二维信号离散行为空间中的羊群行为

王灯山 崔 琨

二维信号离散行为空间中的羊群行为

王灯山 崔 琨

[摘 要]笔者基于“离散行为空间导致羊群行为”模型，通过放松私人信号假设，引入二维不确定信号，分析此“二维信号离散行为空间”中的羊群行为的产生过程与产生机理。笔者运用数学建模来分析二维不确定信号——是否获得信号以及信号是否准确，对羊群行为的产生时间以及概率的影响，推导出羊群行为产生时间以及产生概率与信号参数的具体关系式，并且运用MATLAB生成图像分析二维不确定信号参数变化对羊群行为的影响趋势。 研究发现，通过引入二维不确定信号，羊群行为不会像在“一维信号离散行为空间”中那样确定产生，“二维信号离散行为空间”中羊群行为的产生与信号参数相关，并且获得信息概率这一信号参数的单向变化，对羊群行为有促进和抑制两方面的作用。研究结果对投资行为和市场监管具有指导作用，在维护投资市场公平、有序、高效运行方面具有一定的现实意义。

[关键词]二维信号 离散行为 羊群行为

一、引言

金融市场中的羊群行为，大部分是投资者在不对称信息的前提下进行的盲目跟随行为。

不对称信息的产生可能是由投资信号的不确定性引起，如投资者是否能收到私人信号、投资者所收到的私人信号是否准确等；也可能是由于具体交易机制问题，如委托人-代理人机制导致委托人与代理人之间的信息不对称等。

在研究羊群行为产生机理方面，主流的理论有：声誉理论、支付外部性理论以及信息流理论。

Scharfstein和Stein(1990)[1]运用委托人-代理人模型分析羊群行为的产生，Sticke1(1990,1992)[2-3]、Trueman(1994)[4]、Rajan(1994)[5]、Zwiebel(1995)[6]、Prendergast和Stole(1996)[7]对该理论进行了继承和发展，Graham(1999)[8]拓展了该模型，建立了羊群行为的声誉模型。研究表明，由于委托人-代理人机制两者之间存在信息的不对称，这促使了羊群行为的产生。

Brennan(1990)[9]、Froot等(1992)[10]等对支付外部性导致羊群行为进行了研究。研究表明，当行为主体事先研究了他认为其他行为主体即将研究的信息，并希望其他行为主体按自己预期的方向交易资产时，羊群行为就会发生。

Banerjee提出了序贯决策模型，Banerjee(1992)[11]、Bikhchandani等(1992)[12]、Welch(1992)[13]等完善了信息流理论。Avery和Zemsky(1998)[14]修改了交易价格外生给定这一假设，并将模型应用于股票市场。研究表明投资者按顺序依次进行决策，私人信号的不确定性导致信息的不对称，序贯决策可以使投资者获得并学习前人的决策信息，从而形成信息流。Banerjee(1992)[11]论证了非离散行为在二维信号空间中导致羊群行为。Bikhchandani等(1992)[12]论证了在离散行为空间中羊群行为的产生过程以及产生机理,通过引入一维不确定信号——投资者所收到的私人信号是否准确，从而产生投资者的信息不对称，进而引发羊群行为。

在实证研究方面，李新路和韩志萍(2007)[15]认为我国股票市场个体投资者呈现出非常显著的羊群行为，并且卖方羊群行为强于买方羊群行为，无论投资者是风险偏好还是风险厌恶，都表现出显著的羊群效应，股票收益率和股票规模是影响投资者羊群行为的重要因素。李奇泽等(2013)[16]通过实证数据表明我国证券投资基金羊群行为的形成原因主要有两方面。一方面，由于我国证券投资基金评价体系过分注重短期业绩，这将促使基金经理或者追逐热点或者窗饰业绩，诱发基金羊群行为。另一方面，基金公司治理结构中基金份额持有人大会存在内部人控制问题，导致中小投资者参与和监督的动力不足，而基金托管人又由基金管理人选定而失去独立性，导致托管人监管缺位。这些公司治理的制度性缺陷将加重基金投资人与管理人之间的委托代理问题。理性的基金管理人为实现自身利益最大化会背弃投资人的利益，或者共同窗饰业绩或者达成默契抱团取暖，从而产生基金业普遍的羊群行为。

