Markov调制Lévy模型定价的Fourier-Cos方法

王春发, 陈荣达

(1.浙江财经大学金融学院,浙江杭州310019;2.浙江财经大学财富管理与量化投资协同创新中心,浙江杭州310019)

Markov调制Lévy模型定价的Fourier-Cos方法

王春发1,2, 陈荣达1,2

(1.浙江财经大学金融学院,浙江杭州310019;2.浙江财经大学财富管理与量化投资协同创新中心,浙江杭州310019)

对一般的Markov调制Lévy模型,利用Fourier Cosine级数展开原理得到欧式期权价格的计算方法.进一步,为了改进期权定价的Fourier Cosine级数展开方法的计算精度,Fourier Cosine级数展开的对象进行了修正,获得了欧式期权价格的修正Fourier Cosine级数展开计算方法.此外,还将获得的方法应用于Markov调制Black-Scholes模型,Markov调制Merton跳扩散模型和Markov调制CGMY Lévy模型期权定价的计算.具体的数值计算说明：修正Fourier Cosine级数展开方法应与Fourier Cosine级数展开方法相比,收敛速度要慢一些,但准确性却有很大的提高.特别是对Markov调制纯跳模型,效果更为显著.

Lévy过程;Markov调制;Fourier变换;Fourier Cosine级数展开;期权定价

§1 引 言

期权定价一直是金融数学和金融工程中的一个重要课题.在过去的30多年里,研究者对期权定价作出了许多的尝试和贡献.具有划时代意义的进展是Black和Scholes[1]提出的Black-Scholes期权定价模型.尽管Black-Scholes期权定价模型在期权定价方面取得了很大的成功,但这个纯对数正态模型却不能反映以下三种现象：(1)特大的随机波动.(2)股票收益分布的非正态特征(负的偏态和尖峰性).(3)隐含波动率微笑,也就是Black-Scholes模型中的隐含波动率不是常数.针对这些缺陷,研究者作了许多改进.提出了随机利率模型,随机波动率模型,跳扩散模型,纯跳模型等等,以弥补Black-Scholes模型的缺陷.但这些改进的模型都是时齐的.Konikov和Madan[2]指出这些模型矩的期限结构理论值和实证结果不相符.例如,理论上讲,方差以速率t(持有股票的时间)增加,偏态以速率t1/2递减,峰度以速率t增加.但时齐模型的矩并不能反映这种现象.因此,有必要考虑非时齐模型.引入非时齐性的一种方式是在定价模型中引入Markov调制(Markov Regime-Switching)因素.具有Markov调制因素的定价模型(简称Markov调制定价模型),模型的参数不再是时不变,而是依赖于一个Markov链,使得定价模型可以随市场条件变化而改变,从而更能反映客观现实.

较早利用Markov调制Black-Scholes模型研究期权定价问题有Gou[3],Buffington和Elliott[4],Mamon和Rodrigo[5],Yao等[6].Konikov和Madan[2]也对两状态Markov调制Variance-Gamma模型研究了期权定价问题.随后Elliott和Osakwe[7]研究了Markov调制纯跳Lévy的期权定价问题.Elliott等[8],Yuen和Yang[9],Bo[1.Raible S.(2000).Lévy processes in fi nance：theory,numerics,and empirical facts. 德国Freiburg大学博士论文(未发表).可在网页：www.users.ugent.be/～dheyman/Levy/Sebastian-Raible.pdf下载.0],Wang[11],Ramponi[12],Costabile等[13]和Swishchuk等[14]研究了Markov调制跳扩散模型的期权定价问题.最近Dang[15]利用偏微分方程数值解方法研究了Markov调制跳扩散模型的亚式期权价格的计算问题.已有的研究大都局限于有限跳跃活动的Markov调制Lévy模型,如Markov调制跳扩散模型,或者仅考虑无限跳跃活动的纯跳Markov调制Lévy模型.本文的目的之一是给出一个一般Markov调制Lévy模型,并从数学上进行严格刻画.进而在这样的模型下研究期权定价问题.

