数形结合巧解题

高思梅

【摘要】本课探究的是一道与图形面积有关的问题，看似简单，在分析问题、解决问题的过程中却引发了学生热烈的讨论，让学生深深的体会到了数形结合的妙处.

【关键词】数形结合；图形面积；代数式的值

几何直观是《数学课程标准（2011版）》中的10个核心概念之一，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力.事实上，很多重要的数学内容都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好的理解它们、掌握它们的本质意义，并使这些内容变得更容易使学生接受并运用它们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是常说的“数形结合”.

一、题目分析

题目：（如图）用4个相同的小矩形与一个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为16，若用x，y表示小矩形的两边长，则x2+y2=

条件分析，以“形”变“数”

本题所给的条件为图形的面积，而要求解的却是代数式的值.为解决此题，需留心观察图形的特点，分析题中的条件，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.

为了让学生体验“形”变“数”的过程，教师只将题目条件呈现出来，隐去了要求解的式子，提出一个更加开放的问题：请大家观察图形，你是怎样分析题目条件的？

学生1：题中有两个条件，由正方形的面积计算公式我可以得到两个式子

条件1：大正方形的面积为49

转化成（x+y）2=49.

条件2：小正方形的面积为16

转化成（x-y）2=16.

教师：很好.学生1对两个条件分别进行了分析，得到了关于x，y的两个等式.还有不一样的想法吗？

学生2：由大正方形的面积为49可知大正方形的边长为7，所以 x+y=7，由小正方形的面积为16，可知小正方形的边长为4，所以x-y=4.

教师：同学们分析得很到位，我们还能再仔细观察图形的结构，进行分析吗？

学生3：我发现小正方形的面积+4个小矩形的面积=大正方形的面积，所以，16+4xy=49 .那么，xy=8.25

教师：学生3巧妙的利用图形的特点得到了上面这个等式.那么，题中的条件是怎样被这几名同学“变脸”的？分析得到的结论有什么共同点？哪名同学能够讲讲？

学生4：两个条件都是正方形的面积，分析得到的结论都是等式！

教师：没错，同学们的回答正好说出了解决原问题的关键，图形面积的条件都被同学们“变”成了代数式，那么这道题要我们解决的究竟是什么问题呢？请看：x2+y2=.要求的正好就是一个代数式的值，现在我们能解决这个问题了吗？

在教师的引导点拨下，学生从不同角度单纯的对条件进行分析思维反而更放得开，感受到数形“不分家”，并且自然地引出了题中的问题.

二、解法呈现

1.利用二元一次方程组求解

（学生思考）有了前面的基础，更多的同学想到的是直接利用二元一次方程组求解.以下是学生5的展示：由前面分析条件可知，两个正方形的边长分别为7和4，从而列出关于x，y的二元一次方程組，解方程组就可以求出x，y的值，再求出x2+y2.

教师：学生6对完全平方公式掌握得很熟练，选择了对比两个代数式的结构特点，直接将两个完全平方式相加.他将要求值的式子x2+y2看成了一个整体进行运算，非常好！

3.以“形”助“数”，利用图形面积求解

（1）教师：同学们利用完全平方公式和二元一次方程组顺利地求出了x2+y2的值，请同学们再深入地思考，题中的图形还能在解题过程中再助我们一臂之力吗？

短暂的停顿过后，又是几分钟的思考，学生再次将手高高举起.

学生9：如图，连接大正方形的对角线，易知右下角划斜线的三角形与左上角划线部分的三角形是全等的.将右下角三角形部分的面积“移”到左上角.这样，x2+y2的值就转化成了大正方形面积的一半与小正方形面积一半的和.

所以，x2+y2=12×49+12×16=32.5.

教师小结：这名同学采用了图形割补的办法，这也是解决图形面积问题，尤其是不规则图形面积的一种常用方法.同学们在这节课中很好地结合了“形”与“数”，这就是解决本题的关键，所以在我们的共同探索下，得到了那么多不同的解法.

三、一点体会

图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果.总之，图形可以帮助我们把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单.

在本题中，正确地把图形数字化，将题目所给的图形语言转化成与x，y有关的代数式，以“形”变“数”，有助于我们利用代数式的变形等进行定量的计算.

“形”有形象直观的特点，将题中所求的代数式x2+y2的值转化为图形语言的话，利用图形的直观性帮助求解，以“形”助“数”，能进一步拓宽这道题的解题途径.

总之，这道题的解答正好印证了一句话：数形结合百般好，隔裂分家万事难.

【参考文献】

[1]任晏娇.浅谈初中生数形结合能力的培养.[J].考试周刊.2015（2）.

[2]陈金堆.数形结合思想在初中数学教学中的渗透.[J].课程教育研究.2015（15）.

[3]闫玉叶.谈初中“数形结合”思想在函数中的运用策略[J].数理化解题研究：初中版.2012（11）.