李平和曾勇(2004)[17]认为若市场上只存在信息的一维不确定性(资产价值的不确定性)以及所有的市场参与者均完全理性，那么证券的价格总是对市场上的信息进行合理的调整，羊群行为永远不会发生，获得不同私人信息的交易者总会选择不同的交易行为，私人信息不断被揭示。庄新田和王健(2007)[18]认为若信息交易者非理性则可能发生羊群行为。市场上羊群效应的产生需要具备一定条件，信息交易者的非理性程度达到某一临界值时才发生羊群行为。

宋军等(2003)[19]、杨文超和孟庆华(2008)[20]、刘阳(2011)[21]等对我国投资市场状况作了具体的分析研究。宋军等(2003)[19]认为目前我国证券市场中，机构投资者和个人投资者在资金信息上存在的明显的不对称以及随之而来的庄家操纵市场，散户捕风捉影而跟庄的短期行为对于市场的有效、稳定的健康成长极为不利。杨文超和孟庆华(2008)[20]认为相较于发达国家的股票市场，我国股市起步较晚，不论机构投资者还是个人投资者，羊群行为现象表现得更为明显，这在一定程度上可以解释我国股票价格经常出现的涨跌无常的异常波动现象。刘阳(2011)[21]认为在信息传递方面，我国股市信息披露的及时性、准确性、完整性等方面都存在缺陷，这使得投资者在信息上处于不对称地位，诱使投资者观察并追随其他投资者，从而导致羊群行为。

以上研究表明，在我国由于投资交易市场信息披露并不及时、准确、完整，导致市场含有较强的羊群效应。相当一部分投资者没有收到私人信号，还有一部分交易者虽然可以获得各种信号，但是由于缺乏经济头脑和投资敏感度，不能从各种信号中获得准确的、能反映投资资产价值的信息。种种不确定性使得相当一部分投资者的决策往往只是跟随他人行为。可见，整个交易市场的羊群效应影响还是非常大的。由于羊群效应不利于市场的稳定，也与金融危机密切相关，所以研究不确定信号参数对羊群行为的影响，进而对整个市场进行分析和政策改善，具有重要的现实意义。

本文旨在通过理论模型，研究不确定信号参数对羊群行为造成的具体影响，推导羊群行为产生的充分条件，并且通过MATLAB生成图像来形象地观察不确定信号参数的变化对羊群行为的影响程度。

为此，我们放松Bikhchandani等(1992)[12]研究中简单模型的假设——每个投资者均能收到私人信号。讨论每个投资者不一定能收到信号，并且收到的信号不一定准确的“二维不确定信号”空间对羊群行为产生的影响。

直观分析，如果引入每个投资者不一定能收到信号这个假设，没有收到信号的投资者会盲目跟从大部分之前决策者们所做的决定，羊群行为更容易产生。但是对于收到信号的投资者而言，他会更加看重自己的信号，因为对他而言，之前投资者的一致行为有可能是由于他们没有收到信号而产生的盲目跟从，自己所收到的信号相对于Bikhchandani等(1992)[12]的研究而言就更有价值(虽然有可能信号是不准确的)，这便会抑制羊群行为的产生。这两方面对羊群行为产生了相反的作用。那么相对于Bikhchandani等(1992)[12]研究中的“一维不确定信号”空间，在“二维不确定信号”空间中，羊群行为是否更容易产生，以及“二维不确定信号”的参数变化对羊群行为产生的概率和时间有怎样的确切影响，这是本文所要阐述的问题。

二、理论模型

为了简化和更有目的性地分析，我们更加关注于在第n个决策者之前所有人均有一致行为的情况下，第n个决策者是否会产生羊群行为，以及不确定信号的参数变化对羊群行为产生时间和概率的影响。

(一)模型假设

我们放松Bikhchandani等(1992)[12]的假设条件，假设不是每个人都能收到信号，收到的信号也不一定准确。从而形成“二维信号离散行为空间”，在二维信号空间中讨论离散行为。

