与正多边形有关的几个极值问题

陈开文 张馨怡

[摘 要] 本文试图通过研究与正多边形有关的几个面积最大问题来给出“经典的等周问题”的一个直观易懂的证明.

[关键词] 等周问题；面积最大问题；正多边形；逼近；直观证明

问题和主要结果

最大或最小问题在理论上和实际生活中都是很重要的问题. “在所有给定周长的闭曲线中，什么闭曲线围的面积最大？”这是自古希腊以来的两千多年，人们一直感兴趣的经典问题，古希腊数学家就猜测“圆周围的面积最大”，但它的严格证明直到二十世纪初才陆续给出，通常要用到积分，尤其要用到Fourier级数及Wirtinger等周不等式.

本文通过研究与多边形有关的极值问题，我们试图用简单直观的方法来研究等周问题，我们先来证明以下三个与多边形有关的有趣定理：

定理1 在给定圆周上选取N≥3个点连成N边形，则正N边形围成的面积最大.

定理2 在周长给定的所有N边形中，正N边形围的面积最大.

定理3 给定平面正多形的周长l，则正多边形的边数越多，相应围的图形面积越大.

然后再证明等周定理：

定理4 在周长L给定的所有闭曲线中，圆周围的面积最大，最大面积为.

几个重要引理

在周长给定的所有的闭曲线中，不打结的凸的闭曲线显然围的面积更大，我们可以在凸的不打结闭曲线上任选n个点连成n边形，由于闭曲线是凸的，所以当分割的点增加时，多边形的边数和面积都同时增加，当多边形的最长边趋于0时，多边形围的面积趋近于闭曲线围的面积，且多边形的周长趋近于闭曲线的周长. 现在周长固定的假设下形变闭曲线，相应的嵌入在闭曲线内的多边形也随之形变. 由定理2知道，给定周长的所有n边形中，正n边形围的面积最大；由定理3知，n越大，正n边形围的面积也越大；当正n边形逼近圆周，正n边形围的面积逼近圆的面积，它是最大面积.

所以我们的形变过程实际上是形变闭曲线使嵌入其内的多边形变为边数越来越多的正多边形以增加所围面积的过程.

设圆的周长为L，则圆内接正n边形所围的面积Sn的极限为，事实上：当n→+∞时，正n边形的周长l→L（圆的周长），又由=1，所以，圆内接正n边形所围面积的极限为：，此即圆的面积.