运用数学思想解题例说

翟恩勇

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的一种结果.它是数学中处理问题的基本观点与策略，是对数学基础知识与基本方法本质的概括.掌握数学思想方法，有助于学生提高解决问题的能力.

一、转化思想

转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，通过某种方式与手段将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为易于求解的问题，将未知的问题转化为已知的问题.

例1解方程：x-2x+3-3x-3=1.

解析：解分式方程的基本思想就是转化，即通过去分母把分式方程转化为整式方程求解.去分母，得（x-2）（x-3）-3（x+3）=（x+3）（x-3）.整理，得-8x=-6.解得x=34.检验：当x=34时，（x+3）（x-3）≠0.所以x=34是原方程的解.

二、数形结合思想

数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、以形助数，把数与形结合起来分析问题的一种思想方法.应用数形结合思想解题，可使复杂的问题简单化，抽象的问题直观化.

例2如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.（1）用含x的代数式表示AC+CE的长.（2）点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值.

解析：（3）中要求把（1）（2）中的数与形相结合，然后利用图形特征帮助求解二次根式的最值，起到了化繁为简，化难为易的作用.（1）运用勾股定理，易得AC+CE=（8-x）2+25+x2+1.（2）根据“两点之间，线段最短”的性质可知，当A、C、E三点在同一条直线上时，AC+CE的值最小.（3）如图2，画线段BD=12，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，使AB=3，ED=2，连接AE交BD于点C.AE的长即为代数式x2+4+（12-x）2+9的最小值.过点A作AF∥BD，交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则DF=AB=3，AF=BD=12.所以AE=122+（3+2）2=13， 即x2+4+（12-x）2+9的最小值为13.

三、方程与函数思想

所谓方程思想，是指对所要求解的数学问题，利用已知量和未知量之间的数量关系构建方程（组），通过解方程（组）使问题获解的思维方式. 函数思想，是指运用运动和变化的观点，把问题中的数量关系用函数的形式表示出来，应用函数知识进行分析与研究，使问题获解的思维方法.

例3某超市在“端午节”来临前，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.（1）试求出每天的销售量 y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式.（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

解析：（1）根据题意，得y=700-20（x-45）=-20x+1600.（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000.因为x≥45，a=-20<0，所以当x=60 时，P最大值=8000（元）.即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润最大，最大利润为8000元.（3）由题意，得-20（x-60）2+8000=6000.解这个方程，得x1=50，x2=70.因为抛物线P=-20（x-60）2+8000的开口向下，所以当50≤x≤70 时，每天销售粽子的利润不低于6000 元.又因为x≤58，所以50≤x≤58.因为在y=-20x+1600 中，k=-20<0，所以y 随x的增大而减小.所以当x=58 时，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒.

四、分类讨论思想

当被研究的问题包含多种情况，又不能一概而论时，必须按出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论.这种处理问题的思维方式就是分类讨论思想.分类时不重复、不遗漏，是分类讨论的基本要求.