考虑波纹度和不平衡力的薄壁轴承-转子系统非线性分析

2016-07-26康锋张耀强杨茹萍牛青波

轴承 2016年6期

康锋，张耀强，杨茹萍，牛青波

(1. 河南科技大学土木工程学院，河南洛阳 471003；2. 洛阳轴研科技股份有限公司，河南洛阳 471039)

薄壁轴承因轻量化等特点,在机器人手臂关节、航空发动机等结构中广泛应用。在轴承加工制造过程中，由于加工工艺等原因，滚道表面不可避免会产生波纹度，在长期磨损后也会出现质量偏心，从而产生不平衡力，引起强迫振动。在轴承-转子系统中，由于这些非线性激励源的存在，会引起诸多用线性理论难以解释的动力学现象和一些不可预测的破坏后果[1]。近年来，众多学者开始用非线性动力学理论来分析这些现象。文献[2]考虑了波纹度等非线性因素对滚子轴承-转子系统的影响，其研究表明波纹度引起的振动频率会使系统产生强烈的振动。文献[3]研究了带有波纹度和不平衡转子的高速球轴承的非线性动力学特性，由于不平衡转子和滚动体波纹度的作用，振动频谱图的最大振幅出现在波通过频率、旋转频率及组合频率处。文献[4]提出了一种在考虑滚动零件波纹度、离心力和陀螺力矩的影响下计算球轴承特性的方法，分析表明由于波纹度的影响，轴承振动频率成分发生了变化。文献[5]在考虑非线性因素和不平衡力的基础上建立动力学方程，对滚动轴承-转子系统进行了分析，结果表明增大不平衡力，强迫振动会增强，并诱发系统产生混沌振动。文献[6-7]所做的研究仅考虑了强迫振动，没有涉及轴承内外圈波纹度等相关参数。以上研究均未充分考虑内外圈波纹度和强迫振动等因素，且关于薄壁轴承的研究较少。

现以薄壁轴承-转子系统为研究对象，在综合考虑内外圈波纹度、弹性恢复力、变柔度等非线性因素和不平衡力的基础上，建立轴承-转子系统非线性动力学方程，采用RK4算法求解，结合分叉图、Poincaré映射图和频谱图对薄壁轴承-转子系统的混沌、分岔及振动响应频率等非线性动力学特性进行分析。

1 薄壁轴承-转子系统的动力学分析模型

薄壁轴承-转子系统可以简化为一个刚性平衡转子两端由2个相同的薄壁轴承的对称支承。薄壁轴承-转子系统动力学模型如图1所示，假设只承受径向载荷[8]，其内外圈分别与转轴、机架刚性接触，滚动体均匀分布在保持架当中做纯滚动[9]，内外滚道表面具有正弦波的波纹度[10]，设表面波纹度“凸出”为正，“凹进”为负[11]，不计润滑作用，O,Oe分别为转子的形心和质心，e为转子质心的偏移量。薄壁轴承-转子系统内部关系示意图如图2所示，A为波纹度最大幅值，p为波纹度幅值，Fe为质量偏心引起的不平衡力，ω为转速，φj为第j个滚动体在t时刻的角位置。

图1 薄壁轴承-转子系统动力学模型

图2 薄壁轴承-转子系统内部关系示意图

1.1 薄壁轴承内外圈波纹度

在t时刻，与第j个滚动体接触的内外滚道表面波纹度幅值pij和pej为

j=1，2，3…Z，

(1)

式中：Nw为波纹度波数；β为波纹度初始相位角，(°)；Z为滚动体个数；ω0,ω1分别为保持架、内圈的角速度，r/min；D为滚道直径，mm；下标i，e分别表示轴承内、外圈。

1.2 弹性恢复力

根据Hertz接触理论可知，第j个滚动体与内外滚道接触的局部弹性恢复力Fj与弹性接触变形量uj的关系为

(2)

uj=[(xcosφj+ysinφj)cosα-Gr+pij-pej]+，

式中：Kb为系统总接触刚度，N/m1.5；τ=3/2；x,y分别为内圈中心在竖直和水平方向上的位移，mm；α为接触角；Gr为径向游隙，μm；下标“+”表示如果括号内的值为负或0，取uj=0。

在薄壁轴承-转子系统中，弹性恢复力F为所有局部弹性恢复力Fj之和，即

(3)

1.3 薄壁轴承-转子系统的非线性振动微分方程

根据Lagrange方程，薄壁轴承-转子系统的非线性振动微分方程为

(4)

式中：M为转子系统内圈、转子和滚动体的总质量，kg；C为轴承运转时的等效阻尼系数，N·s/m；Fr为施加在转子上的恒定垂直力，N。

轴承在运转过程中，其转子的振动为变柔度振动；转子质量偏心也会引起系统发生强迫振动；滚动体每次通过内圈波纹度波峰时，系统会产生波通过振动WPV(Wave Passage Vibration)[12]。这些振动频率对系统的非线性动力学特性都会有影响，但影响程度会随着工况条件的改变而改变。变柔度振动频率fvc、强迫振动频率ffv、波通过振动频率fwpv分别为