存在一系列的人，每一个人依次选择接受或者拒绝投资一个项目。每一个人都有可能会收到关于投资价值的信号，而收到的信号有可能为真，也有可能为假。每一个人都能观察到前人的决定，但是看不到前人的信号。

每一个人的投资成本是0.5。

投资收益V是以0.5的概率得0，以0.5的概率得1。

每个人以概率α收到信号，以概率1-α没有收到信号,α∈(0,1)。

如果第i个人收到个人信号，记为Xi，Xi=H或者L。

当投资的真实值为1时，如果个人收到信号，信号Xi=H的概率为p，收到信号Xi=L的概率为1-p，其中p∈(0.5,1)。

当投资的真实值为0时，如果个人收到信号，信号Xi=L的概率为p，收到信号Xi=H的概率为1-p，其中p∈(0.5,1)。

对于个人i的决策规则是：

对于i=1而言，如果他收到信号，则按信号进行决策；如果他没有收到信号，则以0.5的概率选择接受，以0.5的概率选择拒绝。

对于i≥2而言，如果他收到信号，则他所拥有的信息集为前人的选择和自己的信号，他将根据已有的信息集进行决策。如果在观测到前人的选择S以及个人的信号Xi后，对于投资的期望值E[V|S,Xi] 有：E[V|S,Xi]>0.5时选择接受；E[V|S,Xi]<0.5时选择拒绝；E[V|S,Xi]=0.5时以0.5的概率选择接受，以0.5的概率选择拒绝。

如果他没有收到信号，则选择前人的决策中选择人数较多的决策，也就是说如果前人中较多人选接受，则第i个人选择接受，否则拒绝。如果前人中选择接受和拒绝的人数相同，则第i个人以0.5的概率选择接受，以0.5的概率选择拒绝。

(二)模型分析

1.第1个人。

(1)如果第1个人没收到信号，则以0.5的概率选择接受，以0.5的概率选择拒绝。

(2)如果第1个人收到的信号是H，我们记此事件为Φ1={X1=H}，得到

E[V|Φ1]=1×P(V=1|Φ1)+0×P(V=0|Φ1)

=P(V=1|Φ1)

=p>0.5

(1a)

则第1个人选择接受。

(3)如果第1个人收到的信号是L，我们记此事件为Φ2={X1=L}，得到

E[V|Φ2]=1×P(V=1|Φ2)+0×P(V=0|Φ2)

=P(V=1|Φ2)

=(1-p)<0.5

(1b)

则第1个人选择拒绝。

从而我们分析得：

P(S1=adopt|V=1)=0.5(1-α)+αp

(1c)

P(S1=adopt|V=0)=0.5(1-α)+α(1-p)

(1d)

2.第2个人。

(1)如果第1个人选择接受，第2个人没有收到信号，则他会模仿第1个人的行为选择接受。

(2)如果第1个人选择接受，第2个人收到的信号是H，我们记此事件为Φ3={S1=adopt,X2=H}，得到

E[V|Φ3]=1×P(V=1|Φ3)+0×P(V=0|Φ3)

=P(V=1|Φ3)

>0.5

(2a)

其中：

P(V=1)P(Φ3|V=1)

=0.5×[0.5(1-α)+αp]×αp

P(V=0)P(Φ3|V=0)

=0.5×[0.5(1-α)+α(1-p)]×α(1-p)

则第2个人选择接受。

(3)如果第1个人选择接受，第2个人收到的信号是L，我们记此事件为Φ4={S1=adopt,X2=L}，得到

E[V|Φ4]=1×P(V=1|Φ4)+0×P(V=0|Φ4)

=P(V=1|Φ4)

<0.5

(2b)

其中：

P(V=1)P(Φ4|V=1)

=0.5×[0.5(1-α)+αp]×α(1-p)

P(V=0)P(Φ4|V=0)

=0.5×[0.5(1-α)+α(1-p)]×αp

则第2个人选择拒绝。

从而我们分析得：

P(S2=adopt|S1=adopt,V=1)=(1-α)+αp

(2c)

P(S2=adopt|S1=adopt,V=0)=(1-α)+α(1-p)

(2d)

