一类具有Leakage时滞的惯性Cohen-Grossberg神经网络的全局指数稳定性和Hopf分支

田晓红,徐 瑞,王志丽

(军械工程学院应用数学研究所,河北石家庄050003)

一类具有Leakage时滞的惯性Cohen-Grossberg神经网络的全局指数稳定性和Hopf分支

田晓红∗,徐 瑞,王志丽

(军械工程学院应用数学研究所,河北石家庄050003)

研究一类具有Leakage时滞的惯性Cohen-Grossberg神经网络模型.通过构造适当的Lyapunov泛函得到了平衡点全局指数稳定的充分条件.通过分析特征方程,讨论了系统平衡点的局部稳定性,得出了系统Hopf分支存在的充分条件.最后对所得理论结果进行了数值模拟.

惯性Cohen-Grossberg神经网络模型;Leakage时滞;Hopf分支;全局指数稳定性

§1 引 言

生物学中,一些哺乳动物的半规管以及毛发细胞膜都可由包含电感的一个等效电路来描述[1].因此,在一定条件下,神经元的电子线路也可通过加入一个电感来实现,完成类似于带通滤波器或电调谐的作用.基于此构建的电路网络将包括所谓的惯性,即电感,它是电压关于时间的二阶导数.与传统的网络模型相比,这种具有惯性项的网络更能准确地描述生物神经网络,便于记忆的无序搜索.1987年,Babcock和Westervelt[2]在标准RC联轴器中引入了惯性项,提出了具有单个和两个神经元的电子神经网络模型,研究发现与具有标准电容电阻的电子神经网络相比,惯性项的出现使神经网络具有更加复杂的动力学性态,它是导致系统出现分叉和混沌的一个主要因素.在文[2]工作的基础上,Li[3]等考虑了时滞对网络动态特性的影响,通过分析特征方程研究了具有传输时滞的单一惯性神经网络模型的分支和混沌现象.

惯性神经网络系统具有周期运动,拟周期运动和混沌等丰富的动力学特性,对它的研究不仅便于理解神经网络的生物学背景,而且为神经网络的开发,设计和应用提供了有效途径.近年来,惯性神经网络模型动力学性态的研究已逐渐成为当前的热点问题[4-7].在文献[5]中,Ke和Miao研究了如下惯性Cohen-Grossberg神经网络模型：

等式左边的二阶导数被称作系统(1)的惯性项,βi＞0是常数.xi(t)表示第i个神经元在t时刻的状态变量.在系统(1)中总假定：

(A1)αi(·)表示一个正的连续有界的放大函数,即满足0

(A2)hi(·)表示适当的行为函数.δij表示第j个神经元在t时刻的传输时滞且满足0≤ δij≤ δ.

A=(aij)和B=(bij)(i,j=1,2,···,n)分别表示与时滞状态无关和相关的连接权矩阵.

Ii表示第i个神经元在t时刻的外部输入.

(A3)fj表示第j个神经元在t时刻的激活函数,且满足Lipschitz条件,即存在常数lj＞ 0使得对j=1,2,···,n,有|fj(x)-fj(y)|≤ lj|x-y|, x,y ∈ R.

在系统(1)中,通过利用同胚定理,得到了系统存在唯一的平衡点的充分条件.通过构造适当的Lyapunov泛函并利用不等式技巧,进一步得到了系统(1)的平衡点全局指数稳定的充分条件.

作者注意到,在系统(1)中,Ke和Miao只考虑了轴突信号的传输时滞.事实上,在神经网络的硬件实现过程中,由于神经元的有限传输速度和电路放大器的有限开关速度,神经元的自衰减过程并不是瞬时的.当神经元断开网络连接和外部输入时,重置电位到隔离到静止状态需要一个时间过程.为了刻画这种现象,Gopalsamy[8]研究了在稳定的负反馈项,即Leakage项(漏项)中含有时滞的BAM神经网络模型,并发现Leakage时滞对神经网络的动力学性态有很大的影响,可能破坏系统的稳定性.目前,具有Leakage时滞的神经网络模型动力学性态的研究引起了人们的关注[9-11],但对于含有Leakage时滞的Cohen-Grossberg神经网络模型的研究工作则很少见到.