(5)

变柔度振动频率fvc与强迫振动频率ffv的关系为

fvc=ffvBN，

(6)

式中：BN为与薄壁轴承相关的系数，其值取决于轴承尺寸。

2 系统非线性动力学特性分析

以某机器人薄壁轴承单元为例，利用MATLAB对薄壁轴承-转子系统进行动态数值仿真分析。薄壁轴承-转子系统的主要参数：M=6.0 kg，Fr=10 N，C=220 N·s/m[11]，Z=42，Di=213.808 mm，De=236.284 mm，α=0°，Gr=10 μm。

波纹度和不平衡力是影响系统非线性特性的重要因素。由于滚动轴承-转子系统振动微分方程的强非线性特性，采用RK4算法进行求解，积分步长取一个激励周期的1/300，计算结果有选择性的采用分叉图、Poincaré映射图或频谱图分析系统的非线性动力学特性。

2.1 仅考虑外圈波纹度和不平衡力的非线性分析

为便于分析，参考文献[13-14]，取Ai=0 μm，Ae=1 μm，不平衡力Fe=0.05Fr，x方向位移随转速变化的分叉图和不同转速下x方向的Poincaré映射图分别如图3和图4所示。

图3 x方向位移随转速变化的分叉图(Fe=0.05Fr)

由图可以看出：在转速nrotor=820～960 r/min时，系统呈4周期振动;在nrotor=970～1 420 r/min时，系统呈2周期振动;在nrotor=630～810 r/min和1 430～2 010 r/min时，系统处于混沌状态;在nrotor=3 070～4 450 r/min时，系统呈拟周期振动。

其他参数不变，取不平衡力Fe=0.25Fr。x方向位移随转速变化的分叉图如图5所示，由图可知，系统响应混沌区由2个增加到3个，分别为转速nrotor=520～860 r/min，nrotor=1 430～ 2 520 r/min和nrotor=3 150～3 990 r/min。由此可见，增大不平衡力会使系统混沌区增大。

图5 x方向位移随转速变化的分叉图(Fe=0.25Fr)

2.2 仅考虑内圈波纹度和不平衡力的非线性分析

取内圈波纹度最大幅值Ai=1 μm，Ae=0 μm，不平衡力Fe=0.05Fr。nrotor=740,2 050,3 680 r/min时的振动响应的振幅频谱图分别如图6所示。

图6 振幅频谱图(Ai=1 μm,Ae=0 μm)

由图可知,系统在nrotor=740 r/min时，竖直x方向主要是波通过振动频率fwpv分量，水平y方向主要是强迫振动频率ffv倍频分量，y方向比x方向振动复杂。当nrotor=2 050 r/min时，x方向fwpv分量减少，ffv出现，y方向仅有1倍、2倍ffv分量。在nrotor= 3 680 r/min时，x方向ffv分量明显增大，fwpv减小，y方向只有1倍ffv。由此可见，随转速增大，强迫振动频率在系统振动响应中逐渐增强。

其他参数不变，取不平衡力Fe=0.25Fr。以系统非线性动力学特性最显著的转速为例分析，nrotor=3 680 r/min时的振动响应的振幅频谱图如图7所示。

图7 转速nrotor=3 680 r/min的振幅频谱图

由图6和图7可知，增大不平衡力，x方向振动频谱图变为一连续的宽频谱，频率成分复杂，y方向出现新的峰值频率，即波通过频率分频分量。同时x,y方向最大振幅也增大。x,y方向最大振幅随不平衡力的变化趋势如图8所示，由图可知，系统y方向最大振幅大于x方向，并随不平衡力的增大呈波浪式递增。由此可见，增大不平衡力，系统的振动响应频率变得复杂，最大振幅呈波浪式递增。

图8 x,y方向最大振幅随不平衡力的变化

2.3 考虑内外圈波纹度和不平衡力的非线性分析

取轴承内外圈波纹度最大幅值Ai=Ae=1 μm，不平衡力为Fe=0.05Fr和Fe=0.25Fr时，转速nrotor=3 680 r/min时的振动响应的振幅频谱图如图9所示。

图9 振幅频谱图(Ai=Ae=1 μm)

由图可知，x方向的振动响应比y方向复杂，其响应有强迫振动频率、波通过振动频率和变柔度振动频率。不平衡力较大时，系统振动会出现变柔度振动频率与强迫振动频率的组合频率及波通过振动频率与强迫振动频率的组合频率。不平衡力增大会使系统的振动频率组成更加复杂，同时振幅也会增大。由此可见，不平衡力增大会使系统的振动响应频率变得复杂，其对水平y方向的振动影响要大于竖直x方向。