3.第3个人。

(1)如果第1个人选择接受，第2个人选择接受，第3个人没有收到信号，则第3个人会模仿前两个人的选择，选择接受。

(2)如果第1个人选择接受，第2个人选择接受，第3个人的信号是H，我们记此事件为Φ5={S1=adopt,S2=adopt,X3=H}，得到

E[V|Φ5]=1×P(V=1|Φ5)+0×P(V=0|Φ5)

=P(V=1|Φ5)

>0.5

(3a)

其中：

P(V=1)P(Φ5|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]αp

P(V=0)P(Φ5|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]α(1-p)

则第3个人选择接受。

(3)如果第1个人选择接受，第2个人选择接受，第3个人的信号是L，我们记此事件为Φ6={S1=adopt,S2=adopt,X3=L}，得到

E[V|Φ6]=1×P(V=1|Φ6)+0×P(V=0|Φ6)

=P(V=1|Φ6)

(3b)

其中：

P(V=1)P(Φ6|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]α(1-p)

(3c)

P(V=0)P(Φ6|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]αp

(3d)

当式(3c)大于式(3d)时，式(3b)大于0.5，则第3个人选择接受，即在第1个人选择接受，第2个人选择接受，无论第3个人是否收到信号，收到的信号是什么，第3个人总会会忽略自己的信号选择接受。则我们有

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)=1

(3e)

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)=1

(3f)

从而第3个人开始产生羊群行为。

当式(3c)小于式(3d)时，式(3b)小于0.5，则第3个人选择拒绝，即在第1个人选择接受，第2个人选择接受，第3个人的行为与自己接收到的信号相关，从而第3个人不会产生羊群行为。

当式(3c)等于式(3d)时，式(3b)等于0.5，则第3个人以相同的概率选择接受或拒绝，此非羊群行为。

式(3c)减式(3d)等于(1-2p)[0.5(1-α)2-α2p×(1-p)]。由于假设p>0.5，则1-2p<0。由于0<α<1，当α足够大时，0.5(1-α)2-α2p(1-p)<0，从而式(3c)大于式(3d)，E[V|Φ6]>0.5，第3个人选择接受，产生羊群行为。我们可以想象当α无限向1逼近，相当于是否收到信号的不确定性趋于消失，二维信号趋于一维信号，此结果趋于Bikhchandani等(1992)[12]的结论：第3个人开始产生羊群行为。当α足够小时0.5(1-α)2-α2p(1-p)>0，从而式(3c)小于式(3d)，E[V|Φ6]<0.5，第3个人选择拒绝，不会产生羊群行为。

我们分析此与Bikhchandani等(1992)[12]结论不同的原因。因为α为公共已知，当α足够小时，即人们很难收到信号。此刻作决定的人面对前面所有人选择接受，分析其原因很有可能是因为没有收到信号而选择的跟随行为，如果此刻做决定的人收到了信号，则这个人必然更加看中从自己信号中所获得的信息，尽管信息有真有假，但收到信号的概率相对于信息真假的概率要小得多。所以这个人会依据自己的信息做决定，不会产生羊群行为。

从而我们分析得：

如果式(3c)大于式(3d)，则

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)=1

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)=1

如果式(3c)小于式(3d)，则

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)

=(1-α)+αp

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)

=(1-α)+α(1-p)

如果式(3c)等于式(3d)，则

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=1)

=(1-α)+α[p+0.5(1-p)]

P(S3=adopt|S2=adopt,S1=adopt,V=0)

=(1-α)+α[(1-p)+0.5p]

4.第4个人。

当式(3c)大于式(3d)时，我们分析如Bikhchandani等(1992)[12]的研究，结果也与其相同，从第3个决策者开始以后的人均会产生羊群行为。

我们重点分析当式(3c)小于式(3d)时的情况。

(1)如果第1个人选择接受，第2个人选择接受，第3个人选择接受，第4个人没收到信号，则会模仿前人选择接受。

(2)如果第1个人选择接受，第2个人选择接受，第3个人选择接受，第4个人收到信号H，我们记此事件为Φ7={S1=adopt,S2=adopt,S3=adopt,X4=H}，则

E[V|Φ7]=1×P(V=1|Φ7)+0×P(V=0|Φ7)

=P(V=1|Φ7)

>0.5

(4a)