在实际应用中,需要利用模型校准方法获得模型参数.在模型校准时,需要快速准确地计算期权价格.所以期权价格计算也是一个重要的课题.期权价格计算有Monte-Carlo模拟方法,偏微分方程数值解方法和数值积分法.用数值积分法计算期权价格时,一般先将期权价格表示为贴现的期权到期支付在风险中性概率下期望值,从而通过计算贴现的支付函数关于风险中性概率分布的积分得到期权价格.一般风险中性概率分布比较复杂,有时甚至没有确切的表达式,从而不能直接计算这样的积分.Carr和Madon[16](Carr-Madon方法)提出一种Fourier变换方法.Carr-Madon方法是将期权价格看作是执行价格的函数,先作期权价格关于执行价格的Fourier变换,然后求逆Fourier变换得到期权价格.Raible(2000)1.Raible S.(2000).Lévy processes in fi nance：theory,numerics,and empirical facts. 德国Freiburg大学博士论文(未发表).可在网页：www.users.ugent.be/～dheyman/Levy/Sebastian-Raible.pdf下载.提出了另一种期权价格的Fourier变换计算方法,具体可参见Eberlein等[17].[17]对Raible的方法作了改进,并给出Fourier变换应用的一般条件.在实现Carr-Madon方法时,需要进行数值积分.为了提高计算效率,Carr和Madon[16]采用快速Fourier变换方法进行具体计算.采用快速Fourier变换方法时,由于要对期权执行价格的对数进行网格化,所以计算出的期权价格是对应于期权执行价格分点的价格,这与市场交易的执行价格有差异.为了获得与市场交易相同执行价格的期权价格,需要采用插值法.这就产生插值误差.这是快速Fourier变换方法的一个缺陷.Fang和Oosterlee[18]提出一种高效而准确的,称为Cos方法的期权价格计算方法.用Cos方法计算期权价格时,先将无穷积分区间截断,然后对条件密度函数进行Fourier cosine级数展开,利用特征函数表示Fourier cosine级数的系数,从而将积分转化为计算级数之和.只要标的资产价格的特征函数是已知的,就可以利用这种方法来计算期权价格.COS方法可以对给定的执行价格计算期权价格,不需要进行插值.此外,COS方法对于光滑的密度函数,呈现指数收敛速度,从而是一种高效准确的计算方法.Fang和Oosterlee[19]将Cos方法应用于可提前执行期权和离散障碍期权的定价,Zhang和Oosterlee[20]利用Cos方法计算亚式期权的价格.最近,Ruijter和Oosterlee[21]将Cos方法推广到多维情形,并用于两色彩虹期权的定价.

Liu等[22]首先将Carr-Madon方法应用于Markov调制Black-Scholes模型的期权价格计算.[12]将上面的两种Fourier变换方法应用于Markov调制跳扩散模型的期权价格计算.Shen和Siu[23]将Carr-Madon方法应用于Markov调制Hull-White模型的债券期权定价.但目前还没有将Cos方法应用于Markov调制定价模型期权价格计算的研究.本文的主要目的是研究Cos方法在Markov调制定价模型的期权价格计算中的应用.对一般的Markov调制Lévy模型,给出了欧式期权价格计算的Cos方法.在数值计算中发现,对于Markov调制跳扩散模型,Cos方法具有收敛快和准确性高的特点,从而是高效而准确的方法.但应用于Markov调制纯跳模型时,虽然收敛速度快,准确性却降低.特别地,当Cos方法应用于Markov调制CGMY纯跳模型的期权价格计算时,对某些合理的模型参数,不能获得合理的价格.为了弥补Cos方法的这一缺陷,本文提出一种修正Cos方法.修正Cos方法是先用一个指数因子乘以条件密度函数,再进行Fourier Cosine级数展开.计算结果表明,修正Cos方法应用于Markov调制Lévy模型的期权价格计算时,与Cos方法相比,收敛速度要慢一些,但准确性却有很大的提高.特别是对Markov调制纯跳模型,效果更为显著,而且不会像Cos方法那样,出现不合理的价格.因此,修正Cos方法确实是有效和准确的方法.

§2 Markov调制Lévy模型及其假设

期权的风险中性定价的基本思想是选择合适的概率空间,使得贴现的标的资产为一个鞅.这样的概率空间称为风险中性世界.在风险中性世界里,期权的价格为到期的期望支付的现值.在实际应用中,模型参数一般是通过模型的校准获取,而不是通过估计得到,所以不讨论概率测度变换,直接假设(Ω,F,P)是风险中性世界.即P为风险中性概率测度.设金融市场延续的时间为[0,T].

注 特征偶对(γ,σ2,ν)中,γ为Lévy过程的漂移系数,σ为Lévy过程的扩散系数,ν为Lévy测度.Lvy测度ν是R{0}上的RandoZn测度,满足条件

注 在一个无套利的Lévy金融市场模型(r,γ,σ2,ν)中,由于贴现的股票价格{(t)}t∈[0,T]是一个P鞅,因此E[(t)]＜∞.由此可知E[eL(t)]＜∞.由引理6可知

表1给出了Black-Scholes模型,Merton跳扩散模型,Kou跳扩散模型,VG模型和CGMY模型的各阶累积矩.

