蔡氏对偶电路的建模及仿真研究

尚广超，潘 峰

（太原科技大学电子信息工程学院，太原030024）



蔡氏对偶电路的建模及仿真研究

尚广超，潘 峰

（太原科技大学电子信息工程学院，太原030024）

摘 要：蔡氏对偶电路与典型的混沌电路蔡氏电路在结构上完全对偶，且电路元器件较少，是一种自治混沌电路。首先针对蔡氏对偶电路进行深入的理论研究，得出蔡氏对偶混沌电路的非线性动态方程，以此为基础运用simulink仿真建立蔡氏对偶混沌电路的可视化模型，并选取不同的参数对电路的各种混沌状态进行研究。

关键词：蔡氏对偶电路；混沌现象；simulink仿真

21世纪所处的是一个“后牛顿时代”，它为人类带来又一轮新的自然观，混沌的出现狠狠地推了人们一把，人类自然科学的脚步已经迈入了后牛顿时代。正如自然界里普遍存在着不同类型的混沌运动一样，日常熟悉的电子线路中也普遍存在着各种各样的混沌现象［1］。随着物理学、数学、气象学、生态学、军事学、经济学等领域的混沌科学的快速发展，陆续出现了许多著名而优秀的混沌微分方程，而且这些方程能够比较容易地通过电子电路而得以实现［2］。最近几年，随着混沌有关的研究越来越多，我们所掌握的混沌动力学的内容也越来越丰富，涉及到混沌的研究领域以及混沌的应用也越来越广泛［3］。非线性电路是混沌理论、混沌同步及混沌控制应用研究的重要内容之一，蔡氏对偶混沌电路具有结构简单，电路元器件少等优点，是一个典型的非线性电路，同时只需要改动电路中一个元件的参数，就能产生不同类型的混沌现象，但是有关此电路的研究一直不是太多。本文先对此电路进行深入的理论分析，并建立数学模型，然后在数学模型的基础上，利用simulink仿真平台对其建立可视化模型，并对电路在不同参数下的几种混沌状态进行仿真研究。

1 理论分析

蔡氏对偶电路在电路结构上和蔡氏电路完全对偶，是在蔡氏电路基础上改进而成的，其电路结构如图1所示，其中Ur是一个流控型的非线性电阻元件，其非线性电阻元件伏安特性（Ur= r（i2））如图2所示［4］。由图1可以看出，蔡氏对偶电路由线性电阻、电感、电容和一个非线性电阻原件组成，它满足混沌电路的产生条件：

1）线性有效电阻不少于1个；

2）储能元件不少于3个；

3）非线性元件不少于1个。

蔡氏对偶混沌电路是一个三阶自治非线性电路，自治蔡氏混沌电路的运动轨道是无穷多周期轨道。

图1 蔡氏对偶电路Fig.1 Chua′s dual circuit

图2 非线性电阻伏安特性Fig.2 Nonlinear resistance volt-ampere characteristic

根据图1所示的电路可得出蔡氏对偶电路的状态方程为：

对式（1）整理可得：

为了方便分析，对方程（2）进行变量代换处理。令x = i2，y = i，z =，t =）τ，dτ=dt，则可得：

从方程组（4）可以观察出，由蔡氏对偶电路得到的三个状态方程式与经典蔡氏电路的动态方程具有高度的一致性［5］。

2 Simulink仿真模型的建立及仿真研究

Simulink是matlab软件中的一部分，由于其操作方便功能强大的特点，从而在线性系统、非线性系统、数字信号处理及数字控制的建模和仿真领域得到广泛的应用［6］。Simulink中有蔡氏对偶混沌电路建模所需的各个仿真模块，以此为基础可以很方便的对电路进行仿真模型的搭建，同时能够在模型的基础上修改其中的一些参数，进一步观察电路在这些参数下产生的各种仿真结果。

2.1 建立可视化仿真模型

图3 方程组（4）的三个分方程及g（x）的仿真图Fig.3 The simulation diagram of equation（4）′s three small equation and g（x）

从方程组（4）可以看出，在对蔡氏对偶混沌电路进行建模过程中，要用到常数模块、增益模块、积分器、加法器等单元，这些模块可以从Simulink标准模块库中很方便地直接提取到。除上述几种模块外，根据蔡氏对偶混沌电路的电路结构，还选用了示波器和显示x和y信号相图的平面图形显示器模块。然后，将方程组（4）中各个方程按照运算功能进行一定方法的分解，结合simulink模块库中的加、乘、积分模块，按照方程组（4）中的运算关系构建出3个方程及g（x）的仿真图，接着将x方程、y方程、z方程以及g（x）封装成为四个子系统，如图3所示。最后，把封装好的子系统按方程组（4）中的关系连接起来，得到用基本模块元素建立的数字仿真模型，如图4所示。

图4 蔡氏对偶混沌电路的simulink模型Fig.4 The simulink model of Chua′s dual chaotic circuit

2.2 电路在不同参数下的仿真研究

利用四阶“龙格库塔”算法对电路的参数进行计算，“龙格库塔”算法是一种“高精度单步算法”，其一般公式为：

该算法算后所得结果具有四阶精度，可以满足仿真需要，而且编程比较简便，仿真结果可以利用Scope模块和XY Graph模块在仿真进行的过程中观看［7］。

根据运算所得结果，对蔡氏对偶电路的参数进行设置，然后根据混沌运动的特点进行调整，并观察记录各种混沌状态仿真所得结果：

1）当a =9.000 5，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系统进入双涡卷混沌状态，其相图和时序图如图5所示。