其中：

P(V=1)P(Φ7|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]2αp

P(V=0)P(Φ7|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]2α(1-p)

从而第4个人选择接受。

(3)如果第1个人选择接受，第2个人选择接受，第3个人选择接受，第4个人收到信号L，我们记此事件为Φ8={S1=adopt,S2=adopt,S3=adopt,X4=L}，则

E[V|Φ8]=1×P(V=1|Φ8)+0×P(V=0|Φ8)

=P(V=1|Φ8)

(4b)

其中：

P(V=1)P(Φ8|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]2α(1-p)

(4c)

P(V=0)P(Φ8|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]2αp

(4d)

分析同对第3个决策者的分析过程。

如果式(4c)大于式(4d)，则E[V|Φ8]>0.5，第4个人选择接受，产生羊群行为。

如果式(4c)小于式(4d)，则E[V|Φ8]<0.5，第4个人选择拒绝，不会产生羊群行为。

如果式(4c)等于式(4d)，则E[V|Φ8]=0.5，第4个人以相同的概率选择接受或拒绝，此非羊群行为。

式(4c)减式(4d)等于(1-2p)[0.5(1-α)3-α2p×(1-p)(2.5-1.5α)]

我们不难发现在式(3c)小于式(3d)的情况下,式(4c)小于式(4d)比式(3c)小于式(3d)更加难以实现，即更容易产生羊群行为。

5.第n个人。

当第n-1个决策者产生了羊群行为，我们分析如Bikhchandani等(1992)[12]的研究，第n个决策者也一定产生羊群行为。

我们重点分析当第n-1个决策者没有产生羊群行为的情况下，第n个决策者的行为决策。

(1)如果前n-1个决策者均选择接受，第n个决策者没收到信号，则会模仿前人选择接受。

(2)如果前n-1个决策者均选择接受，第n个决策者收到信号H，我们记此事件为Φ2n-1={S1，…，Sn-1=adopt,Xn=H}，则

E[V|Φ2n-1]

=1×P(V=1|Φ2n-1)+0×P(V=0|Φ2n-1)

=P(V=1|Φ2n-1)

=[P(V=1)P(Φ2n-1|V=1)]/[P(V=1)

×P(Φ2n-1|V=1)+P(V=0)

×P(Φ2n-1|V=0)]>0.5

(5a)

其中：

P(V=1)P(Φ2n-1|V=1)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2αp

P(V=0)P(Φ2n-1|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+α(1-p)][(1-α)

+α(1-p)]n-2α(1-p)

从而第n个人选择接受。

(3)如果前n-1个决策者均选择接受，第n个人收到信号L，我们记此事件为Φ2n={S1，…，Sn-1=adopt,Xn=L}，则

E[V|Φ2n]=1×P(V=1|Φ2n)+0×P(V=0|Φ2n)

=P(V=1|Φ2n)

(5b)

其中：

P(V=1)P(Φ2n|V=1)=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2α(1-p)

(5c)

P(V=0)P(Φ2n|V=0)=0.5[0.5(1-α)+α

×(1-p)][(1-α)+α(1-p)]n-2αp

(5d)

分析同对第3个决策者的分析过程。

如果式(5c)大于式(5d)，则E[V|Φ2n]>0.5，第n个人选择接受，产生羊群行为。

如果式(5c)小于式(5d)，则E[V|Φ2n]<0.5，第n个人选择拒绝，不会产生羊群行为。

如果式(5c)等于式(5d)，则E[V|Φ2n]=0.5，第n个人以相同的概率选择接受或拒绝，此非羊群行为。

(三)模型结论

第1个人、第2个人不会产生羊群行为，从第3个人开始，羊群行为有可能产生。对于某时刻做决策的个人而言，产生羊群行为的概率与α和p的大小有关。

如果第n个决策者(n≥3)产生了羊群行为，这件事情的发生除式(5c)大于式(5d)外，还需要第n个决策者之前所有决策者均做出一致选择。

P(S1，…，Sn-1=adopt)

=P(V=1)P(S1，…，Sn-1=adopt|V=1)

+P(V=0)P(S1，…，Sn-1=adopt|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2

+0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2

(6)

P(S1，…，Sn-1=reject)

