不对称刚性转子-轴承系统的非线性动力学行为

郑美茹，黑　棣

(陕西铁路工程职业技术学院 机电工程系，陕西 714000)



不对称刚性转子-轴承系统的非线性动力学行为

郑美茹，黑棣

(陕西铁路工程职业技术学院 机电工程系，陕西 714000)

摘要：考虑了转子的陀螺效应，研究了不对称刚性转子的非线性动力学行为。首先，基于动力学理论建立了不对称刚性转子的模型；接着，针对传统Newmark法的缺陷，提出了改进的措施，形成了一种有效的求解转子系统非线性动力学响应的方法；最后，利用改进的Newmark法分析了不对称刚性转子系统的非线性动力学行为，计算结果展示了不对称刚性转子丰富的动力学现象。

关键词：陀螺效应；不对称刚性转子；Newmark法；非线性动力学

转子-轴承系统运动稳定性关系着整个机械的安全性，国内外许多学者对转子-轴承系统运动稳定性展开了研究。郑赟[1]基于有限元建立了离心泵转子系统模型，由分析结果可以看出支承刚度和间距对临界转速有较大的影响。何聪[2]研究了滚动轴承支撑的转子系统的动力学行为，基于Runge-Kutta法，分析了系统的动力学响应，从计算结果可看出转子系统的动力学行为非常丰富。文献[3]基于Sommerfeld数分析了滑动轴承-转子系统的非线性动力学行为，进而可以判断出转子系统的稳定性。文献[4]分析了大型汽轮机转子系统油膜失稳的原因，并且利用有限元建立了大型汽轮机转子系统模型，这为油膜失稳故障的处理提出了理论依据。文献[5]运用转子动力学保辛数值法求解了转子-轴承系统的非线性动力学，计算结果揭示了该方法的有效性。文献[6]针对传统Wilson-θ法的缺陷，提出了改进措施，并形成了一种有效的计算方法。

借鉴文献[6]的改进措施，将Newmark法进一步改进，并且结合了预估-校正机理。本文以不对称刚性转子为算例，在模型中考虑了转子的陀螺效应，运用本文中提出的方法对转子的不平衡周期响应及其稳定性进行计算分析。

1转子-轴承系统的动力学方程

图1所示的转子-轴承系统的运动方程写为：

(1)

式中M—质量矩阵，G—陀螺矩阵，F—非线性油膜力，W—转子的重量，Q—外激励力，它们分别为：

图1　转子示意图

x=[xayaxbyb]′,

W=[0mg00]′,

式中，m—转子的质量，Jox—x方向的赤道转动惯量，Joy—y方向的赤道转动惯量，Joz—极转动惯量，lb—质心距右端轴承的距离，la—质心距左端轴承的距离，l—两轴承间的距离，ω—转子的转速，Fxa—轴承a处x方向的非线性油膜力，Fxb—轴承b处x方向的非线性油膜力，Fya—轴承a处y方向的非线性油膜力，Fyb—轴承b处y方向的非线性油膜力，ex—圆盘x方向的质量偏心，ey—圆盘y方向的质量偏心，xa(xb)—转子a (b)端x方向位移，ya(yb)—转子a (b)端y方向位移。

2考虑预估-校正机理的Newmark法

(2)

(3)

(4)

式中δ≥0.5，α≥0.25(0.5+δ)2，通常取δ=0.5，α=0.25.

在t+Δt时刻，式(1)可写为：

(5)

将式(2)～式(4)带入式(5)，经整理可得关于xt+△t的方程：

(6)

(7)

在求解方程组(6)之前，先利用下式对下一时刻的位移、速度和加速度进行预估：

(8)

将式(8)得到的位移、速度和加速度下一时刻的迭代初值。其中β决定着方法的稳定性，当β≤0.1时算法是稳定的，通常取β=0.1.

3数值算例及结果

运用本文算法对图1所示的转子-轴承系统进行分析。转子的参数如图1所示(单位均为m)，密度ρ=7 800kg/m3.轴承为360°圆轴承，轴承宽度B=0.16m，长径比B/d=1，间隙比ψ=0.003，轴承半径间隙c=0.000 24m，润滑油动力粘度μ=0.018 02Pa·s.转子的质量偏心距ex= 0，ey=2.4μm.在以下计算中位移和时间均采用无量纲量 ( X、Y、τ).

本文分析了转子的转速从800r/min到2 500r/min时转子动力学行为的变化。图2给出了ω=900r/min时转子a端轨迹、时间历程和频谱图。由图2(c)可以看出周期运动相应的频谱图只有一条谱线。由图2可以看出，转子系统处于周期运动。图3给出了ω=900r/min时转子b端轨迹、时间历程、频谱图和转子a、b端轨迹的比较。由图3(d)可以看出，由于刚性转子结构的不对称，导致a、b处滑动轴承油膜受力不一样，进而使得转子a、b端轨迹不同。

