如何使“空间”不“空”——谈小学数学“体积”概念的教学

◇杜海良

如何使“空间”不“空”
——谈小学数学“体积”概念的教学

◇杜海良

小学教材中体积的定义是：“物体所占空间的大小叫做物体的体积。”“空间”是这一定义的核心内涵，从一维的“长度”、二维的“面积”到三维的“体积”（空间），是学生对图形认识的飞跃。

然而，“空间”是“空”的，与“长度”（可以摸一摸、量一量线段的长短）“面积”（可以摸一摸、比一比面的大小）等相比，“空间”显得十分抽象。张奠宙教授在《从体积的定义说起》[1]一文中就指出：什么是“空间”？很费解，比体积本身更难懂。何谓 “所占”？如何衡量“大小”？……

由此我们可以看出，学生对“空间”的认识程度就决定了学生对“体积”概念的认识深度。在实际教学中，如何有效地帮助学生认识重要而又难懂的“空间”呢？

一 感知空间的存在

【片段一】

师：同学们，看这个杯子。这是3块大橡皮，我先放进去。这里还有些加了红墨水的水，我想倒一些进去，能倒吗？

生：能。

师：为什么？

生：杯子里还有空的地方。

师：有吗？看——（比画）像这样杯子里还有空的地方，我们就可以说杯子里还有空间。

（师板书：空间）

师：好，我们一起来倒。（往杯子里慢慢倒水）还能继续倒吗？

生：能。

师：为什么？

生：杯子里还有剩余的空间。

师：（继续倒）现在呢？

生：能。

师：发现了什么？

生：杯子里剩余的空间正变得越来越小。

师：（已倒满水）现在呢？

生：不能了。

师：为什么？

生：杯子里没有剩余的空间了，再倒水就要溢出来了。

教学 “空间”，不能像教学“长度”“面积”等概念那样，可以针对具体的对象直接展开教学，因为空间具有抽象性与内隐性。在上述教学中，教师首先拿出的是已经装了3块大橡皮的杯子，让学生观察是否还能加水，这样做的意图是想让学生有对比地看出“空隙”，这样做比直接拿一个空杯，问能否向里面倒水，“空间”的存在感更强。接着通过“还能继续倒吗”的提问，引导学生观察、思考：继续倒水时杯子里剩余的空间变得越来越小。这一动态过程加深了学生对“空间”的体验。最后，当倒满水时，水面到了杯子顶部，学生能清晰地意识到：杯子里的空间已被橡皮和水全部占满。通过这样的“倒水”活动，“隐”而“空”的“空间”就比较显性地呈现在学生面前。

二 体悟空间的三维特征

【片段二】

师：大家对空间有点感觉了吗？

生：有了。

师：那谁来说说，生活中哪里有空间？

生：我睡的房间是空间。

生：箱子里有空间。

……

师：大家说得不错，我也来说几个。请大家把双手轻轻地放在课桌的桌斗里，那么课桌桌斗是一个空间吗？

生：是的。

师：这是怎样的一个空间呢？我们一起静静地感受一下。双手先左右摸一摸，感受一下这个空间大约有多长；然后伸进去摸摸，感受一下这个空间大约有多宽；最后上下摸摸，感受一下高度。

（师生一起摸）

师：好，我们再一起来比画一下：桌斗空间大约有——这么长、这么宽、这么高。

（师生一起比画）

师：再看，我们上课的会场是不是一个空间？这个空间也有长度、宽度、高度吗？

（生答略）

师：嗯，虽然它是不规则的，但同样有，我们一起来指一指。

（师生一起指会场空间的长、宽、高）

师：看来，甭管是怎样的空间，其实都是有长、宽、高这三个维度的。

在初等数学中，空间通常指三维空间，是由原点与X轴、Y轴、Z轴共同构成的坐标关系，由长度、宽度、高度表现出来（体积）。因此要让学生真正懂“空间”、理解“空间的大小”，必须让他们理解空间的三维特征。在这里，教师首先引领学生一起摸一摸桌斗空间的长、宽、高，让学生初步感知空间有大小，这个大小由长、宽、高这三个维度决定，不再像以前学习的“面积”只看长与宽。然后指一指会场这一不规则空间（不是长方体了）的长、宽、高，让学生感受到，不管是怎样的空间，其实都是有长、宽、高这三个维度的。

三 提炼空间的大小

【片段三】

师：再来看这两个同样的杯子，都装满了水。依次投入这两颗大小不同的石子，会发生什么现象？请注意观察。（演示）你看到了什么？

生：大石子这边溢出的水多。

师：透过现象想本质，大石子这边溢出的水多说明什么呢？请先自己静静地想一想，再在小组内互相说一说。

（生思考、讨论）

师：谁来说？

生：说明大石子所占的空间大。

师：是啊，正是因为大石子比小石子所占的空间更大，所以才把更多的水从杯子里挤了出来。（课件出示：大石子所占的空间比小石子所占的空间大）我们一起来读一读。

（生读）

师：“所占空间的大小”在数学上还有一个名字，你知道叫什么吗？

生：体积。

师：是的，在数学上，物体所占空间的大小叫做物体的体积。

在学生比较清晰地体验到“空间”这一体积概念的核心内涵后，“体积”定义的出场就显得水到渠成了。在这里，教师通过让学生透过现象想本质，对“大石子这边溢出的水多又说明什么”这一问题的思考、交流，学生很自然地想到是因为大石子所占的空间大，所以才会把更多的水从杯子里面“挤”出来。这个活动，不但能让学生“看到”大石子所占的空间比小石子所占的空间大，也能理解“所占”的意思：石子占有多大空间，就有多少水被 “挤了出来”。接下来，通过“‘所占空间的大小’在数学上还有一个名字，你知道叫什么吗”的提问，自然唤醒学生的已有经验：体积。虽然学生原来可能听说过“体积”这个词，但他们对“体积”的认识是模糊的。但是通过这样的活动，他们能比较清楚地意识到，原来“所占空间的大小”简单地说就是“体积”。

以上的教学，突出了“体积”概念的核心内涵“空间”，力求触及概念的本质，在“空间”的特征上下功夫，使“空间”不再“空”，从而使学生比较自然、流畅、清晰地认识了“体积”这一概念。

[1]张奠宙.从体积的定义说起[J].小学教学（数学版），2008(11)：12-13.

（作者单位：江苏江阴市辅延中心小学）