n阶行列式的解法技巧

张媛 王一迪

【摘要】n阶行列式的计算是高等代数和线性代数中的基本问题，也是重要问题.现整理出几种常用的解题方法，促进学习.

【关键词】n阶行列式的解法；降阶法；遞推法；加边法；范德蒙行列式

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的，行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广.行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数.

行列式的计算是高等代数和线性代数中的基本问题，也是重要问题.由于n阶行列式计算的技巧性较强，所以其计算也是学习中的难点.现结合本人的实际学习体会和实际教学经验，总结出以下几种方法.

1.定义法

利用n阶行列式的定义计算.

3.化三角形法

能够利用三角形行列式来计算的行列式的特点是：有很多相同的元素，利用行列式的性质进行线性运算的时候可以出现很多的0元素，进而化为上（下）三角形来计算.

4.递推法

能使用递推法的n阶行列式，一般按某一行（列）展开后，可以得到与原行列式类型相同的低阶行列式，这样就可以得到Dn与Dn-1的递推关系式进行运算，两条线型行列式用此法比较便捷.

5.间接递推法

8.加边法（升阶法）

其原理是：利用行列式展开的性质，把n阶行列式通过加行（列）变成与之相等的n+1阶行列式，利用行列式的性质，把添加进去的行（列）适当的倍数加到其他行（列），使其他行列出现更多的零元素或者化成箭头型行列式，再进行计算[4].

加边法适用于除对角元外，其余元素几乎相同或者成比例的行列式，或者是各个行（列）所加数的规律比较明显或相同的行列式.

9.范德蒙行列式法

遇到具有逐行（列）元素方幂递增或者递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式，并利用相应的结果进行解题.

运用行列式的性质进行计算更是常用方法，此外，还有析因子法，数学归纳法等方法，不同的题目适合不同的方法，需因题而异.很多情况下，一道题目，可能有很多种解法，那选择哪种方法都是可以的.我们只需要选择我们善于使用的方法或者是一种更为简单的方法来解决即可.

N阶行列式，虽然是高等代数中的一个难点，但其方法和技巧却比较好理解和使用，只要我们在做题过程中善于发现其规律和特点，就能选择合适的方法来解决N阶行列式的相关题目，就会化难为易，轻松解决基本知识.