本文将基于文献[5]和[8]的工作,研究如下具有Leakage时滞和传输时滞的惯性Cohen-Grossberg神经网络模型：

其中τi为Leakage时滞且满足0 ≤ τi≤ τ. 在系统(2)中,αi(·),hi(·),Ii,fj和A=(aij),B=(bij)的定义见(A1)-(A3).在本文中,总假定：

(A4)fj(0)=0,hi(0)=0且存在常数和i,i使得

系统(2)满足的初始条件为

这里φi(s)和ψi(s)是有界的连续函数.

§2 全局指数稳定性

则系统(2)的唯一平衡点x∗是全局指数稳定的.

证 由引理2.1可知, 若(H1)成立,则系统(2)存在唯一的平衡点x∗=(x,x,···,x). 于是(2)的等价系统(4)存在唯一的平衡点(x∗T,y∗T)T.为证明x∗是全局指数稳定的,先讨论系统(4)的平衡点(x∗T,y∗T)T的稳定性问题.

计算V1(t)沿系统(6)的解的导数可得

其中

由(10)式有

§3 局部稳定性和Hopf分支的存在性

在本节中,将进一步讨论模型(2)中当神经元的个数n=2时对应系统的局部稳定性.

为此,取坐标变换¯xi(t)=xi(t)-,i=1,2,···,n,并仍以x记¯x,则系统(2)等价于下列系统：

这里

显然,系统(2)的平衡点x∗变为了系统(14)的平凡平衡点.

在上式中令n=2,δij=0,τi= τ,则系统(14)变为：

下面,将通过分析特征方程讨论系统(14)的特殊情形：系统(15)的零解的稳定性和Hopf分支的存在性.由前面的讨论可知,系统(15)的等价系统为：

易知,若(A1)-(A4)成立,则系统(16)存在一个平凡平衡点E∗(0,0,0,0).

令x1(t)=c1eλt,y1(t)=c2eλt,x2(t)=c3eλt,y2(t)=c4eλt,并将其代入到系统(16)在E∗处的线性系统,要求ci(i=1,2,3,4)有非零解,则可得系统(16)在E∗处的特征方程为：

易知,方程(17)可改写为：

根据Hurwitz判据可知,当τ=0时,如果Δ2＞0和Δ3＞0成立,则方程(19)的所有根均具有负实部,故E∗是局部渐近稳定的.易知,方程(18)等价于下列方程：

假定方程(20)有一对共轭纯虚根±iω(ω＞0).将λ=iω(ω＞0)代入到方程(20)中,并分离实部与虚部可得

于是,判断方程(20)纯虚根的存在性等价于判断方程(21)的解的存在性.

将(22)代入到(25)中,计算可得

经计算,有

根据以上分析,可得如下结论：

定理3.1 假定Δ2＞0和Δ3＞0.对系统(16),有下列结论成立：

(i)如果方程h(z)=0没有正实根,则对所有的τ≥0,系统(16)的平凡平衡点E∗是局部渐近稳定的.

(ii)如果sign{h′(z)/G(ω)}＞0,则当τ∈[0,τ)时,E∗是局部渐近稳定的;当τ＞ τ时,E∗不稳定;当τ=τ时,系统(16)在平衡点E∗附近出现Hopf分支.

§4 数值模拟

在系统(16)中,令β1=1.2,β2=0.8,a11=0.2,a12=-0.5,a21=-0.5,a22=0.5,a1(x)=1.5cosx,a2(x)=1.5-sinx,b1(x)=0.5x,b2(x)=0.5x,g1(x)=arctanx,g2(x)=tanhx.此时系统(16)存在一个平凡平衡点E∗(0,0,0,0).计算可得Δ2=2.4600,Δ3=3.1356且有ω=0.6792,τ=0.9612,sign{h′(z)/G(ω)}=5.0676＞0.则由定理3.1可知,当τ=0.8＜ τ0时,系统(16)的解轨线趋向于E∗;当τ=1.0＞τ0时,系统(16)在E∗附近出现Hopf分支.数值模拟结果验证了上述结论(见图1).

此外,基于上述参数,选择时滞τ在区间(0.5＜τ＜1.5)内变化.图2表明系统(16)将会出现更加复杂的动力学行为包括混沌现象(见图2)(由于x1(t)和y1(t)的数值模拟结果与x2(t)和y2(t)的类似,故此省略).

