光谱仪测量窄带宽光源光谱分布的七点修正法

王彦飞，代彩红，吴志峰，陈斌华, 2

1. 中国计量科学研究院，光学与激光计量科学研究所，北京 100029 2. 北京理工大学光电学院，北京 100081

光谱仪测量窄带宽光源光谱分布的七点修正法

王彦飞1，代彩红1，吴志峰1，陈斌华1, 2

1. 中国计量科学研究院，光学与激光计量科学研究所，北京 100029 2. 北京理工大学光电学院，北京 100081

针对光谱仪在测量窄带宽光源的光谱分布时出现的光谱变形现象，提出了一种带宽修正方法—七点修正方法。首先，利用泰勒级数和相关的导数公式，得到了七点修正公式的数学解析式； 其次，用光谱线型为正弦函数的模拟光谱对七点修正法进行验证，采用正弦函数来模拟真实光谱，通过光谱仪的带宽函数计算出测量值，然后应用七点修正公式，对测量值进行修正； 最后利用中心波长为365 nm的LED光源对七点修正法进行了实验验证，用双光栅单色仪来测量LED光源的光谱辐射照度，光谱仪带宽分别选为5与0.5 nm，将七点修正公式应用于测量值，得到修正值。模拟结果表明： 在选定的模拟条件下，修正后得到的中心波长处的峰值可以达到真实值的99%以上； 实验结果表明： 修正后中心波长处的峰值可以达到真实值的95%以上。由模拟结果和实验结果可知，七点修正法与三点修正法和五点修正法相比，修正效果有明显提升，这种带宽修正方法可以广泛应用在光谱测量领域。

光谱仪； 带宽函数； 七点修正法； 光谱分布

引 言

光谱测量在辐射度学领域应用广泛[1-3]。而如何将窄带宽的光谱测量准确一直是一个难题。通过原子滤光器，在实验上实现了带宽接近于自然线宽的超窄线宽光谱[4-5]。可以通过使用带宽足够窄的扫描式光谱仪将窄带宽光源的光谱测量准确，扫描式光谱仪是通过改变入射狭缝和出射狭缝的宽度来改变光谱仪带宽的，然而光谱仪的带宽是有限的，并不能任意窄，这是因为狭缝宽度越窄，信号越小，信噪比也越小，当信号已经足够小时，此时若进一步减小狭缝宽度，信噪比将不能满足测量要求[6]。有限带宽的光谱仪测量窄带宽光源的光谱时，常会有严重的变形，因此，如何将测量结果通过数学修正得到真实值的近似值也显得尤为重要。

如何准确测量窄带宽光源光谱分布一直是光学计量领域的研究热点问题。早在1956年，美国国家标准局的科研人员就指出，在测量线状光谱特性时，有限带宽的光谱仪会带来光谱的变形，这一影响必须要考虑[7]。为了满足行业上对光谱仪带宽修正的需求，国际照明委员会(CIE)专门成立了技术委员会(TC2-60)，负责对此类问题进行研究和指导。有几种修正方法已经被提出[8-13]，最常用的就是S-S方法[8]，这种方法是在1988年由Stearns EI和Stearns RE共同提出的，此方法适用于带宽函数是三角型函数并且采样间隔等于带宽的情况，一般来说，扫描式单色仪属于这种情况。S-S方法最终得到五点修正公式及三点修正公式，五点修正公式是通过该点测量值及左右相邻各两点的测量值加权平均得到真实值，三点修正公式是通过该点测量值及左右相邻各一点的测量值加权平均得到真实值。然而，S-S方法仅适用于带宽函数是三角型函数并且采样间隔等于带宽的情况，对于不满足这两点的测量结果是无法使用S-S方法修正的。英国国家物理实验室(NPL)的科研人员Woolliams等提出了一种新的修正方法，得到了五点修正公式和三点修正公式，这种方法无带宽函数和测量步长的要求，文章还对这种修正方法进行了模拟验证[11]。德国联邦物理技术研究院(PTB)的科研人员提出了对光谱仪带宽函数以及杂散光同时进行修正的方法[12]。PTB的科研人员又将Richardson-Lucy方法应用到光谱仪带宽修正中[13]。

