数形结合的思想在高中数学课堂中的实施

代德全 盘如春

【摘要】中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示.另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.笔者从事高中数学教学多年，下面就谈谈我对数形结合思想的一些见解.

【关键词】数形结合；高中教学；实例应用

【基金项目】本文为重庆市教育学会第八届（2015-2017年）基础教育科研立项课题（重点课题）“高中数学教学中问题呈现的直观化对学生思维的影响”（课题批准号：XH2015A15）系列论文之一.

一、“数形结合”思想方法概述

（一）数形结合思想方法

中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.“数”与“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系有形象和直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确描述.那么“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，著名数学家华罗庚说过：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离.”这首小诗形象、生动、深刻的指明了数形结合的价值，也揭示了数形结合的本质.

（二）数形结合思想的价值

数形结合这种思维方法的应用，有助于我们解决许多问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.

通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛、更深入了，研究的对象也更宽泛，方法更一般化了.其次是为代数问题提供了几何直观.由于代数借用了几何的术语，运用了与几何类比而获得新的生命力，如线性代数正是借用了几何学中的空间、线性等概念，用类比的方法把自己充实起来而迅速发展的.代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合、相互促进，使我们加深了对数量关系与空间形式的认识.数形结合把点与数、曲线与方程之间建立一一对应的思考方法，启发我们将方程视为点，把某类函数的全体视作空间.形成了一种联想的思维方式，拓展了我们思维的广度与深度.

（三）“数形结合”思想方法在中学教学中的地位

1.从新课程对“四基”的要求来看数形结合思想

四基是基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.教师应帮助学生领会数学思想方法、掌握知识与技能，积累经验.数学知识之间是相互联系的，数学核心概念、基本思想始终贯穿于中学教学.由于数学高度抽象性，新课标把数形结合思想作为中学数学的重要思想.

2.从新课标对思维能力的要求来看数形结合思想

数形结合思想能帮助学生思维意识的提升.通过数形有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，让学生抽象思维具体化，初步形成辩证思维能力，同时帮助学生多角度、多层次思考问题.

3.从新课标数学内容的特点来看数形结合思想

数学过于抽象、过于形式化、过于符号化给人产生遥远的距离感.再加上它曲折奥妙的逻辑推理造成学生认知上的特殊难度.可是通过数形结合思想可以形象直观的揭示问题的本质，减轻学习的负担，引发学生对数学的兴趣.

4.从教与学的现状来看数形结合思想

数形结合思想方法已深入中学解题功能，但在实际教育中还未真正落实到位，主要表现在数形结合思想方法的教育目标不够明确，课堂教学随意性，盲目性大，而计划性、系统性、有序性、层次性、过程性则显得不足.造成学生用数形结合思想方法来分析解决问题能力太差.因此，在教学中如何充分发挥数形结合思想的作用，重视数形结合方法的运用，是一个值得研究的课题.

二、数形结合在高中数学教学中的体现

在高中数学教材中，许多数式与方程都有几何意义，许多图形又都可以用数式与方程表示，这种对应关系是相互联系密不可分的.如：

（1）实数对（a，b）与平面内的点（a，b）对应.

（2）方程y=kx+b的几何意义是直角坐标平面上的一条直线，其中数k的几何意义是斜率，即直线倾斜角的正切值；数b的几何意义是直线在y轴上的截距.

（3）函数与图像的对应关系：如：二次函数对应抛物线；三角函数对应正弦曲线等等.

三、部分案例分析

（一）利用数形结合思想解决最值、值域问题

利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题.特别是一些三角函数的题目.

应用数形结合解题时要注意以下两点：其一数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题必须是等价的；其二，利用“数”的精确性和“形”的直觀性.总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是片面的.教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质.

【参考文献】

[1]王后雄.教材完全解读（人教版）[M].北京：接力出版社，2009-05.

[2]乔家瑞.高中数学解题方法与技巧（第一版）[M].北京：首都师范大学出版社，2008.

[3]朱华伟，钱展望.走进教育数学：数学解题策略[M].北京：科学出版社，2009-08-01.