=P(V=1)P(S1，…，Sn-1

=reject|V=1)

+P(V=0)P(S1，…，Sn-1=reject|V=0)

=0.5[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2

+0.5[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2

(7)

我们整理得，对于一个序列决策模型，已知信号参数α和p的具体值，我们可以通过式(5c)大于式(5d)，即

[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]n-2(1-p)>[0.5(1-α)+α(1-p)][(1-α)+α(1-p)]n-2p

(8)

计算出产生羊群行为的最小的n值，记为羊群行为触发值N。

N=minn|[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2(1-p)

>[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2p

(9)

注意N为满足条件的最小n值，这保证了第N个决策者之前所有的人均不会产生羊群行为，这符合我们之前论证的前提条件。

将此n=N值代入式(6)、(7)，计算出此序列决策模型产生羊群行为的概率。

定理：一个序列决策模型产生羊群行为的概率为

P(herding)=[0.5(1-α)+αp][(1-α)+αp]N-2

+[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]N-2

(10)

其中,

N=minn|[0.5(1-α)+αp]

×[(1-α)+αp]n-2(1-p)

>[0.5(1-α)+α(1-p)]

×[(1-α)+α(1-p)]n-2p

(9)

信号参数α和p为外生变量，N为内生变量，由参数α和p共同决定。

对于式(9)，当α→1时(由于式(9)是在α≠1的情况下分析得到)，计算得N→3，即当前两个人行为一致时，计算结果趋向于第三个人开始所有人进行羊群行为，这与 Bikhchandani等(1992)[12]中的简单模型一致。

对比Bikhchandani等(1992)[12]中的简单模型，可以见得，在之前投资者行为一致的情况下，随着不确定信号α的减小，羊群行为不那么容易产生，即N的值变大，这便是引言中提到的抑制羊群行为产生。而对于n=2,3,…,N-1投资者而言，每个人行为一致的概率1-α+αp、1-α+α(1-p)，由于α的减小而变大，这便是引言中提到的促进羊群行为产生。两者相互作用，对羊群行为产生的影响体现在了式(10)、(9)中。

三、图像分析

我们首先分析对于每一决策者而言，通过式(8)，我们可以得到如果第n个决策者进行羊群行为，那么所需要满足的α和p的取值范围图像如图1所示。

图1 激发羊群行为所需α和p的取值范围

我们可以很清楚地看到，所有图像右边界完全覆盖了p∈(0.5,1)，换句话说，在α→1时(由于式(8)中α≠1)，只要p∈(0.5,1)，结果趋向于从第3个人开始，所有人都进行羊群行为。这与Bikhchandani等(1992)[12]中的简单模型结论一致。

通过图1，可以得到，随着n的增大，羊群行为所需要的α和p的取值范围越来越大。对于外生变量α和p(α和p既定)，随着每个决策者依次进行决策，越往后，α和p越有可能落入满足羊群行为所需的取值范围内，从而产生羊群行为。换句话说，随着n的增大，羊群行为越来越容易产生。

接下来通过式(9)，我们分析对于已知值的α和p时，从第几个决策者开始产生羊群行为，详见表1。

表1 不同信号参数对应的羊群行为触发值N

通过表1，我们可得随着α的增大与p的减小，N的值越来越小，即羊群行为越早产生。

α、p、N的三维关系图如图2所示。

我们最后分析羊群行为产生概率P(herding)与参数α、p的关系(N为内生变量)，根据式(10)、(9)，我们得到三维关系图(图3)。

图2 α、p、N的三维关系图

图3 α、p、P(herding)的三维关系图

我们研究图3的横截面性质。例如，当p=0.6与p=0.9时的三维图像横截面，即当p=0.6与p=0.9时α与P的关系如图4所示。

图4 p=0.6与p=0.9时的三维图像横截面

我们接下来具体研究无数个横截面中的任意一个。例如当p=0.6时的三维图像横截面，即当p=0.6时α与P的关系如图5所示。

图5 p=0.6时α与P(herding)的关系图

图5中，随着α的减小，B→C、D→E、F→G等表示P(herding)的减小，此即为上文中提到的抑制羊群行为作用，它的产生是由于随着α的减小，式(9)得到的N越来越大，从而导致了式(10)的减小。如B→C，α的值只是相当微小的变化，但N的值由3增大为4,。虽然α的变化量非常小，对1-α+αp与1-α+α(1-p)的影响非常小，但是由于N的值由3增大为4，这对式(10)的影响非常大，所以出现了如图中断崖式的变化。

