改进POT模型及其在边坡安全监测预警中的应用

周志杰 沈振中 徐力群 任杰

摘要：基于极值理论的BMM（Block Maximum Method）和POT模型是近来分析边坡安全监测资料、评估边坡安全状况的新兴方法之一。相对简便的BMM模型在数据取样时往往忽略区间次极大值，在资料年限较短时样本容量偏小，可能导致所得结果误差较大。本文利用改进的Hill估计方法得到阈值，通过极大似然估计确定广义帕累托分布参数，从而利用超限数据序列来确定测值序列的整体分布，提出了改进POT（Modified Peaks over Threshold）模型，并应用于某边坡工程的安全监测预警指标分析。结果表明，在同一置信水平下利用超限值应用广义帕累托分布拟合得到的预警指标小于利用块极大值应用正态分布得到的预警指标，表明基于超限数据的改进POT模型得到的预警指标更能有效规避极端情况发生的风险，更有利于边坡安全监测和预警。

关键词：边坡；极值理论；BMM模型；改进POT模型；预警指标；阈值；极大似然估计

中图分类号：U416 文献标志码：A 文章编号：1672-1683（2016）04-0192-06

Abstract：BMM model and POT model which based on extreme value theory are one of the newly-developing methods to assess the safety conditions of slope in recent years.The ignorant of secondary maximum points and the relatively small size of sample in the case of short-time data may lead to a big error in BMM model.A modified POT model was proposed in the paper to get the threshold with improved Hill estimator method and obtain the Pareto parameters with the maximum likelihood estimation so that the whole distribution could be determined.With the analysis of a slope engineering，the early-warning index which used the generalized Pareto distribution with the data exceeding the threshold was less than that using the normal distribution with the block maximum values in the case of same confidence level.It could be drawn from the results that the early-warning index based on modified POT model was more effective in slope safety monitoring，which could be made use of reducing the risk when extreme conditions happened.

Key words： slope；extreme value theory；BMM model；modified POT model；early-warning index；threshold；maximum likelihood estimation

依据边坡工程施工、运行的原型监测资料，应用统计数学、力学等方法建立监控模型，拟定不同置信水平下的预警指标，展开对边坡的实时监控和预警，是应对复杂工作条件下预防边坡发生极端事件的有效措施[1-3]。而极值理论不仅提供了建立模型描述极端事件的理论基础，且具有超越样本数据的能力，有效地对随机序列的最大（小）值的概率分布和数据序列的边际概率分布尾部进行建模，进而建立有效的风险防范和预警系统[4]，在实际工程监控领域得到了广泛的应用。

传统的分块样本极大值方法（BMM模型）将一独立随机观测序列依据时间或者其它的标准分隔为几个非重叠区域，在每个区域中选极大值，以这些极大值构成的极值样本数据序列进行分布拟合从而估计预警指标[5]，主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题。但受限于取样数据方法，忽略了区域次大值，往往造成区间内除极值外大量数据的浪费，且在原型观测资料年限较短的情况下，使无法满足参数估计的样本量，增加估计的误差，显然依据这些样本而拟定的预警指标存在一定的偏差。并且鉴于实测数据分布可能存在的厚尾性，即极端事件引发的极端风险的真实值要比正态分布的大且更频繁[6]，所以BMM模型中基于正态分布的假设也同样低估了尾部极端风险[7]。与之相对，POT模型是一种基于超限值的建模方法，即基于广义帕累托分布（GPD）对超过某一阈值的所有观测数据进行建模，渐进地刻画分布的尾部特征。该模型更能充分利用样本数据的极值序列包含的信息，理论上更加符合实际情况，适用于工程实际。因此，本文基于POT模型，以超过某一阈值的数据序列作为研究对象，利用广义帕累托分布拟合超限分布，提出了改进的阈值估计方法，并利用极大似然估计确定分布参数，建立了改进POT模型，并应用于边坡变形监测资料分析及预警，结合边坡工程的实例对两种模型所确定的预警指标进行比较，验证了方法的合理性。

1 BMM模型

传统的分块样本极大值方法（BMM）是基于广义极值分布的参数模型，它是对某一同分布样本分块后的极大值进行建模。Fisher和Tippett[8]证明了如果独立同分布序列的标准极大值收敛于某分布，那么其极限分布就是广义极值分布（GEV）。