图2　ω=900 r/min时，转子a端的轨迹、时间历程和频谱图

图3　ω=900 r/min时，转子b端的轨迹、时间历程、频谱图和转子a、b端轨迹比较

当转速在800r/min～1 000r/min范围内，转子的运动是稳定的，当转速超过1 000r/min时，转子将失去稳定性。图4给出了当转速为1 100r/min时转子的动力学行为，图4(a)给出了转子a端的运动轨迹。图4(b)给出了Poincaré映射点列在X-Y平面的投影，由图4(b)可以看出准周期运动的Poincaré点列在X-Y平面上是一个近似于圆的封闭曲线。图4(c)给出了转子a端y方向的时间历程。图4(d)给出了转子a端y方向的频谱图，而且频谱图上有两条谱线，这两条谱线所对应的频率的比值是一个无理数。故图4可以判断出转子此时处于准周期运动。

图4　ω=1 100 r/min时，转子a端中心的轨迹、Poincaré映射、时间历程和频谱图

当转子转速在1 000r/min～1 400r/min时，转子的运动是准周期运动，当转速超过1 400r/min时，转子系统的运动将发生倒分岔，即转子的运动将再次变为周期运动。图5给出了ω=1 600r/min时，转子a、b端轨迹的对比图和频谱图。由图5(a)可以看出，由于转子的不对称性而使得转子a、b端轨迹不同，由图5(b)可以看出，转子a端轨迹的幅值小于转子b端轨迹的幅值。图6给出了转子a、b端y方向的分岔图。从图6可以看出，转子的运动规律为：周期运动、准周期运动、周期运动。在转速逐渐升高的过程中，油膜的运动状态也是在变化的，当转速较低时，油膜做同步涡动，故转子的运动也是处于稳定的周期运动状态。随着转速的升高，油膜出现了振荡，进而会导致转子的不稳定(即本文中转子处于准周期状态)。随着转速的进一步升高，油膜再次做同步涡动，转子也随即再次变为周期运动。

4结论

引入转子的陀螺效应，建立了不对称刚性转子动力学模型，以转子的转速为参数，采用改进的Newmark法分析了不对称刚性转子-轴承系统的非线性动力学行为。数值结果揭示了不对称刚性转子系统具有周期、准周期的非线性动力学现象，同时也

图5　ω=1 600 r/min时，转子a、b端中心的轨迹和频谱图

图6　转子a、b处y方向位移随转速变化的分岔图

可以看出，由于转子的不对称性，导致了轴承a、b处转子轨迹的不同。同时也验证了该方法的有效性和正确性。这将为不对称刚性转子的设计和故障诊断提供了一定的理论依据。

参考文献：

[1]郑赟，顾伯勤，邵春雷.离心泵转子-轴承系统临界转速的数值研究[J].煤矿机械，2013，34(5)：76-78.

[2]何聪，张耀强，徐红玉.陀螺仪滚动轴承-转子系统非线性动力特性分析[J].轴承，2015(2)：30-34.

[3]徐武彬，王镇江，陈其兵，等.基于Sommerfeld数的滑动轴承转子系统稳定性分析[J].中国机械工程，2009，20(23)：2875-2879.

[4]周彦，些诞梅，刘石，等.大型汽轮机转子-轴承系统油膜涡动故障分析处理[J].电站系统工程，2014，30(6)：55-58.

[5]徐小明，钟万勰.转子动力学的非线性数值求解[J].应用数学和力学，2015，36(7)：677-685.

[6]黄庆丰，王全凤，胡云昌.Wilson-法直接积分的运动约束和计算扰动[J].土木工程学报，2003，36(10)：76-79.

[7]孙立权，冯永志，赵俊明.某重型燃气轮机临界转速计算方法研究[J].汽轮机技术，2015，57(2)：105-107.

[8]刘克华，盛德恩.涡轮转子超速试验挠性悬挂系统动态特性研究[J].工程与试验，2014，54(1)：1-5.

NonlinearDynamicBehaviorsofUnsymmetricalRigidRotor-BearingSystem

ZHENGMei-ru，HEIDi

(DepartmentofMechanicalandElectricalEngineering，ShaanxiRailwayInstitute，Shaanxi714000，China)

Abstract：Considering the gyroscopic effect of the rotor，the nonlinear dynamic behaviors of the unsymmetrical rigid rotor system is analyzed.Firstly，the model of the nonlinear unsymmetrical rigid system is established based on the dynamics theory.Secondly，according to the shortcoming of the traditional Newmark method，the improved measure is presented，and an effect method is formed for solving the nonlinear dynamic responses of the rotor system.Finally，the nonlinear dynamic behaviors of the unsymmetrical rigid rotor system are analyzed by the improved Newmark method.Computing results reveal the rich dynamic phenomenon of the unsymmetrical rigid rotor system.

Key words：gyroscopic effect，unsymmetrical rigid rotor，newmark method，nonlinear dynamics

收稿日期：2015-09-25

基金项目：陕西铁路工程职业技术学院常规项目(2013-16、2013-19)

作者简介：郑美茹(1983-)，女，工学硕士，主要研究方向为机电系统性能分析测试与控制。

文章编号：1673-2057(2016)04-0291-06

中图分类号：TH113.1

文献标志码：A

doi：10.3969/j.issn.1673-2057.2016.04.009