多自由度模型NOFRFs估计及损伤检测的数值模拟

马少花，李欣欣，2，郑伟学，毛汉领，2

（1.广西大学广西制造系统与先进制造技术重点实验室，广西 南宁530004；2.广西大学机械工程学院，广西 南宁530004）



试验与研究

多自由度模型NOFRFs估计及损伤检测的数值模拟

马少花1，李欣欣1，2，郑伟学1，毛汉领1，2

（1.广西大学广西制造系统与先进制造技术重点实验室，广西 南宁530004；2.广西大学机械工程学院，广西 南宁530004）

摘要：基于Volterra级数理论定义的NOFRFs相当于非线性系统中的“传递函数”，可很好的表征非线性系统的本质特性，是非线性检测的重要工具。结合NOFRFs的一般估算理论，考察了脉冲锤击信号的特点，进而推导了脉冲锤击激励下NOFRFs的估算方法。对一维八自由度模型的数值模拟分析，验证了该估算方法的有效性，此外，还利用前人构建的NOFRFs指标实现了对该模型系统非线性特性的检测。

关键词：脉冲锤击激励；NOFRFs；非线性检测；模拟仿真

随着非线性理论的发展，非线性检测问题已得到了各领域学者的广泛关注，结构损伤、时间序列的混沌特性等均属于非线性问题。程长明等［1，2］基于NARMAX模型和系统NOFRF提取结构的非线性特性，进而实现了对桥梁模型等结构的损伤检测。姜可宇等［3］针对时间序列的非线性问题，基于非线性AR模型，提出以该模型的非线性检测量来检测时间序列混沌特性的非线性检测方法。鉴于非线性现象在实际工程中普遍存在，因此有必要建立一种方便、快速的检测系统非线性的方法。

众所周知，系统传递函数是一种很好的直接表征系统本质特性的方式。基于Volterra级数理论定义的NOFRFs，相当于非线性系统的“传递函数”，可很好的刻画系统的内在本质特性。Peng和Lang等［4］提出了NOFRFs的一般估算方法，使得NOFRFs在检测系统非线性方面得到了广泛应用。Peng等［5-7］利用各阶NOFRFs之间的关系实现了对一维循环结构非线性的检测；此外，他们还基于系统各阶NOFRFs值实现了对损伤梁非线性特性的检测［8］。韩清凯等［9］基于NOFRFs值实现了对转子系统内部非线性特性的识别。员险峰、李志农等［10，11］利用各阶NOFRFs值实现了转子系统非线性程度分有效辨识。

利用NOFRFs实现对系统非线性特性有效检测的前提是准确、快速的估算系统的NOFRFs。考虑到非线性检测的实用性，本文针对实际工程中易获取的脉冲锤击信号，结合NOFRFs的一般估算理论，提出并推导了脉冲锤击激励下NOFRFs的算法。基于该算法，结合Lang等［12］提出的NOFRFs指标，实现了对一维八自由度弹簧质量块模型系统的非线性检测和分析。

1　NOFRFs理论

若系统输入信号能量有限，则可用Volterra级数表示连续时不变非线性系统，其输出频谱可以如下表示［13］：

其中：Y（jω）和U（jω）分别是系统输入和输出频谱，Hn（ω1，…，ωn）是n阶Volterra频域核，即广义频率响应函数 （General frequency response function，GFRF）.对任意结构，其动态特性都可由GFRF来描述，然而由于GFRF Hn（n=1，…，N）是多维的，在实际中很难测量、表示和解释。

在非线性系统的Volterra级数理论基础上，Lang等人［14］提出了非线性输出频率响应函数（Non-linear Output Frequency Response Function，NOFRF）。若

从上式（2）看出，Gn（jω）是Hn（jω1，…，jωn）在频域ω1+ωn=ω上的加权和，其权数由输入信号决定，故而Gn（jω）也可像Hn（jω1，…，jωn）一样，表征系统的动态特性。

结合公式（1）和（2），系统的输出谱表示为：

图1　线性系统、非线性系统的输入/输出谱之间的关系

2　脉冲锤击激励下NOFRFs的估算

2.1脉冲激励下NOFRFs的估算方法

锤击法具有设备简单、操作方便、获取数据快速高效等特点，在实际工程中应用广泛。众所周知，基于锤击法得到的脉冲锤击信号并没有确定的数学表达式，这就给估算系统NOFRFs造成了困难。幸运的是，许多研究表明［15-17］，当选定力锤参数（包括力锤质量、锤头材质等）及锤击对象后，仅通过控制锤击速度的大小便可获得波形相似、脉冲宽度相同、仅力幅不同的脉冲锤击信号。基于实测脉冲信号的这些特性，实际应用中可通过合理的选取力锤参数及控制锤击速度获取满足NOFRFs估算条件的脉冲锤击信号，进而可实现对系统各阶NOFRFs的估算。

假设力锤质量、锤头材质、锤击对象均已确定，下面介绍实际工程应用中脉冲锤击激励下NOFRFs的估算过程：

首先，用力锤以不同锤击速度敲击被测结构次，分别以力传感器和加速度传感器收集相应的激励信号、响应信号；

其次，按图1（b）所示方法对个脉冲锤击信号进行重构，并对重构信号和响应信号进行傅里叶变换，分别得到

最后，利用最小二乘法解上述方程组，即可得到锤击激励下系统的前N阶NOFRFs.