随着α的减小，A→B、C→D、E→F等表示P(herding)的增大，此即为上文中提到的促进羊群行为作用，它的产生是由于式(10)中1-α+αp与1-α+α(1-p)的增大，从而导致P(herding)的增大。如A→B，这一过程中虽然α有变化，但是式(9)始终等于3，P(herding)的增大，完全是因为1-α+αp与1-α+α(1-p)的增大。

例如在H点到I点的整个变化过程中，促进作用大于抑制作用，最终I点羊群行为概率增大。再如在H点到J点的整个变化过程中，促进作用小于抑制作用，最终J点羊群行为概率减小。

N由式(9)决定，显然N有一个取整的过程，所以随着α与p的连续变化，N的变化是不连续的，是整数的变化，所以抑制羊群行为作用是不连续的、断崖似的作用。然而α与p却是连续的变化，所以促进羊群行为作用是连续的作用。两者相互作用，α与p对P的影响变化如上文图3所示。

四、结论

本文在Bikhchandani等(1992)[12]中的“离散行为空间导致羊群行为”模型基础上，通过引入二维不确定信号，分析此“二维信号离散行为空间”下的羊群行为的产生过程与产生机理。二维不确定信号的引入，使得模型更加符合实际，并且适用于现实生活。与羊群行为在“一维信号离散行为空间”中那样确定产生不同，“二维信号离散行为空间”下羊群行为的产生与信号参数相关。本文通过数学建模推导出羊群行为产生时间以及产生概率与信号参数的具体关系式，并且发现获得信息概率这一信号参数的单向变化，对羊群行为有促进和抑制两方面的作用。最后我们运用MATLAB生成图像分析二维不确定信号参数变化对羊群行为的影响趋势。

以往的研究结果，例如宋军等(2003)[19]、万志华(2008)[22]、杨文超和孟庆华(2008)[20]表明信号的质量越差投资者越倾向于发生羊群行为，噪音交易者在投资者中的比率越大投资者越倾向于发生羊群行为，研究结论与对我国证券投资基金羊群行为的实证结果和对我国房地产羊群行为的实证结果是一致的。

本文的研究结果与以往的研究结果不同之处在于指出获得信息概率这一信号参数的单向变化，对羊群行为有促进和抑制两方面的作用，并且推导出具体表达式。这对现实投资市场起到一定的指导作用。管理者可以通过政策措施来影响信号参数的变化，如通过规范投资市场中的信息披露制度来提高投资信号的准确性，通过大力培养机构投资者、开展投资教育来提高交易者分析投资信号的能力等，进而降低羊群行为产生的概率。

但本文也有一定的局限性，为了建立数学模型，本文将庞大且复杂的投资市场交易行为进行了简单化处理。例如本文模型基于投资市场序贯交易，并且仅对一种投资产品的两种外生给定价格进行分析。我们可以通过拓展本文模型，如允许交易价格变化等，使之与实际的市场交易更加契合。

[1]Scharfstein D S，Stein J C.Herd Behavior and Investment[J].The American Economic Review,1990,80(3):465-479.

[2]Stickel S.Predicting Individual Analyst Earnings Forecasts[J].Journal of Accounting Research,1990,28(2):409-417.

[3]Stickel S.Reputation and Performance Among Security Analysts[J].Journal of Finance,1992,47(5):1811-1836.

[4]Trueman B.Analyst Forecasts and Herding Behavior[J].Review of Financial Studies,1994,7(1):97-124.

[5]Rajan R G.Why Bank Credit Policies Fluctuate:A Theory and Some Evidence[J].The Quarterly Journal of Economics,1994,109(2):399-441.

[6]Zwiebel J.Corporate Conservatism and Relative Compensation[J].Journal of Political Economy,1995,103(1):1-25.