表1 Lévy模型的各阶累积矩

2.Markov调制Lévy模型 设{α(t)}0∈[0,T]是(Ω,F,P)上的连续时间有限状态的Markov链,状态空间为M={1,···,m},转移概率为

其中πij≥ 0,i 6=j;πii=记{α(t)}0∈[0,T]的生成矩阵为Q=[πij]m×m. 设(Gt)0∈[0,T]是Markov链{α(t)}0∈[0,T]生成的σ-代数流,Gt= σ{α(s),0 ≤ s ≤ t}. 设τ1,τ2是Markov链{α(t)}任意两个相邻的状态转移时间.

定义2.2 一个随机过程{L(t)}0∈[0,T]称为是相应于Markov链{α(t)}的Markov调制Lévy过程,如果对t ∈ [τ1,τ2],α(t)=j,L(t)=Lj(t),0 ≤ t≤ T,其中{Lj(t)}t∈[0,T]是具有特征偶对(γ(j),σ2(j),ν(j))的Lévy过程,即对t∈ [0,T],

假设α与{Lj(t)}t∈[0,T]独立,j=1,···m. 设{Hj(t)}t∈[0,T]为Lévy过程{Lj(t)}t∈[0,T]生成的完备化自然σ-代数流,j∈ M.记H(t)=H1(t)∨H2(t)∨···∨Hm(t).F(t)=H(t)∨G(t).

定义2.3 一个金融市场称为是一个Markov调制Lévy金融市场模型(简称Markov调制Lévy模型),如果货币市场账户利率依赖于Markov链{α(t)}0∈[0,T],即r：M → R++,使得当t∈[τ1,τ2],α(t)=j时,利率为r(j);而股票价格为S(t)=S(0)eL(t),t∈ [0,T],其中S(0)＞ 0,{L(t)}t∈[0,T]为零初值的相应于Markov链{α(t)}0∈[0,T]的Markov调制Lévy过程. 一个Markov调制Lévy模型称为是无套利的,若贴现的股票价格{eS(t)}0∈[0,T]是一个鞅,其中eS(t)=S(t)e-R(t),而R(t)=Rr(α(s))ds. 无套利Markov调制Lévy模型记为(S(0),r(α(t)),σ(α(t),ν(α(t))0∈[0,T].

注 设(S(0),r(α(t)),σ(α(t),ν(α(t))0∈[0,T]是一个无套利Markov调制Lévy模型.(i) 如果t∈[τ1,τ2),α(t)=j时,S(t)=Sj(t)=S(0)eLj(t). 由引理2.4的注可知,{Lj(t)}t∈[0,T]在P下的动态关系为：

逼近(3.24)的U2(u,ρ),其中(u)为g的Fourier变换.如果e-ρxg(x)在R上是可积的,则对任意u ∈R,(u+iρ)有定义.表2给出了一些支付函数的Fourier变换例子.

表2 些支付函数的Fourier变换

现在分别将H2(un,ρ,T)和U2(un,ρ)的代替(3.19)中的H2(un,ρ,T)和U2(un,ρ),得到

再将上式无穷项求和截断,求前N项之和,得到

综上所述,可以得到下面结果.

定理3.2 设假设8满足,而且常数ρ使得MT(ρ)有定义,并且e-ρxg(x)在R上是可积的.则在无套利Markov调制Lévy模型中,到期时间为T,支付g(x)欧式衍生证券在0时间的价格V(0)可以近似地表示为

证 类似于定理3.1.

注 对于Markov调制Merton跳扩散模型,由(2.36)可知,L(t)条件矩母函数对任意的u∈R都有定义.而对于Markov调制Kou跳扩散模型,由(2.37)可知,除了在α(j)和-β(j)之外,j=1,···,m,对任意的u ∈ R都有定义.在Markov调制CGMY模型中,由(2.38)可知,L(t)条件矩母函数任意的u ∈ [-min1≤j≤mG(j),min1≤j≤mM(j)]都有定义.在Markov调制VG模型,由(2.39)可知,L(t)条件矩母函数在区间[κ,λ]上都有定义,其中

§4 数值计算

本节以两状态Markov调制Merton跳扩散模型和Markov调制CGMY纯跳模型等Lévy模型为例,说明Cos方法和修正系数的Cos方法用于欧式看涨期权价格计算的准确性和效率.为了比较Cos方法和修正系数的Cos方法的准确性,以Carr-Madan的Fourier变换方法作为基准.对于欧式看涨期权,g(x)=K(ex-1)+=(Kex-K)+.于是V(0)=E[e-R(T)(KeeL(T)-K)+|F0]=S(0)E[e-R(T)(eL(T)-ek)+|F0],其中k=log(K/S(0))将V(0)看作是k的函数,并记C(k)：=V(0).定义修正后的期权价格：

(4.3)的积分计算可以采用数值积分的方法计算,也可以采用快速Fourier方法计算.由此可以计算出C(k)=S(0)e-ρkc(k).

