不确定收益下SBOT项目特许期决策模型研究

吕俊娜　刘伟　邹庆　甘琳

摘要：SBOT（Subsidize in BuildingOperateTransfer）作为一种新的BOT（BuildOperateTransfer）模式，在城市轨道交通项目建设中被推广采用。特许期是SBOT项目特许权协议中的一个关键决策变量。本文利用实物期权和不对称Nash协商理论，提出了一种新的特许期计算方法并依据此方法构建了轨道交通SBOT项目的特许期决策模型，其决策过程分为两步：首先，利用实物期权理论构建了不确定收益下公共部门和私营部门的投资决策模型，求解出特许期的可行域；在此基础上，以特许期为决策变量，结合双边议价机制发展了实物期权模型，构建了特许期的Nash协商模型，并求解出模型的均衡解。最后，对轨道交通SBOT项目特许期决策模型均衡解的性质进行了讨论。

关键词：SBOT项目；特许期；实物期权；Nash协商模型

中图分类号：F294文献标识码：A文章编号10035192（2015）02006006doi：10.11847/fj.34.2.60

1引言

城市轨道交通作为解决交通拥挤问题的有效途径，成为我国重点建设和投资的领域。目前，全国有28个城市的轨道交通项目正在建设中，总投资超万亿元；另有25个城市轨道交通项目近期建设规划获国家发改委批复，总投资规模近8000亿元。然而，城市轨道交通项目资金需求量大，仅靠政府单一投资渠道建设，难以满足城市建设发展的要求，在建轨道交通项目普遍存在资金紧张，建设进度缓慢等问题，如郑州地铁，因资金问题一度全面停工。资金短缺将是制约城市轨道交通发展的最大障碍，实行轨道交通投资渠道和投资主体多元化，鼓励社会资本参与轨道交通投资、建设和经营，将是我国城市轨道交通投融资体制改革的必然趋势。

目前，我国正在积极探索多种方式来拓宽轨道交通建设筹资渠道，其中BOT模式是理论研究的热点。然而轨道交通是一种非营利性基础设施，且投资规模大，不具备市场化经营条件，因此，传统的BOT建设模式在实践中往往难以取得成功。北京地铁四号线建设运用了一种新的BOT模式，即SBOT（Subsidize in BuildingOperateTransfer）模式，所谓SBOT，就是通过政府对城市轨道交通项目部分出资来满足社会投资者的盈利要求[1]。当前，SBOT模式在城市轨道交通建设中已被推广采用，如荷兰高速铁路南线、杭州地铁一号线等均采用SBOT模式建设。特许期是SBOT项目特许权合约安排中的一个关键决策变量。合理的特许期对SBOT项目的成功运作至关重要，这是因为较短的特许期会导致较高的收费机制以及由其引起的风险负担会转移给项目使用者；而对公共部门而言，过长的特许期则会导致政府损失[2]。城市轨道交通项目一般具有投资不可逆、收益不确定以及投资时机可延迟等不确定性特征[3，4]，因此，城市轨道交通SBOT项目合理的特许期计算成为理论研究中亟待解决的重要课题。