以上基于超限值数据序列的改进POT模型旨在针对传统BMM模型在取样数据方法上仅选取极值的缺陷，将超过某一阈值的较大测值均纳入考虑，可使所拟定的预警指标更贴近实际，有效规避风险。下面以某边坡工程为例，利用其变形监测资料建立以上两种模型，并拟定预警指标进行分析比较，验证改进POT模型的合理性。

3 实例分析

某水电站位于我国西南部，工程以发电为主，枢纽主要由混凝土面板堆石坝、右岸开敞式溢洪道、左岸引水发电系统、地面厂房等组成。坝顶高程643.0 m，最大坝高约135 m，坝顶长度315 m，水库正常蓄水位639.0 m，可调节库容3.341亿m³。枢纽工程位于高山峡谷、陡峻岸坡地段，工程开挖形成了多处高开挖边坡，主要有：坝址左岸边坡、左岸下游边坡、右岸高程643.0 m以上边坡（主要属于溢洪道引渠段边坡）和溢洪道边坡。

高开挖边坡主要集中在溢洪道所在的右岸边坡。该范围边坡呈弧形，坡高一般60～80 m，末端高达114 m，主要为土质边坡和部分岩质边坡。岩质边坡存在不利结构面组合构成的不稳定楔形块体，施工过程中产生了两次塌滑，稳定性较差。土质边坡采用混凝土框架梁、节点加锚索固坡形式，由于支护滞后等原因，沿覆盖层与基岩接触面产生了滑塌。之后设计方案调整为：放缓开挖边坡为1∶1.2～1∶1.0；上部采用1∶1.4，并用M10贴坡浆砌石护坡，厚度40 cm；下部边坡及变坡部位采用C20贴坡钢筋混凝土加锚索固坡；在坡面上均按梅花型布设排水孔。为了确保右岸边坡的稳定性，在右岸高程643.0 m以上边坡布置了锚索测力计、表面变形监测点、多点位移计及测斜孔等边坡监测设施。

鉴于右岸边坡工程的重要性，基于极值理论分析边坡安全监测资料，拟定某一置信水平下的预警指标，以便展开对右岸边坡的实时监控和预警。取右岸边坡有效表面变形监测点BPB-TP-07，各测点位置见图1。自2005年1月16日至2014年7月17日顺河向表面位移的测值序列，样本总数为n=127，分别利用BMM模型和改进POT模型拟定右岸边坡在95%置信水平下的水平位移预警值。

3.1 利用BMM模型拟定预警值

将所取测值序列以年为区间进行分块处理，得到m=10的年极大值样本序列{M1，M2，…，Mm}，利用式（3）对分布参数ξ，μ，σ通过matlab编程得到极大似然估计值（结果见表1），代入GEV分布的概率密度函数，易得在α=95%的置信水平下边坡水平位移的预警值为201.247 mm。

3.2 利用改进POT模型拟定预警值

基于改进的Hill估计方法确定阈值，然后对分布参数采用极大似然估计，从而得到超限值的条件分布函数来表示总体分布函数。

首先，将测值序列{x1，x2，…，xn}按升序排列得到次序统计量x（i），由式（8）通过matlab编程获得k及对应的估计量γ（k），绘制点（k，γ（k）-1）集合的Hill图见图2。

3.3 预警指标的比较分析

通过算例发现，在相同置信水平下利用超限值应用广义帕累托分布拟合得到的预警指标小于利用块极大值应用正态分布得到的预警指标。为排除单个测点测值序列所具有的偶然性，用同样方法随机取右岸边坡若干有效测点进行计算同样得到类似结论。由此可知，在实际监测边坡安全状况的过程中，基于传统BMM模型所得的预警指标往往可能偏于开放，尤其是在处理数据序列年限较短、有效区间次极大值被忽略的情况下，所得的预警指标存在较大偏差。而利用改进POT模型，可以充分考虑测值序列中的较大测值，所得的预警指标也更具参考性，使有效规避极端情况发生的风险。

4 结语

（1）借助极值理论和BMM模型提出了改进POT模型，研究了边坡预警指标的拟定原理和算法。并结合具体边坡工程的实例，分别利用区间极大值和超限值对边坡测值序列进行整体分布拟合，从而比较同一置信水平下的预警指标，得到改进POT模型相较BMM模型所得预警指标更偏于保守，对于边坡工程的风险防范和极端情况预警更具指导性。

（2）改进POT模型通过引入斜率变点来界定Hill图中序列的平稳性，有效避免了主观判定阈值产生的误差，并通过编程使模型适用于大样本数据的自动处理，为其他类似工程预警系统的建立和预警指标的拟定提供了参考。