[7]Pendergast C,Stole L.Impetuous Yongsters and Jaded Old-timers:Acquiring a Reputation for Learning[J].Journal of Political Economy,1996,104(6):1105-1134.

[8] Graham J R.Herding among Investment Newsletters:Theory and Evidence[J].Journal of Finance,1999,54(1):237-268.

[9]Brennan M J.Latent Assets[J].Journal of Finance,1990,45(3):709-30.

[10]Froot K A,David S S,Stein J C.Herd on the Street:Informational Inefficiencies in a Market With Short-term Speculation[J].Journal of Finance,1992,47(4):1461-1484.

[11] Banerjee A V.A Simple Model of Herd Behavior[J].Quarterly Journal of Economics,1992,107:797-817.

[12]Bikhchandani S,Hirshleifer D,and Welch I.A Theory of Fads,Fashion,Custom,and Cultural Change as Informational Cascades[J].Journal of Political Economy,1992,100:992-1026.

[13]Welch I.Sequential Sales,Learning,and Cascades[J].Journal of Finance,1992,47(2):695-732.

[14] Avery C,Zemsky P.Multidimensional Uncertainty and Herd Behavior in Financial Markets[J].Atmosfera,1998,88(4):724-48.

[15]李新路,韩志萍.中国股市个体投资者羊群行为影响因素分析[J].中央财经大学学报,2007(6):35-39.

[16]李奇泽,张铁刚,丁焕强.中国证券投资基金羊群行为——基于周期规律与板块效应的实证分析[J].中央财经大学学报,2013(6):37-43.

[17]李平,曾勇.基于非理性行为的羊群效应分析:一个简单模型[J].中国管理科学,2004,12(3):34-37.

[18]庄新田,王健.非理性信息交易者的羊群行为均衡分析[J].管理学报,2007,4(1):76-80.

[19]宋军,赵烨,吴冲锋.资本市场中的头羊-从羊模型[J].系统工程理论与实践,2003,23(1):1-8.

[20]杨文超,孟庆华.基于信息不对称的羊群行为形成机理研究[J].工业技术经济,2008,27(6):157-159.

[21]刘阳.中国证券市场投资者羊群行为研究[J].当代经济,2011,(4):112-113.

[22]万志华.非对称信息下投资者羊群行为及其对资本市场的影响[D].天津：南开大学，博士毕业论文,2008.

Herd Behavior in Two-Dimensional Signal and Discrete Action Space

WANG Deng-shan CUI Kun

Abstract:This paper is based on the herd behavior due to discrete action space which is discussed in Bikhchandani et al.(1992).We relax the assumption about individual signal,introduce the two-dimensional uncertain signal,and investigate the process and mechanism of herd behavior in two-dimensional signal and discrete action space.The two dimensions of the uncertain signal indicate whether the individual receives a signal or not and whether the signal is true or not.We obtain the definite relationship between the generation of herd behavior and signal parameters by using mathematical modeling.The effect on herd behavior can be analyzed by changing signal parameters through the graph generated in MATLAB.Our result shows that in contrast to Bikhchandani et al.(1992),herd behavior can not arise in two-dimensional signal and discrete action space certainly.The monotone change of the parameter which indicates the probability of receiving a signal has both positive and negative effects on herd behavior.This new finding not only has the role of guidance on individual investment and financial market supervision,but also has the practical significance to maintain fair,orderly,and efficient investment market.

Key words：Two-dimensional signal Discrete action Herd behavior

[中图分类号]F224.0

A

1000-1549(2016)11-0028-11

[收稿日期]2016-06-23

[作者简介]王灯山，男，1980年11月生，中央财经大学中国经济与管理研究院副教授，博士，研究方向为应用数学、数理经济与数理金融；崔琨，男，1990年6月生，中央财经大学中国经济与管理研究院研究生，研究方向为数理金融。

[基金项目]教育部人文社会研究青年基金项目“基于不完全契约理论的PPP模式最优机制设计研究”(项目编号:16YJCZH110)；2015年北京市社会科学基金项目“北京市人口膨胀演变与资源压力趋势预测研究”。

感谢匿名评审人提出的修改建议，笔者已做了相应修改，本文文责自负。

韩 嫄 张安平)