城市轨道交通SBOT模式作为一种新的BOT模式，吸引了国内外学者的广泛关注，但是目前对其的研究尚处于探索阶段[5，6]，至今尚未见到对SBOT项目特许期进行定量研究的报道。而现有文献对特许期的定量研究主要集中在传统的BOT项目，如Shen等[7]从公共部门和私营部门双赢的角度，利用NPV方法，构建了BOT项目特许期的BOTCcM决策模型，并求解出特许期的可行域，这一模型为BOT项目特许期的定量研究奠定了基础，但其也有不足之处，后续研究主要从以下两方面进行改进：一是对特许期可行域计算方法的改进，如Shen和Wu[8]在特许期BOTCcM决策模型的基础上，借助蒙特卡洛模拟的方法，建立的风险考虑下的特许期决策模型。Wu等[9]考虑到BOT项目移交时项目的净残值明显大于零，改进了特许期BOTCcM决策模型的第二个即政府投资决策条件。上述文献在传统BOT项目特许期可行域的研究中取得了重大的研究成果，但也存在一定的局限性：（1）在模型的构建中仅考虑了项目的经济效益，并未考虑到项目的社会效益，而城市轨道交通作为一种绿色交通方式具有节能环保、安全舒适、快捷高效等显著的社会效益，因此，在城市轨道交通SBOT项目特许期的定量研究中应该既考虑项目的经济效益同时也要考虑项目的社会效益[9]。（2）主要是采用NPV的方法。然而，在应用NPV方法进行项目投资评估决策时，并未考虑到项目执行过程中的灵活性问题，往往会造成项目价值被低估[10，11]，进而导致项目决策失误。实物期权的发展为衡量投资项目的不确定性价值提供了理论工具，较好地解决了投资项目中的不确定性和管理灵活性问题[12]。基于此，本文采用实物期权的方法构建了城市轨道交通SBOT项目特许期决策模型，并求解出特许期的可行域。二是在特许期可行域基础上，探索最优特许期的计算方法。博弈论是解决BOT项目中公共部门与私营部门利益冲突的重要工具[13，14]，借助博弈论，在特许期可行域可知的情况下，可以得到BOT项目的最优特许期，如Shen等[15]在特许期可行域可知情况下，利用讨价还价理论对特许期BOTCcM决策模型进行了改进和完善，建立了特许期的讨价还价博弈模型，并求解出比容许偏差参数δ小的特许期区间，但是在该模型中，项目投资总成本假定是不变的，而实际谈判中不同的特许期可能会使投资总成本发生变化。鲍海君[16]在总成本可变条件下，从私人投资者的角度，建立了特许期的讨价还价博弈模型，并求解出比容许偏差系数δ小的特许期区间，进一步缩小了特许区间的可行域，但并不能求解出最优特许期。Hanaoka和Palapus[17]在上述文献基础上，利用NPV和讨价还价理论相结合的方法，对菲律宾的交通BOT项目进行了案例研究，首先求解出特许期的可行域，进而求解出比容许偏差系数δ小的特许期区间。为了进一步求解出特许期的具体时点，刘伟等[18]构建了政府往往具有完全讨价还价能力的斯坦科尔伯格博弈特许期决策模型并得到模型的均衡解。但是，斯坦科尔伯格博弈并不完全适合城市轨道交通SBOT项目的特许期决策，这是因为参与轨道交通运营的私营部门往往具有一定的技术垄断优势，在双方的讨价还价中政府并不具备完全的讨价还价能力；而且在斯坦科尔伯格博弈中，公共部门与私营部门双方追求的是自身利润最大化，而不是系统整体利润最大化，会造成社会福利损失，而不对称Nash协商模型则是在双方整体利润最大化的基础上追求个人利润的改善。基于此，本文提出在双方的议价机制中采用不对称Nash协商模型来调节公共部门与私营部门之间的利益冲突。

吕俊娜，等：不确定收益下SBOT项目特许期决策模型研究

Vol.34， No.2预测2015年第2期

综上所述，本文以城市轨道交通SBOT项目为研究对象，在综合考虑项目经济效益和社会效益的基础上，利用实物期权理论，建立了公共部门与私营部门双方投资SBOT项目的特许期决策模型，并求解出特许期的可行域；在此基础上，以特许期为决策变量，结合双边议价机制发展了实物期权模型，构建了基于收益共享、风险共担的特许期Nash协商模型，并求解出最优特许期。研究结论为公共部门和私营部门计算城市轨道交通SBOT项目的最优特许期提供了一种新思路。

2模型

2.1问题描述

假设公共部门计划采用SBOT模式进行城市轨道交通项目融资。双方约定：（1）代表政府的公共部门负责项目A部分的投资，其投资额为I1，私营部门负责B部分的投资，其投资额为I2。（2）公共部门不参与SBOT项目的运营，特许期内，公共部门把属于政府的项目A部分资产通过租赁的形式交由私营部门运营和维护，公共部门获得租金，一来回收投资成本，二来防止私营部门凭借其垄断地位获得超额收益。在特许期T内，政府允许私营部门向SBOT项目使用者收取费用，以便回收投资成本并获得合理利润。（3）在特许期内，公共部门与私营部门双方共担风险、共享收益。具体如图1所示。

2.2基本假设

本文在建模之前，提出以下基本假设：

假设1城市轨道交通项目的投资是不可逆投资，且在项目建设初期一次性投入。

假设2城市轨道交通运营收入的增长具有一定的规律性和相对的稳定性，同时也受随机因素的影响，因此，假定其服从几何布朗运动（GBM）[3]：dYt=αYtdt+σYtdz，其中α为常数，代表运营收入的预期增长率，σ也为常数，代表运营收入的波动程度，dz为维纳过程的增量，服从正态分布，其中E（dz）=0，E（dz）2=dt。

假设3发展城市轨道交通能减少空气污染、节约能源消耗、降低交通事故的成本，有利于促进社会、经济与环境的协调发展，城市轨道交通具有正的外部效益[19～20]，这里用χ来表示，主要包括轨道交通在噪音污染、交通事故和空气污染方面与非轨道交通相比所带来的社会效益。