（3）基于一维情况对测值序列的极值进行建模处理来拟定预警指标，仅考虑了超越阈值的大小，没有考虑随机变量之间的相关性，因此可考虑用多维极值理论来研究其可行性。

参考文献（References）：

[1] 吴中如.水工建筑物安全监控理论及其应用[M].北京：高等教育出版社，2003.（WU Zhong-ru.The safety of hydraulic structure monitoring theory and its application[M].Beijing：Higher Education Press，2003.（in Chinese））

[2] Su H，Wen Z，Wu Z.Study on an intelligent inference engine in early-warning system of dam health[J].Water Resources Management，2011，25（6）：1545-1563.

[3] 苏怀智，王锋，刘红萍.基于POT模型建立大坝服役性态预警指标[J].水利学报，2012（08）：974-978，986.（SU Huai-zhi，WANG Feng，LIU Hong-ping.Early-warning index for dam service behavior based on POT model[J].Journal of Hydraulic Engineering，2012（8）：974-978，986.（in Chinese））

[4] 高娟.极值分布参数估计方法的研究[D].北京：华北电力大学，2009.（GAO Juan.The method study of extreme value distribution parameter estimation[D].Beijing：North China Electric Power University，2009.（in Chinese））

[5] 刘莎莎.POT模型阈值的选取及应用[D].长春：吉林大学，2014.（LIU Sha-sha.The selection and application of the threshold of POT model[D].Changchun： Jilin University，2014.（in Chinese））

[6] 李贺，叶中行.极值理论与VaR计算[J].宁夏大学学报：自然科学版，2007（02）：124-127.（LI He，YE Zhong-xing.Extreme value theory and VaR computation[J].Journal of Ningxia University：Natural Science Edition，2007（02）：124-127.（in Chinese））

[7] 周敏娟，苏鑫.极值理论POT模型与阈值选取研究[J].中国证券期货，2011（6）：199-200.（ZHOU Min-juan，SU Xin.Extreme value theory POT model and study on threshold[J].Securities and Futures of China，2011（6）：199-200.（in Chinese））

[8] Fisher R A，Tippett L H C.Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample[C].//Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.Cambridge University Press，1928，24（02）：180-190.

[9] Jenkinson A F.The frequency distribution of the annual maximum（or minimum）values of meteorological elements[J].Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society，1955，81（348）：158-171.

[10] Leadbetter M R，Lindgren G，Rootzén H.Extremes and related properties of random sequences and processes[M].New York：Springer-Verlag，1983.

[11] Pickands III J.Statistical inference using extreme order statistics[J].The Annals of Statistics，1975：119-131.

[12] McNeil A J，Frey R.Estimation of tail-related risk measures for heteroscedastic financial time series：an extreme value approach[J].Journal of empirical finance，2000，7（3）：271-300.

[13] 桂文林.基于极端值理论（EVT）的金融风险度量[D].广州：暨南大学，2005.（GUI Wen-lin.Calculate the financial risk according to Extreme Value Theory[D].Guangzhou：Jinan University，2005.（in Chinese））

[14] Qi Y E W Y M B.Using the Improved Hill Estimator Model to Evaluate VaR[J].Journal of the Graduate School of the Chinese Academy of Science，2004，3：002.

[15] Dacorogna M M，Müller U A，Pictet O V，et al.The distribution of extremal foreign exchange rate returns in extremely large data sets[M].Netherlands：Tinbergen Institute，1995.

[16] 宋加山，李勇，彭诚，等.极值理论中阈值选取的Hill估计方法改进[J].中国科学技术大学学报，2008（9）：1104-1108.（SONG Jia-shan，LI Yong，PENG Cheng，et al.Improving the traditional Hill estimator to select the threshold in extreme value theory[J].Journal of University of Science and Technology of China，2008（9）：1104-1108.（in Chinese））

[17] 叶五一，缪柏其，谭常春.基于分位点回归模型变点检测的金融传染分析[J].数量经济技术经济研究，2007（10）：151-161.（YE Wu-yi，LIAO Bo-qi，TAN Chang-chun.Analysis of financial contagion based on change point testing of quartile regression model[J].The Journal of Quantitative and Technical Economics，2007（10）：151-161.（in Chinese））

[18] Smith R L.Estimating tails of probability distributions[J].The annals of Statistics，1987：1174-1207.