(α,β)混合序列的强稳定性

高 萍

(厦门工学院理学院,福建厦门361021)

(α,β)混合序列的强稳定性

高 萍

(厦门工学院理学院,福建厦门361021)

研究一类被随机控制的(α,β)混合序列,并得到了关于其强稳定性的若干结论.

(α,β)混合序列;随机控制;强稳定性

§1 引言与引理

二十世纪八十年代,(α,β)混合概念由Bradley[1]和邵启满[2]独立的给出.(α,β)混合序列是包含了独立序列的一类非常广泛的序列.设{Xn,n≥1}为定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列,n和m为正整数,记在F中给定σ域B和R,令

其中||X||p=(E|X|p)1/p.规定(α,β)混合系数为λ(n)

定义1.1 设0≤α,β≤1且α+β=1.若随机变量序列{Xn,n≥1}满足：当n→ ∞时,λ(n)↓ 0,则称{Xn,n ≥ 1}为(α,β)混合序列.

目前,关于(α,β)混合序列已有一些研究成果,如邵启满[2]研究了(α,β)混合序列的极限定理,陆传荣和林正炎[4]建立了(α,β)混合序列协方差的界,沈燕[5]给出了(α,β)混合序列的Kolmogorov不等式,得出了(α,β)混合序列的若干强极限定理,等等.本文研究一类被随机控制的(α,β)混合序列,并得到了关于其强稳定性和部分和强大数定律的若干结论.

定义1.2 设随机变量序列{Sn,n≥1},若存在两个常数序列{bn,n≥1}和{dn,n≥1},其中0≤bn↑∞,使得

则称{Sn,n≥1}是具有强稳定性的.

定义1.3 设{Xn,n≥1}为随机变量序列,X为一随机变量.若存在常数C＞0使得对任意x≥0,n≥1,都有

则称{Xn,n≥1}被X随机控制,记为{Xn}＜X.

引理1.1[6]设{Xn,n≥1}为随机变量序列,{Xn}＜X,则对任意q＞0和x＞0,都有

这里C为非负常数.

§2 主要结论与证明

本文约定：C均表示正常数,且在不同地方取不同的值;集合A的示性函数记为IA;对于任意随机变量X 和c＞0,记X(c)=XI{|X|≤c}.

定理2.1 设{an,n≥1}和{bn,n≥1}为两正实数列,bn↑∞.记c1=b1/a1,cn=bn/(anlog2/pn),n≥2,1≤p≤2,设{Xn,n≥1}为(α,β)混合序列,X为一随机变量,且{Xn}＜X.对于任意x＞0,定义N(x)=Card{n：cn≤x}.设若X满足：

则存在dn∈ R,n=1,2,···,使得

证 由定义1.3和条件（i）可知

故由引理1.2知(3)成立,从而(1)也成立,定理得证.

推论2.1 在定理2.1的条件下,若满足对任意n≥1,EXn=0,且

定理2.3 设{Xn,n≥1}是均值为零的(α,β)混合序列,且被随机变量X随机控制,

下证A6＜∞.注意到EXi=0,根据引理1.1及(14)有

当q＜ 2＜ p时,由(12)和q＞ r知

综上,定理得证.

[1] Bradley R C,Bryc W.Multilinear forms and measures of dependence between random variables[J].Multi Anal,1985,16：335-367.

[2] 邵启满.相依与独立随机变量和的极限定理[D].中国科技大学,1989,1-309.

[3] Cai Zongwu.Strong consistency and rates for recursive nonparametric conditional probability density estimates under(α,β)-mixing conditions[J].Stoch Proc Appl,1991,38：323-333.

[4] 陆传荣,林正炎.混合相依变量的极限理论,第1版[M].北京：科学出版社,1997.

[5] Shen Yan,Zhang Yongjun.Strong limit theorems for(α,β)-mixing random variable sequences[J].J Univ Sci Tech China,2011,41(9)：778-795.

[6] 吴群英.混合序列的概率极限理论,第一版[M].北京：科学出版社,2006.

[7] 林正炎,陆传荣,苏中根.概率极限理论基础,第1版[M].北京：高等教育出版社,1999.

Strong stability of(α,β)-mixing sequences

GAO Ping
(College of Science,Xiamen Institute of Technology,Xiamen 361021,China)

In this paper,the author studies the(α,β)-mixing sequences which are stochastically dominated.Some results on the strong stability for(α,β)-mixing sequences are presented.

(α,β)-mixing sequences;stochastically dominated;strong stability

60F15

O211.62

A

：1000-4424(2016)04-0405-08

2016-03-03

2016-06-26