”观点。他也举了一个“具有说服力”的例子：“父亲56岁时，他的儿子29岁。再过多少年，父亲的年龄是儿子的2倍？”他设再过x年时，父亲的年龄为儿子的2倍，并列出方程 56+x=2（29+x）,解得x=－2。他说这个结果是荒唐的。事实上，x=－2可以理解为父子年龄退后2年便是问题之解。

欧洲一些数学家无法撩开负数的面纱，但也有一些思想开放的数学家逐渐读懂了负数的内涵。意大利数学家邦别利在《代数学》（1572年）一书中正式给出了负数的明确定义。荷兰数学家基拉德在《代数新发现》（1629年）中第一次提出了代数的基本定理，最早指出一元n次方程有n个根，他是欧洲最早承认方程有负根的数学家，同时第一个提出用负号“－”表示负数。从此，负数符号“－”逐渐得到人们的公认，一直沿用至今。再后来数学家笛卡儿在《方法论》（1637年）一书中，系统建立了平面直角坐标系，讨论了决定正根和负根的“笛卡儿符号法则”，负数才得到新的地位，显示出了它的独特魅力。

回顾西方对待负数的态度转变，我们可以看到数学家高斯的一段总结：早年的代数学家把方程的负根叫为假根，当与它们有关的问题是用这样的方式来表达，即所求的量的性质不能有相反的量时，这个讲法的确是真实的。然而，正如分数对许多可数的东西毫无意义而言，而我们却在广义的算术里毫不踌躇地承认了它一样，我们不应该只因为有无数的东西不许其有相反的量，就否认负数有同于正数的权利。因为在其他无数的场合中，负数也具有合适的解释，所以它的真实性就得到充分的佐证了。这段话言简意赅地说明了负数在西方开始被拒绝的原因以及后来又被接受的理由。

负数的运算

在我国公元前1世纪成书的《九章算术》中，就已建立了明确的正负数加减法运算法则：“正负术曰：同名相除[即同号相减， 如±a－（±b）=±（a－b）]、异名相益（即异号相加。‘相益’指两数相加），正无入负之（即以零减正得负），负无入正之（即以零减负得正）。其异名相除（即异号相减），同名相益（即同号相加），正无入正之（即零加正得正），负无入负之（即零加负得负）。”这里所说“同名”“异名”分别为同号、异号，“相益”“相除”分别指两数相加、相减；“无”具有零的意思。这是关于负数加减法运算的最早记载，它与今天的负数加减法法则是完全一致的。

负数的加减运算由于可用债务关系作为解释，人们理解起来不算困难。而对于负数的乘除法法则，却因为一时找不到直观的现实模型而陷入困惑之中。直到公元7世纪印度数学家婆罗摩笈多在他所著《婆罗摩修正体系》（628年）一书中，才记载了负数乘除法的法则，这在全世界都是领先的。500多年以后，印度数学家婆什迦罗在前面提到的那本《算法本源》的著作中，才进一步明确了使用负号参与运算的法则：“正数、负数的平方，常为正数；正数的平方根有两个，一正一负；负数无平方根，因为它不是一个数的平方数。”

对于“负负得正”的困惑，长期困扰着人们。19世纪法国著名作家司汤达曾这样描述自己的感受：“当我发现没有人能够解释‘负负得正’的原因时，你能想象我的感受吗？对我来说，这个没有解决的难题是够糟的了，而更糟糕的是，有人用那些显然自己都不清楚的理由来对我讲解。”他描述他的数学老师无论怎样解释“负负得正”，总不能使人信服。最后，老师要他们将负数量看成某人的欠债，司汤达以幽默的笔调写道：“一个人该把10000法郎的债与500法郎的债乘在一起，好得到500万法郎的收入呢！”“负负得正”的幽灵，在现实中不易找到通俗的解释，成为一种典型的文化现象。

随着解析几何学科的建立，用数轴解释“负负得正”成为一种 “形象的直观”。例如，我们把－1乘以一个负数，看成是使该数在数轴上发生一次改变的操作。（－1）×（－1）=1 这一事实也可以解释为，使数轴上距离原点左边一个单位的点，变换成数轴上距离原点右边一个单位的点。如此说来，“负负得正”并非“不言而喻”，而是一个深刻的几何事实。如果你还难以理解的话，我们不妨分享一下张景中院士和任宏硕教授在 《漫话数学》中给出的代数方法，即根据0的性质和结合律来直接推导。为什么－（－a）=a(a 是正数)？他们的推导方法如下：

上述的推导过程，恰好印证了数学家欧拉对－（－a）=a （a 是正数）的经典解释：把a看成自己的钱，－a就是一笔债务。－（－a）就是免除了这笔债务，即收入了一笔钱。

负数的启迪

负数概念的建立在数学发展史上是一个重要的里程碑。负数作为数概念的一次扩展，其意义至少包含以下几个方面：首先，负数的概念是客观存在的。生活中存在着许多相反意义的量，人们无法对它完全回避。其次，负数是方程的需要。引入负数以后，可以使更多的方程有解，而且可以对方程作更一般的讨论，而不必回避很多类型的方程。再次，负数还是数的运算的必然结果。正如前面所述，两个正数相减，不够减就需要用负数来表达其运算结果。引入负数，构成整数系统，这样对于加、减、乘的运算就都是封闭的了。

为什么负数在东方能较早得到认可，而在西方普遍较晚呢？以我国为例，至少有以下几个方面的原因对负数概念的提出起到了促进作用：首先，我国在汉朝的社会生产力大大提高，现实生活中具有相反意义的量不断出现，实践中提出许多与负数有关的问题，使得负数概念的产生成为一件必要的事；其次，我国数学家普遍具有实用的态度也是重要原因。东方数学比较注重实用，而不太注意逻辑的严密性。我国最早产生负数是为了解决生活中越来越多的亏欠、负债等现实问题，是实践的需要。在东方，人们对有用的就引入使用，并没有纠缠于负数存在的逻辑基础，或过多考虑其中可能存在的更深刻的矛盾。再有一点值得提及的是，我国传统哲学所注重的阴阳对立、矛盾双方相反相成等辩证观念，也深刻影响了我们对负数概念的理解。刘徽对负数的认识就是从阴阳对立、双方相反相成的观点出发进行论述的。

与此相对，这些有利于引入负数的条件在当时的西方却不具备，其中最重要的一点就是东西方在数学基本观念上的差别。西方数学家继承了古希腊的数学传统，不像中国数学家那样注重实用，而是更为强调逻辑。虽然西方人也会经常面对生活中具有相反意义的量，但是他们的数学观念阻碍了他们从实践中产生负数的概念。可以说，正是西方数学传统中具有的对逻辑严密性的情有独钟的倾向，阻碍了西方人对负数的认可，同时也促使他们对负数进行了更深刻的思考。所以，东西方对于负数接受得早与晚，不能简单地用先进或落后来评价，这段历史倒是让我们看到了不同民族的社会背景、传统文化对于数学发展造成的深刻影响。

1.徐品方，陈宗荣.数学猜想与发现[M].北京:科学出版社,2012.

2.韩雪涛.好的数学：数的故事[M].长沙:湖南科学技术出版社,2014.

3.张景中，任宏硕.漫话数学[M].北京:中国少年儿童出版社,2003.

4.梁宗巨.数学历史典故[M].沈阳:辽宁教育出版社,1992.

5.张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社,2000.

[本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“本原性问题驱动小学数学课堂教学的实践研究”的阶段成果（项目批号：B-a/2013/02/007）]

（作者单位：江苏海安县实验小学）