2）当a =8.149 1，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系统进入单涡卷混沌状态，其相图和时序图如图6所示。

3）当a =7.386 3，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系统进入多倍周期状态，其相图和时序图如图7所示。

图5 双涡卷混沌状态的时序图和相图Fig.5 The sequence diagram and phase diagram of double turbination chaotic status

图6 单涡卷混沌状态的时序图和相图Fig.6 The sequence diagram and phase diagram of single turbination chaotic status

图7 多倍周期状态的时序图和相图Fig.7 The sequence diagram and phase diagram of multiple period status

4）当a =7.105 5，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系统进入单倍周期状态，其相图和时序图如图8所示。

图8 单倍周期状态的时序图和相图Fig.8 The sequence diagram and phase diagram of single period status

5）当a =5.935 4，b = -14.283 1，a1 = -1.248 05，b1 = -0.756 35，系统处于稳定状态，其相图和时序图如图9所示。

图9 稳定状态的时序图和相图Fig.9 The sequence diagram and phase diagram of a steady status

通过上述可知，利用Simulink仿真对蔡氏对偶混沌电路建模仿真后，可以通过调节参数，直观地观察到系统处于各种状态下的相图和时序图，进一步认识到电路在不同参数下的各种非线性现象，认识到混沌对初始参数的敏感性与依赖性以及混沌长期行为的不可预见性。同时蔡氏对偶混沌电路作为一种典型的三元自治混沌电路，本次仿真研究再次证明了三元自治混沌电路所描述的一些混沌特性，进一步正确的揭示了大自然中的一些工程物理现象的非线性机理，同时复现了蔡氏混沌电路的非线性动态方程，也是对自然界的这些工程物理现象的非线性机理的一种复现。

3 结论与分析

本文通过对蔡氏对偶混沌电路的理论研究，认识到蔡氏对偶混沌电路是一个结构非常简单而又可靠的混沌电路，其与蔡氏电路具有一样的非线性动态方程，同时其电路结构与蔡氏混沌电路是完全对偶的；通过对混沌电路simulink建模仿真的研究可以观察到，改变电路参数和初始值，蔡氏对偶电路在仿真过程中呈现出了多种多样的混沌动力学行为，在混沌振荡过程中出现了与蔡氏电路同样的单涡旋混沌及双涡旋混沌现象等。

本文研究的混沌电路是由蔡氏电路延伸出的另一种典型混沌电路，蔡氏混沌电路已经得到了广泛而深入的研究，取得了许多重要成果，已进入实用阶段，而有关蔡氏对偶混沌电路的研究不多，加紧对这个具有典型电路结构的新型混沌电路的研究，一定能促进混沌相关理论的研究与发展，因此可以把蔡氏对偶混沌电路当做混沌电路家族里除了蔡氏电路之外的另一个典型三元自治混沌电路进行研究。

参考文献：

［1］ 张新国，马义德，李守亮.非线性电路：基础分析与设计［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］ 程尊水，辛友明，邢建民，等.一种新的超混沌Lorenz系统［J］.科学技术与工程，2009（8）：2134-2136.

［3］ 苏嘉梁，潘峰，刘勇平.BOOST变换器不连续导通模式下的混沌现象分析［J］.太原科技大学学报，2015，36（5）：347-353.

［4］ 李明，于艳春，李冠成，等.混沌理论及现象实验仪的研制［J］.实验技术与管理，2005，22（1）：59- 64.

［5］ 丁硕，张放，巫庆辉.基于MATLAB/ Simulink的正弦稳态电路建模与仿真［J］.国外电子测量技术，2015（4）：68-72.

［6］ 刘崇新.蔡氏对偶混沌电路分析［J］.物理学报，2002，51（6）：1198-1202.

［7］ MAYSOON M AZIZ，MANSOUR N fARAJ.Numerical and Chaotic Analysis of CHUA′S CIRCUT［J］.Journal of Emerging Trends in Computing and Information Sciences，2012（1）：3-5.

Modeling of Chua′s Dual Circuit and Simulation

SHANG Guang-chao，PAN Feng
（Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China）

Abstract：Chua′s dual circuit and typical Chua's chaotic circuit are completely dual in structure.Furthermore，the former's circuit components are less，which is a kind of autonomous chaotic circuit.This paper has done a deeply study on Chua′s dual circuit from which the non-linear dynamic equations of Chua′s chaotic circuit was got.Based on the result，a visualization model of Chua's dual chaotic circuit was established，and different parameters were chosen to study the different chaotic states of circuit.

Key words：Chua′s dual circuit，chaotic phenomenon，simulink simulation

中图分类号：TM132

文献标志码：A

doi：10.3969/ j.issn.1673 -2057.2016.03.004

收稿日期：2015-09-10

作者简介：尚广超（1991 -），男，硕士研究生，主要研究方向为电力电子与电力传动。

文章编号：1673 -2057（2016）03 -0181 -05