2.3城市轨道交通SBOT项目的特许期的可行域

如果公共部门拟采用SBOT模式开发城市轨道交通项目，那么项目的A部分将由公共部门投资建设，项目B部分由私营部门投资建设，特许期内公共部门把项目的A部分租赁给私营部门并获得租金收入，但须放弃项目的运营收益，特许期期满后，私营部门再把整个城市轨道交通项目的运营权转让给公共部门，公共部门就可以享有特许期满后项目所带来收入以保障项目的正常运营。我们首先讨论公共部门投资城市轨道交通SBOT项目的最优投资时机问题，根据实物期权理论，这是一个连续时间情形下的最优停止问题，即存在某个投资临界值YP，当Y

VP（Y）=supEY[e-ρτ（∫τ+Tτe-ρ（s-τ）Rds+

∫∞τ+Te-ρ（s-τ）Ysds+∫∞τe-ρ（s-τ）χds-

∫∞τ+Te-ρ（s-τ）vcds-I1）]（1）

其中E表示期望， 项目价值就是投资后收益的期望值，ρ是贴现率，并且ρ>α，令δ=ρ-α， T是特许期，τ是随机进入时间，R是特许期内租金，vc是城市轨道交通项目的运营成本，I1表示公共部门投资额。

根据期权定价理论，公共部门的期权价值F（Y）有方程

12σ2Y2d2FdY2+（ρ-δ）YdFdY-ρF=0（2）

方程有解，其形式为F（Y）=A1Yβ1+A2Yβ2，其中β1，β2是特征方程ρ-β（ρ-δ）-β（β-1）σ2/2=0的根，且β1>1，β2<0（具体证明见文献[12]）。由于F（0）=0，且β2<0，所以，常数A2=0。可知公共部门在t=TP投资，其中TP=inf（t/Y≥YP），其投资SBOT项目的项目价值VP（Y）可以表述为

VP（Y）=Rρ（1-e-δT）+Yδe-δT+χρ-vcρe-δT-I1，Y≥YP

（YYP）β1[Rρ（1-e-δT）+YPδe-δT+χρ-vcρe-δT-I1]，Y

其中

YP=δeδTβ1β1-1[I1+vcρe-δT-Rρ（1-e-δT）-χρ]（4）

β1=12-ρ-δσ2+（ρ-δσ2-12）2+2ρσ2（5）

命题1对于给定的特许期T，存在最优的投资临界值YP，当Y≥YP时，公共部门愿意投资开发城市轨道交通SBOT项目。相反地，对于Y≥YP的Y，对公共部门来说，存在最大可以接受的特许期TM，并且

TM=1δln[（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ）/（I1-Rρ-χρ）]（6）

类似公共部门的分析，私营部门投资城市轨道交通SBOT项目，其项目价值可以表述为

Vπ（Y）=supEY[e-ρτ（∫τ+Tτe-ρ（s-τ）Ysds-

∫τ+Tτe-ρ（s-τ）vcds-∫τ+Tτe-ρ（s-τ）Rds-I2）]

（7）

其中I2表示私营部门投资额，其他参数定义同上。

经计算得，私营部门投资SBOT项目的项目价值Vπ（Y）可以表述为

Vπ（Y）=（Yδ-vcρ-Rρ）（1-e-δT）-I2，Y≥Yπ

（YYπ）β1[（Yπδ-vcρ-Rρ）（1-e-δT）-I2]，Y

其中

Yπ=δ（1-e-δT）-1β1β1-1[I2+vcρ（1-e-δT）+Rρ（1-e-δT）]（9）

命题2对于给定的特许期T，存在最优的投资临界值Yπ，当Y≥Yπ时，私营部门愿意投资开发城市轨道交通SBOT项目。相反地，对于Y≥Yπ的Y，对私营部门来说存在最小可以接受的特许期Tm，并且

Tm=1δln[（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ）/（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ-I2）]（10）

由以上分析可知，公共部门与私营部门投资城市轨道交通SBOT项目，其运营收入Y须同时满足双方的投资条件，由（6）式和（10）式，得命题3。

命题3当Y≥Y*=max{YP，Yπ，Ye}时，公共部门与私营部门愿意投资开发城市轨道交通SBOT项目，且特许期T的可行域是

1δln[（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ）/（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ-I2）]≤

