直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧

凌敏华

【摘要】解析几何在高考数学试卷总分中占比在20%左右，其中的直线与圆锥曲线又是解析几何主要内容及重点考察点.直线与圆锥曲线题型多样，综合性强.解题方法灵活，常常是高考试卷的压轴题.这部分知识题型能够较好地考查学生对于基础知识掌握程度，也能够反映出学生对数学思想方法及综合解决问题的能力，要求学生具备较扎实基础知识及较强综合能力.本文将重点分析下直线与圆锥曲线中常见题型，并给出相应解题技巧，使学生更好地备战高考数学.

【关键词】直线；圆锥曲线；常见题型；解题技巧

与圆锥曲线高中解析几何的核心内容及研究对象，学生通过学习圆锥曲线，能够逐渐培养起自己的数形结合思想及解决实际问题能力，这部分知识内容在历年高考试题中都占据较大分值，圆锥曲线常常与直线结合共同出题考查学生知识、解题技巧，考察形式丰富多样，但是大致上能分为几种，下面我们就先来分析下直线与圆锥曲线知识点的考查特点.

一、直线与圆锥曲线知识点的考查特点

（一）基本性质问题

高中数学教材将圆锥曲线性质总结归纳为以下内容：圆锥曲线对称性、范围、离心率及顶点等等，考查圆锥曲线基本性质就各个知识点间联系时常常表现出以下特点：圆锥曲线定义与焦半径、离心率结合；参数值与离心率结合；参数值与渐近线结合；参数值与准线间结合.

（二）曲线方程与轨迹问题

解析几何体系内部各个知识点之间錯综复杂的关系，使得学生不能较清晰的理解并系统的掌握其知识体系，求多动点轨迹方程这类问题是解析几何中数学的重点和难点，这类问题中有时不只含有一个的主动点或者从动点，动中有静，因此求轨迹方程只要挖掘已知条件，将动点满足的规律找出来，并将规律用动点的坐标表示或成等式即可.

圆锥曲线解答题中出现频率最高的是方程与轨迹问题，而且常常放在大题第一问，一些设问一句曲线原本具有性质来求解曲线方程，或者是根据已知条件求曲线参数值；也有一些解答题依据平面动点运动规律与满足条件求轨迹方程，这两者都是求圆锥曲线方程，属于一类.除了圆锥曲线方程及参数值类型题目之外，主要还有以下几种题目类型：两种曲线交汇、以焦点弦、切线为条件、以平面图形周长或面积为条件等等.圆锥曲线轨迹问题中，轨迹生成方式基本上有三种：将圆锥曲线定义及性质作为出发点、将其他曲线作为运动载体及将向量关系作为条件.

（三）定值及定点问题

这部分问题主要是从圆锥曲线的一些性质得出的，涉及直线与圆锥曲线位置关系、两直线位置关系、及点与圆锥曲线位置关系等等.新课程改革实施之后，高考越来越重视考查学生的综合能力，圆锥曲线的定点、定值问题是考查其综合能力的重要途径，这些试题具有解法多样、整体思路令人深思等特点，成为高考热门话题，结合近几年高考试题，这类问题大致能分成以下四种形式：曲线过定点或点在曲线上、角或斜率是定值、多个几何量运算结果是定值、及直线过某定点或点在某定直线上.

（四）最值及值域问题

圆锥曲线中典型问题就是最值及值域问题，而且这部分问题常常与函数、不等式、向量及导数等知识进行交汇，在考查学生分析问题、解决问题能力方面具有重要作用.分析近几年来高考，对这部分问题考查主要有这五种试题类型：距离或长度最值、面积最值、多个几何量运算结果最值、斜率范围及最值条件下的参数值.

二、直线与圆锥曲线常见解题思想方法

直线与圆锥曲线常见解题思想方法有两种：几何法与代数法，下面将具体分析下这两种解题思想方法.

（一）几何法

几何法解决数学问题主要运用了数形结合思想，结合圆锥曲线定义、图形、性质等题目中已知条件转化成平面几何图形，并使用平面几何有关基本知识例如两点间线段最短、点到直线垂线段最短等来巧妙地解题.

（二）代数法

代数法主要是依据已知条件来构建目标函数，将其转化成函数最值问题，再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.

三、直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析

（一）题型一：弦的垂直平分线问题

解题技巧及规律：题干中给出直线与曲线M过点S（-1，0）相交于A，B两点，分析直线存在斜率并且不等于0，然后设直线方程，列出方程组，消元，对一元二次方程进行分析，分析判别式，并使用韦达定理，得出弦中点坐标，再结合垂直及中点，列出垂直平分线方程，求出N点坐标，最后结合正三角形性质：中线长是边长的32倍，使用弦长公式求出弦长.

（二）题型二：动弦过定点问题

解题技巧及规律：第一问是使用待定系数法求轨迹方程；第二问中，已知点A1、A2的坐标，因此可以设直线PA1、PA2方程，直线PA1与椭圆交点是A1（-2，0）和M，结合韦达定理，能求出点M坐标，同理求出点N坐标.动点P在直线L：x=t（t>2）上，这样就能知道点P横坐标，根据直线PA1，PA2方程求出点P纵坐标，得出两条直线斜率关系，通过计算出M，N点坐标，求出直线MN方程，代入交点坐标，如果解出是t>2，就可以了，否则不存在.

四、结 语

在历年的高考数学试卷中，圆锥曲线题目不仅分值一直保持稳定，而且题型多样，方法灵活，综合性强，常被安排在试卷的最后作为把关题或压轴题.圆锥曲线的最值问题是解析几何重点出题之一.它涉及知识面广，常用到函数、不等式、三角函数等重点知识，而且其考查方法灵活多样.圆锥曲线最值问题不仅能考查学生对基础知识的掌握程度，又能体现学生灵活运用数学思想和方法综合解决问题的能力，所以是数学学习中的一项重点.

圆锥曲线作为高中数学解析几何的重要知识点，其中蕴含着重要丰富的数学思想方法，解析几何基本思想是使用几何方法解决问题，也就是数形结合思想，所有的数学试题都不能离开形只谈抽象数或者是研究图.另外一种解决问题的数学思想方法是代数方法，主要是依据已知条件来构建目标函数，将其转化成函数最值问题，再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.本文在归纳总结直线与圆锥曲线知识点的考查特点基础上，结合使用相应数学思想方法，给出直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析，为学生解答此类题提供方法借鉴.

【参考文献】

[1]钱坤.新课改背景下圆锥曲线高考试题的考查特点分析[D].赣南师范学院，2013.

[2]陈发志，蔡小雄，张金良.2011年高考数学试题分类解析（十）——圆锥曲线与方程[J].中国数学教育，2011，Z4：79-85.