本文基于微分求积法提出了光谱仪带宽函数的七点修正法，七点修正法是指利用该点测量值和左右相邻各三点测量值加权得到该点真实值的近似值的一种修正方法。利用泰勒级数展开和相关的导数公式，得到了七点修正公式的数学解析式，用光谱线型为正弦函数的模拟光谱对七点修正法进行验证； 最后利用中心波长为365 nm的LED光源对七点修正法进行了实验验证。

1 理论推导

带宽修正的目的是通过测量值得到真实的光谱，所谓真实光谱是指使用无噪声并且带宽无限窄的光谱仪所测得的光谱。七点修正公式的推导是基于微分求积法得出的[11, 14-17]。真实光谱与测量光谱分别使用S(λ)与M(λ)表示，光谱仪的带宽函数用b(λ)表示，则测量值与真实值的关系为

(1)

其中M(λ0)表示λ=λ0处的测量值。真实值S(λ)可以在λ=λ0处用泰勒级数展开的形式表示如下

(2)

其中，S(n)(λ)表示S(λ)的n阶导数。为了便于书写，使用以下记号

(3)

测量值可以写为

(4)

利用以上公式可以得到

(5)

其中，M(λ0)的各阶导数可以通过导数理论推导得出[14]，系数A可以表示为

(6)

将式(6)与M(λ0)的各阶导数带入表达式(5)，并且将M(λ0)的七阶及以上的高阶导数省略，即可得到七点修正公式，如下所示

(7)

式中，cn为各点测量值Mn的系数，h为测量步长。

2 模拟验证

为了验证七点修正公式，在本节我们将采用正弦函数来模拟真实光谱，通过光谱仪的带宽函数可以计算出测量值，然后应用七点修正公式，对测量值进行修正。为了简便起见，在数值模拟验证和下一节的实验验证中将噪声的影响忽略。

本节模拟验证中的光谱仪，我们选择带宽函数为三角型函数的扫描式单色仪。图1所示为带宽为5 nm的标准三角型带宽函数，已求和归一化。接下来将采用正弦函数来模拟真实光谱，正弦函数的表达式为

(8)

其中λ表示波长，函数的周期是10 nm。

图1 一种标准三角型带宽函数

图2所示为真实光谱是正弦函数的模拟测量和修正。为了方便看出三点、五点、七点修正公式的修正效果，选取光谱仪带宽函数的带宽为B=5，测量步长为h=0.1。峰值最高的曲线为真实光谱，是由式(8)得到的。通过式(1)可以得到模拟测量光谱，如图2中峰值最低的曲线所示。将三点修正公式、五点修正公式[11, 15-17]以及式(7)所示的七点修正公式分别作用于测量光谱，可以得到修正后的曲线，如图2中间三条曲线所示。从图2可以看出，由于光谱仪的带宽与测量光谱带宽接近，测量光谱发生了严重的变形，中心波长处的峰值是真实值的40.5%，而经过三点修正公式、五点修正公式和七点修正公式修正后的峰值可以达到真实值的73.9%，90.3%以及96.7%。因此，七点修正公式的修正效果相比三点与五点修正公式有明显提升。

图2 真实光谱为正弦函数的模拟测量 和修正，带宽函数的带宽B=5

Fig.2 The simulated measurement and correction for sine function. The bandwidth of the bandpass function isB=5

光谱仪的带宽对修正方法的修正效果有显著地影响。其他条件不变的情况下，仅改变带宽函数的带宽，使其为B=4，七点修正公式的修正效果如图3所示。与上面讨论类似，真实光谱是由式(8)得到的。通过式(1)得到模拟测量光谱，如图3中峰值最低的曲线所示。将式(7)所示的七点修正公式作用于测量光谱，可以得到修正后的曲线，如图3虚线所示，修正后的光谱与真实光谱基本重合。从图3可以看出，测量光谱中心波长处的峰值是真实值的57.3%，而经过七点修正公式修正后的峰值可以达到真实值的99.3%。随着光谱仪带宽的减小，测量光谱与修正光谱逐渐接近真实光谱，在理想情况下，当带宽等于零时，测量光谱即为真实光谱。

图3 真实光谱为正弦函数的模拟测量 和修正，带宽函数的带宽B=4

Fig.3 The simulated measurement and correction for sine function. The bandwidth of the bandpass function isB=4