图1 取τ=0.8＜τ0,E∗是局部渐近稳定的 τ=1.0＞τ0时,E∗不稳定

图2 系统(16)在平面(τ,x2)和(τ,y2)上的分岔图

§5 讨论

本文研究了一类具有leakage时滞和传输时滞的惯性Cohen-Grossberg神经网络模型,通过构造全新的Lyapunov泛函,得到了依赖于leakage时滞和传输时滞的全局指数稳定的判定条件.在系统(2)中,令τi=0,则系统(2)可简化为(1),即文[5]中所研究的模型(1).易知,文[5]中判定平衡点全局指数稳定的定理2是本章定理2.1的特殊情况.因此,本文的工作推广和改进了文献[5]中的相关结果.此外,由定理3.1可知,当leakage时滞τ改变时,系统(16)的平衡点逐渐由稳定变为不稳定,并在平衡点附近出现Hopf分支,甚至出现了混沌现象.值得注意的是,本文只针对系统(2)中当n=2,δij=0时的情形,讨论了leakage时滞的变化对模型动力学性态的影响,关于系统(2)的分支问题将在今后的工作中进一步研究.

[1] Angelaki D E,Correia M J.Models of membrane resonance in pigeon semicircular canal type II hair cells[J].Biol Cybernet,1991,65：1-10.

[2] Babcock K L,Westervelt R M.Dynamics of simple electronic neural networks[J].Physica D,1987,28：305-316.

[3] Li Chunguang,Chen Guangrong,Liao Xiaofeng,et al.Hopf bifurcation and chaos in a single inertial neuron model with time delay[J].Eur Phys J B,2004,41：337-343.

[4] Liu Qun,Liao Xiaofeng,Guo Songtao,et al.Stability of bifurcating periodic solutions for a single delayed inertial neuron model under periodic excitation[J].Nonlinear Anal,RWA,2009,10：2384-2395.

[5] Ke Yunquan,Miao Chunfang.Stability analysis of inertial Cohen-Grossberg-type neural networks with time delays[J].Neurocomputing,2013,117：196-205.

[6] Ge Juhong,Xu Jian.Stability switches and fold-Hopf bifurcations in an inertial four-neuron network model with coupling delay[J].Neurocomputing,2013,110：70-79.

[7] Zhang Zhengqiu,Quan Zhiyong.Global exponential stability via in equality technique for inertial BAM neural networks with time delays[J].Neurocomputing,2015,151：1316-1326.

[8] Gopalsamy K.Leakage delays in BAM[J].J Math Anal Appl,2007,325：1117-1132.

[9] Liu Bingwen.Global exponential stability for BAM neural networks with time-varying delays in the leakage terms[J].Nonlinear Anal RWA,2013,14：559-566.

[10]Zhang Hong,Shao Jianying.Almost periodic solutions for cellular neural networks with time-varying delays in leakage terms[J].Appl Math Comput,2013,219：11471-11482.

[11]Balasubramaniam P,Vembarasan V,Rakkiyappan R.Global robust asymptotic stability analysis of uncertain switched Hop fi eld neural networks with time delay in the leakage term[J].Neural Comput&Applic,2012,21：1593-1616.

Global exponential stability and Hopf bifurcation of inertial Cohen-Grossberg neural networks with time delays in leakage terms

TIAN Xiao-hong,XU Rui,WANG Zhi-li
(Institute of Applied Mathematics,Shijiazhuang Mechanical Engineering College,Shijiazhuang 050003,China)

In this paper,a class of inertial Cohen-Grossberg neural networks with time delays in leakage terms is investigated.By constructing the appropriate Lyapunov functional,sufficient conditions are obtained for the global exponential stability of the equilibrium.By analyzing the corresponding characteristic equation,the local stability of the equilibrium and the existence of Hopf bifurcation are established.Numerical simulations are carried out to illustrate the main results.

inertial Cohen-Grossberg neural networks;leakage delays;Hopf bifurcation;global exponential stability

34K20;92B20

O175.1

A

：1000-4424(2016)04-0428-13

2016-01-26

2016-11-06

国家自然科学基金(11371368;11071254;61305076);河北省自然科学基金(A2013506012;A2014506015)

*通信作者,E-mail：tianxh-2008@163.com