在所有的计算例子中,取S(0)=100,r(1)=0.05,r(2)=0.1.π1=20,π1=30.其余模型参数由表3给出,其中Markov调制-CGMY模型给出了两组参数,以比较Cos方法和修正系数的Cos方法的准确性.

所有的计算都利用Matlab7.9在处理器为Intel(R)Core(TM)i5 2.27GHz,内存为4GB的笔记本电脑上实现.用Cos方法计算时,取D=10.用修正系数的Cos方法时,取D=28.对于ρ的取值,为了保证e-ρxg(x)可积性,根据表2,ρ必须满足ρ＞ 1,所以比照[16]中取ρ=1.5,取ρ=2.5.而用Carr-Madan的Fourier变换方法计算时,与[16]一样,取ρ=1.5.(4.3)的积分计算,为了避免由于插值而引起的误差,没有采用快速Fourier方法,而是采用数值积分的方法.数值积分采用Matlab内置函数quadgk(Gauss-Kronrod二次法则)实现.表4—表6给出了Markov调制Merton跳扩散模型和两组参数Markov调制CGMY模型期权价格的计算结果.从表4—表5可以看出,保留小数点后8位数,Markov调制Merton跳扩散模型和Markov调制CGMY-1模型,三种方法的准确性是一样的.表6给出了Markov调制CGMY 2模型期权价格的计算结果.从表6可以看出,保留小数点后8位数,修正系数Cos方法与Carr-Madan的Fourier变换方法计算结果是一样的,但Cos方法计算的结果就不合理.

表3 模型参数

表4 Markov调制Merton跳扩散模型期权价格

表5 Markov调制纯跳CGMY-1模型期权价格

图1 Cos方法和修正Cos方法的收敛结果

表7 给出了Cos,修正系数Cos和Carr-Madan三种方法计算Markov调制Merton跳扩散模型和Mar-kov调制CGMY 1模型期权价格在执行价格为90时所需的时间.从计算时间上看,Cos方法和修正系数Cos方法确实是有效的计算方法.

进一步以Markov调制Merton跳扩散模型和Markov调制CGMY-1模型为例,通过分析Cos方法和修正Cos方法的收敛性来考察Cos方法和修正Cos方法的计算效率和准确性.图1显示了Cos方法和修正Cos方法的收敛性.在图1中,纵轴是以Carr-Madan方法计算的期权价格作为基准价格,与Cos方法和修正Cos方法获得的期权价格的对数绝对误差,横轴是求和项数N.从图1可以看出,修正Cos方法与Cos方法相比,收敛速度要慢一些,但准确性却提高了.特别是对Markov调制CGMY 1模型,效果更为显著.

表6 Markov调制纯跳CGMY-2模型期权价格

表7 三种计算方法的计算时间(单位:秒)

致谢 感谢审稿人提出的宝贵意见.

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Option pricing in Markov regime switching Lévy models using Fourier-Cosine expansions

WANG Chun-fa1,2,CHEN Rong-da1,2
(1.School of Finance,Zhej.Univ.of Fin.and Econ.,Hangzhou 310018,China;2.Coor.Innov.Cent.Quant.Invest.,Zhej.Univ.Fin.and Econ.,Hangzhou 310018,China)

A method of calculating price of European options is obtained via Fourier-Cosine expansions approach when the underlying asset price follows a very general state-dependent regimeswitching Levy process.Furthermore,in order to improve accurate of the Fourier-Cosine expansions,a modi fi ed Fourier-Cosine expansions is developed.The method is then applied to option pricing for European options in Black-Scholes model,Merton jump di ff usion model and CGMY Lévy model,all with Markov regime switching.Numerical results illustrate that although the convergence rate of method modi fi ed Fourier-Cosine expansions is slower than that of Fourier-Cosine expansions,accuracy of method of modi fi ed Fourier-Cosine expansions is greatly improved.In particular for case of CGMY Lévy model,the improvement is signi fi cant.

Lévy processes;Markov regime switching;Fourier transform;Fourier Cosine extension;option pricing

60J

O211.63;F830.91

A

：1000-4424(2016)04-0390-15

2015-11-05

2016-09-08

国家自然科学基金重点项目(71631005);国家自然科学基金(71471161)