T≤1δln[（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ）/（I1-Rρ-χρ）]（11）

其中Ye=δβ1β1-1（vcρ+I1+I2-χρ）（12）

3特许期的Nash协商模型

对公共部门与私营部门来说，特许期的决策实际上是双方博弈的过程，但是即使双方认知完全相同，双方还必须进行讨价还价博弈的过程，最后确定合理的特许期，从而使得公共部门与私营部门均能从城市轨道交通SBOT项目中得到合理的收益。基于项目参与方具有不同的利益动机，本文采用双边议价机制来解决特许期的决策问题。对于多人利益协商问题，Nash提出多人协商对策的谈判模型，并给出了著名的Nash均衡解[22]。在Nash协商模型基础上，Harsanyi和Selten[23]引入了谈判能力参数，提出了不对称Nash谈判模型，进一步拓展了其应用范围。

在Nash协商过程中，公共部门与私营部门首先要确定各自的谈判起点，这里以（4）式和（9）式作为谈判起点，任何大于YPe-δT/δ的Ye-δT/δ值对公共部门来说，均会产生一个超额收益，用WP（T）表示，则

WP（T）=Yδe-δT-YPδe-δT

=Yδe-δT-β1β1-1[I1+vcρe-δT-Rρ（1-e-δT）-χρ]（13）

任何大于Yπ（1-e-δT）/δ的Y（1-e-δT）/δ对私营部门来说，均会产生一个超额收益，用Wπ（T）表示，则

Wπ（T）=Yδ（1-e-δT）-Yπδ（1-e-δT）

=Yδ（1-e-δT）-β1β1-1·

[I2+vcρ（1-e-δT）+Rρ（1-e-δT）]（14）

综合以上分析，Nash协商模式下的目标函数构建如下

max W1=max{[WP（T）]ω×[Wπ（T）]1-ω}（15）

其中ω∈（0，1）表示公共部门的谈判能力，而1-ω∈（0，1）则表示私营部门的谈判能力。谈判能力ω指公共部门对特许期的决策影响程度。这种程度的大小主要取决于政府对风险的偏好及项目建设的紧迫性等。由于在城市轨道交通SBOT项目特许权协议的签订过程中，公共部门具有主导地位，因而进一步假设ω满足的条件为0.5≤ω≤1。

对W1关于T求导，并令dW1/dT=0得

T*=1δln（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ）/ω（Yδβ1-1β1-vcρ-Rρ-I2）+（1-ω）（I1-Rρ-χρ）（16）

从（16）式可以看出，与城市轨道交通SBOT项目特许期计算相关的参数有：项目总投资I，公共部门的投资比例（I1/I），项目的初始运营收入Y0及其增长率α，不确定性σ，社会效应χ，运营成本vc，贴现率ρ，公共部门的谈判能力ω等，这些参数直接关系到城市轨道交通SBOT项目特许期的决策。在项目实践中，公共部门与私营部门根据上述项目基本参数可以方便地计算出城市轨道交通SBOT项目的最优特许期。

4均衡解的性质与讨论

性质1Y*/σ>0说明在其他参数不变情况下，SBOT项目投资临界值Y*随着波动率σ的增大而增大。

性质1表明了市场不确定性对SBOT项目投资临界值的影响，即随着城市轨道交通SBOT项目运营收入波动率的增大，其投资临界值随之增大，使得项目投资方的等待更有价值，项目投资方倾向于推迟投资。在项目实践中投资方进行城市轨道交通SBOT项目投资时，由于面临各种风险如市场需求风险、政策变动风险等，这时投资方往往投入成本进行项目可行性论证，推迟投资。

性质2当ω<（I1-Rρ-χρ）/（I1+I2-Rρ-χρ）时，T*/σ<0说明在其他参数不变情况下，SBOT项目最优特许期T*随着波动率的增大而减小，当ω>（I1-Rρ-χρ）/（I1+I2-Rρ-χρ）时，T*/σ>0说明在其他参数不变情况下，最优特许期T*随着波动率的增大而增大。

性质3T*/ω<0，T*/I2>0说明在其他参数不变情况下，SBOT项目最优特许期T*随着公共部门谈判能力的增大而减小，随着私营部门投资比例的增大而增大。

性质3表明了公共部门谈判能力及其投资比例对最优特许期的影响，即最优特许期随着公共部门谈判能力的增大而减小，随着私营部门投资比例的增大而增大。这和现实情况是吻合的，即SBOT项目是建立在“风险共担、收益共享”的基础上，项目投资方的利益分配要与其所承担的风险相匹配，随着私营部门风险分担比例及投资比例的增大，其所要求的特许期也随之增大。