3 实验验证

上一节已经通过模拟计算验证了七点修正公式的有效性，本节将通过实验来验证此修正方法。

我们使用双光栅单色仪来测量LED光源的光谱辐射照度，中心波长为365 nm。LED光源的光谱带宽约为10 nm，测量步长为1 nm。通过改变入射狭缝宽度和出射狭缝宽度来改变光谱仪带宽，使其为B=5 nm与B=0.5 nm。在每种情况下，光谱仪均经过校准，并溯源至光谱辐射照度国家基准，光谱辐射照度国家基准基于高温黑体BB3500M[18]。然后，在两种不同带宽的情况下测量LED光源的光谱分布。相对于LED光谱带宽，0.5 nm带宽足够小，因此，我们将带宽为0.5 nm时测量得到的LED光谱辐射照度作为真实值。然后，对光谱仪带宽为5 nm时的测量值应用七点修正方法，得到修正值，与真实值进行比较，验证修正方法的有效性。

实验结果见图4所示。带宽为5 nm时的峰值为16.7 μW·cm-2，带宽为0.5 nm时的峰值为19.7 μW·cm-2，两者比例为84.8%。对带宽为5 nm时的测量值进行修正，得到修正后的峰值为18.9 μW·cm-2，是带宽0.5 nm时测量峰值的95.9%。因此，实验结果也验证了修正方法的有效性。

图4 光谱辐射照度测量值及七点修正值

Fig.4 The measured spectral irradiance (B=5 nm andB=0.5 nm) and corrected spectral irradiance (B=5 nm) with seven point formula

4 结 论

针对光谱仪在测量窄带宽光源的光谱分布时出现的光谱变形现象，提出了一种带宽修正方法—七点修正方法。通过数学推导，得到了七点修正公式的数学解析式。利用光谱线型为正弦函数的模拟光谱对七点修正法进行了模拟验证，模拟结果表明，在选定的模拟条件下，修正后得到的中心波长处的峰值可以达到真实值的99%以上。最后利用中心波长为365nm的LED光源对七点修正法进行了实验验证，实验结果表明，修正后中心波长处的峰值可以达到真实值的95%以上，这种修正方法不仅适用于中心波长为365 nm的LED，对于其他波长的窄带宽光源同样适用。

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[18] DAI Cai-hong, WU Zhi-feng, YU Jia-lin. Proceedings of SPIE, 2013, 8910: 89100D.

(Received Mar. 31, 2015; accepted Aug. 2, 2015)

Seven-Point Correction Approach for Spectrum Measurement of Light Source with a Narrow Bandwidth

WANG Yan-fei1, DAI Cai-hong1, WU Zhi-feng1, CHEN Bin-hua1, 2

1. Division of Optics, National Institute of Metrology China, Beijing 100029, China 2. School of Optoelectronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China

The finite bandwidth of spectroradiometers always causes significant errors when the measured light source has a narrow bandwidth compared to that of spectroradiometers. In order to solve this problem, an improved correction approach which is called seven-point correction approach is proposed. Firstly, the seven-point correction formula is obtained with Taylor’s series and related derivative formula. Secondly, the effect of seven-point formula is validated through a simulated spectrum with a sine function shape. Considering the sine function as true spectrum, we calculate the measured spectrum with the bandpass function of spectroradiometers. We also correct the measured spectrum with the seven-point formula. At last, we validate the seven-point formula experimentally with a LED lamp whose center wavelength is 365 nm. Using a double grating monochromator, we measure the irradiance of LED lamp when the bandwidth of spectroradiometer is 5 and 0.5 nm. We also obtain the corrected spectrum by applying seven-point formula to measured spectrum. The simulated results show that, the corrected value at the center wavelength could be above 99% of the true value. The experimental results show that, the corrected value at the center wavelength could reach above 95% of the true value. Above all, the proposed seven-point approach has an improved correction effect compared with three-point and five point approach. This correction approach could be widely applied in the field of spectrum measurement.

Spectroradiometer; Bandwidth function; Seven-point correction approach; Spectrum distribution

2015-03-31，

2015-08-02

中国博士后科学基金项目(2014M550788)和国家自然科学基金项目(41305140)资助

王彦飞，1985年生，中国计量科学研究院副研究员 e-mail: wangyf@nim.ac.cn

TH744

A

10.3964/j.issn.1000-0593(2016)06-1921-04