2.2基于NOFRFs构造检测指标

NOFRFs是一维函数，方便表达和解释，易从输入/输出中辨识得到，它可很好的表征系统本质特性的变化，然而直接对比各阶NOFRFs值来实现对系统非线性特性的检测并不够简便明了。为方便分析，Peng和Lang等人基于NOFRFs提出了一种简洁的指标：

3　数值仿真分析

以图2所示的是一维八自由度弹簧质量块为仿真模型［13］，以半正弦信号模拟实测的脉冲锤击信号，对该激励下该模型系统的NOFRFs进行估算，并利用上节介绍的NOFRFs指标Fe的对该模型的非线性特性进行检测。

图2　一维八自由度弹簧质量块模型

该模型的非线性系统运动方程为：

其中：x（t）＝［x1（t），…，x8（t）］'是位移向量，M、C、K分别是该模型的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，相应模型参数为m1=… =m8=1 kg，k1=… =k8=3.5531×104 N/m，C=μK，非线性力NF（t）设置在第3个和第4个质量块之间，即

输入激励为半正弦脉冲激励，作用在第6个质量块上，即

其中，An为脉冲幅值，Tc为脉冲持续时间。考虑计算该一维八自由度质量块模型的前四阶NOFRFs，故只需用四组幅值不同、脉冲宽度相同的半正弦脉冲信号激励该系统即可。

3.1NOFRFs的估算

由于该估算过程是基于仿真模型进行的，不存在环境因素、人为因素等方面的干扰问题，故估算该模型的前4阶NOFRFs，无需其他信号处理方式，只需以不同幅值的半正弦信号激励系统4次即可。下面详细介绍正常状态（NF（t）＝［0］）和损伤状态（NF（t）≠［0］）下一维八自由度弹簧质量块仿真模型的前4 阶NOFRFs的估算过程。

（1）以幅值不同的四组半正弦脉冲信号ui（t），i＝1，2，3，4分别激励正常情况下的一维八自由度弹簧质量快系统，分别获取四组半正弦脉冲及其响应信号，如图3所示。

图3　四组激励及其响应信号时域图

（2）对四组半正弦脉冲信号进行重构，并通过福利也变换获取各重构信号的傅里叶谱，获取四组响应信号的傅里叶谱；

（3）根据（2）中计算的输入、输出信号的傅里叶谱，构建4元方程组如下：

（4）用最小二乘法解上述4元方程组，即可得到正常情况下的前4阶NOFRFs，其频谱图如图4所示。

图4　正常情况下系统的前4阶NOFRFs

（5）以（1）中的四组半正弦脉冲信号激励损伤情况下的一维八自由度弹簧质量块系统，并按（2）～（4）步，计算出损伤情况下的前4阶NOFRFs，响应频谱如图5所示

图5　损伤情况下系统的前4阶NOFRFs

3.2基于NOFRFs指标的非线性检测

根据公式（5）分别计算正常和损伤情况下，该仿真系统的NOFRFs指标，如表1所示。

表1　不同状态下的NOFRFs指标Fe（n）的值

由表1可知，正常情况下系统的Fe（1）＝1，其他各阶NOFRFs指标均很小；而损伤情况下，系统的Fe （1）＜1，且其他高阶NOFRFs指标相对正常情况下的同阶NOFRFs指标而言，均有大幅增加。为方便比较正常和损伤情况下各阶NOFRFs指标的变化量，作相应指标值的直方图如图6所示。

图6　不同状态下NOFRFs指标Fe的对比直方图

从上述NOFRFs指标Fe（n）值及其直方图的分析可知，正常和损伤情况下系统各阶NOFRFs在整个NOFRFs中所占的比例不同，换句话说，即系统损伤前后相应的NOFRFs指标Fe（n）值会有所变化。故可通过比较和分析NOFRFs指标Fe（n）值的变化，判别被测系统是否损伤，即是否呈现出非线性状态。

4　结束语

（1）锤击法在工程实际中应用广泛，且具有简便、经济、高效等优点，通过锤击法获取脉冲锤击信号及其响应信号，进而估算相应的NOFRFs，具有很好的实际应用性。

（2）相比以往利用振动信号间接获取系统非线性特性的方法而言，利用非线性系统“传递函数”——NOFRFs可直接提取系统的本质特性，因而基于NOFRFs的方法在系统非线性检测方面更有效。

（3）NOFRFs可很好的表征系统内部特性的变化，更好的提取脉冲锤击激励下NOFRFs的敏感非线性特征量，实现对系统微弱非线性的检测，有待于进一步研究。

参考文献：

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Damage Detection Simulation and Estimation of NOFRFs on Multi-Degree Freedom Model

MA Shao-hua1，LI Xin-xin1，2，ZHENG Wei-xue1，MAO Han-ling1，2
（1.Guangxi Key Laboratory of Manufacturing System&Advanced Manufacturing Technology，Guangxi University，Nanning 530004，China；2.College of Mechanical Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Abstract：The NOFRFs defined by the Volterra series behave as the transfer function of nonlinear systems and can represent the nature of nonlinear systems.The NOFRFs theory provides an important tool for nonlinear detection. Based on the general estimation theory of NOFRFs and the characteristics of impulse hammer excitation，a new estimation method of NOFRFs under impulse hammer excitation came up.The numerical simulation analysis on the eight-degree freedom model demonstrates the effectiveness of the new estimation method.Besides，the nonlinear detection for the foregoing model is realized using the NOFRFs index put forward by the predecessors'.

Key words：impulse hammer excitation；NOFRFs；nonlinear detection；simulation

中图分类号：TH17

文献标识码：A

文章编号：1672-545X（2016）03-0001-04

收稿日期：2015-12-04

基金项目：国家自然科学基金（51365006，51445013）及广西制造系统与先进制造技术重点实验室课题（14-045-15S05）项目。

作者简介：马少花（1990-），女，山东新泰人，硕士研究生，研究方向为状态监测与故障诊断。