5结束语

近年来，城市轨道交通项目采用SBOT模式建设已成为减轻政府财政负担、提高项目运作效率的重要手段，科学的特许权协议安排对于项目的成功运作至关重要。特许期是城市轨道交通SBOT项目特许权协议的一个关键决策变量，本文以城市轨道交通SBOT项目为研究背景，综合考虑项目经济效益和社会效益，构建了不确定收益下公共部门与私营部门基于风险共担、收益共享的特许期决策模型。假定项目运营收入服从几何布朗运动，从合约设计的角度，首先利用实物期权理论建立了收益不确定条件下公共部门与私营部门投资城市轨道交通SBOT项目的特许期决策模型，并求解出特许期的可行域，然后以特许期为决策变量，结合双边议价机制发展了实物期权模型，构建了特许期的Nash协商模型，并求解出模型的均衡解。研究结果表明，利用本文所构建的特许期决策模型，根据项目相关参数，可以方便地求解出城市轨道交通SBOT项目的最优特许期及最优投资时机，为公共部门与私营部门在不确定收益下决策特许期具有一定的理论和实践意义。

参考文献：

[1]蔡蔚.我国城市轨道交通投融资体制演进机理探析[D].上海：同济大学，2007.

[2]Khanzadi M， Nasirzadeh F， Alipour M. Integrating system dynamics and fuzzy logic modeling to determine concession period in BOT projects[J]. Automation in Construction， 2012， 22： 368376.

[3]高咏玲，杨浩，孙强.城市轨道交通项目建设时机选择的实物期权随机变量模型[J].铁道学报，2008，30（6）：1318.

[4]唐文彬，张飞涟，马超群.基于模糊实物期权的城市轨道交通项目投资价值[J].系统工程，2011，29（12）：110115.

[5]De Jong M， Mu R， Stead D， et al.. Introducing publicprivate partnerships for metropolitan subways in China： what is the evidence[J]. Journal of Transport Geography， 2010， 18（2）： 301313.

[6]Phang S Y. Urban rail transit PPPs： survey and risk assessment of recent strategies[J]. Transport Policy， 2007， 14（3）： 214231.

[7]Shen L Y， Li H， Li Q M. Alternative concession model for build operate transfer contract projects[J]. Journal of Construction Engineering and Management， 2002， 128（4）： 326330.

[8]Shen L Y， Wu Y Z. Risk concession model for build operate transfer contract projects[J]. Journal of Construction Engineering and Management， 2005， 131（2）： 211220.

[9]Wu M， Chau K W， Shen Q P， et al.. Net asset valuebased concession duration model for BOT contracts[J]. Journal of Construction Engineering and Management， 2012， 138（2）： 304308.

[10]Garvin M J， Cheah C Y J. Valuation techniques for infrastructure investment decisions[J]. Construction Management and Economics， 2004， 22（4）： 373383.

[11]Doan P， Menyah K. Impact of irreversibility and uncertainty on the timing of infrastructure projects[J]. Journal of Construction Engineering and Management， 2013， 139（3）： 331338.

[12]Dixit A， Pindyck R S. Investment under uncertainty[M]. Princeton： Princeton University Press， 1994.

[13]吴孝灵，周晶，洪巍. 基于有效运营期的BOT项目特许权期决策模型[J].系统工程学报，2011，26（3）：373378.

[14]王东波，宋金波，戴大双，等. 弹性需求下交通BOT项目特许期决策[J].管理工程学报，2011，25（3）：116122.

[15]Shen L Y， Bao H J， Wu Y Z. Using bargaininggame theory for negotiating concession period for BOTtype contract[J]. Journal of Construction Engineering and Management， 2007， 133（5）： 385392.

[16]鲍海君.基础设施BOT项目特许权期决策的动态博弈模型[J].管理工程学报，2009，23（4）：139141.

[17]Hanaoka S， Palapus H P. Reasonable concession period for buildoperatetransfer road projects in the philippines[J]. International Journal of Project Management， 2012， 30（8）： 938949.

[18]刘伟，吕俊娜，邹庆.收益不确定下交通BOT项目特许期决策模型[J].系统工程，2012，30（12）：5156.

[19]Li W X， Yin S. Analysis on cost of urban rail transit[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology， 2012， 12（2）： 914.

[20]陈进杰.地铁次优定价模型研究[J].北京工业大学学报，2011，37（11）：16441649.

[21]Peskir G， Shiryaev A. Optimal stopping and free boundary problems. Lectures in Mathematics Eth Zurich[M]. Verlag， London and New York， 2006.

[22]Nash J. Noncooperative games[J]. Annals of Mathematics， 1951， 54（2）： 286295.

[23]Harsanyi J C， Selten R. A generalized nash bargaining solution for twoperson bargaining games with incomplete information[J]. Management Science， 1972， 18（5）： 80106.