直线过定点方法值得推广

张前晟

直线方程的求法是直线与直线方程这节课的重点，而直线过定点问题则是难点。文献[1]、[2]中对其应用做了总结。两文中都提到了这一方法在直线与圆相交时，求解直线方程的应用。最近，笔者在学生课堂探究的过程中对直线过定点方法有了一些收获与思考，愿与同行分享。

[题目]例1.设：直线l的方程为若l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程。

分析：这是一道典型的直线方程求解问题，核心是利用题目中所给的等量关系待定出字母k的值。

令x=0时，y=k-2;令y=0时，

截距相等，则解得：k1=0或k2=2

∴l的方程为x+y+2=0或3x+y=0

[探究]这种方法很常规，同学们也很容易想到，最后转化为解方程的问题不难处理。另一方面，解析几何与平面几何联系紧密。一般的，含有字母的直线方程都表示一个直线系，从几何角度上看隐含着一个定点，即谓定点问题。于是，笔者就地取材，出变式如下：

[变式]设：直线l的方程为，则直线必过定点（1，-3）。

用代数方法研究几何问题是解析几何的基本方法，反之根据代数式探究其几何意义却少有训练。笔者本想借用变式的几何意义给同学们加以强化，此时便有学生对上述题目提出了新的解法。

解法二：由题意知，直线过定点（1，-3），因此题目可以转化为：已知直线l过点（1，-3）且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。我们可以用待定系数法求解：

①直线的截距为0时，设直线的方程为y=kx，将点（1，-3）代入得k=-3

∴直线l的方程为y=-3x，即3x+y=0

②直线截距不为0时，设直线的方程为：将点（1，-3）代入可求得a=-2

∴直线l的方程为x+y+2=0

综上，l的方程为x+y+2=0或3x+y=0

对直线过定点方法又有同学稍加改变，从斜率方面考虑形成另一种解法。

解法三：分情况讨论，

②直線的截距为0时，同解法二;

③直线的截距不为0时，设直线与x，y轴分别交于点（a，0）和（0，a），则：（a≠0）

∴直线l的方程为y+3=-（x-1），即x+y+2=0。

[推广]学生各抒己见的活跃气氛使笔者产生好奇，直线过定点方法在已知截距关系求直线方程中是不是一般意义都成立呢？为此，我们进一步进行探究。

例2.设：直线l的方程为（4n+3m）x+（2n-m）y-n+3m=0（m，n∈R）若l在两坐标轴上截距之和为2，求直线l的方程。

解法一：由题得：直线的截距之和为2，则

解得：n1=0或n2=-2m

∴l的方程为3x-y+3=0或x+y-1=0

解法二：整理直线方程为：n（4x+2y-1）+m（3x-y+3）=0即直线过定点。

由题意可设：直线的方程为;将点带入有，a=±1。

∴l的方程为3x-y+3=0或x+y-1=0

例3.设：直线l的方程为若l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程。

解法一：由题得：直线的截距相等，则

化简得：解得：m=2∴l的方程为x+2y=0

解法二：整理直线方程为：即直线过定点（-2，1）

①直线的截距为0时，设直线的方程为y=kx将点（-2，1）带入则，

∴直线l的方程为x+2y=0

②直线的截距不为0时，设直线的方程为将点（-2，1）带入则，a=-1

∴直线l的方程为x+y+1=0

综上，l的方程为x+y+1=0或x+2y=0

[反思]在例1与例2中用基本方法和过定点方法获得的答案一致，最后例3中两种解法却产生了差异。显然解法一由题设出发，最终解方程得到结果，这个答案最为准确。解法二虽然由已知条件得到了定点，而直线需要一点加一斜率才可确定。问题恰恰出在了斜率的取值范围上。

检验：由l的方程有：。

由m与k的图像（如下图）可知，当k=-1

时取不到，所以情况二答案应舍去。

图1

[小结]由上述讨论我们可以看出，在以上的一

类题目中，用已知条件中的等量关系得到方程求解是通用方法。不论题目变到多么复杂该方法均可得到正确答案，难度来源于解方程的运算技巧。

对形如等参数为1次的直线系方程，因为斜率k的范围无限制，所以两类方法都没有限制，过定点方法比基本方法计算量相当或稍小。而在一些复杂的直线系方程中，除了隐含有定点之外，还有斜率范围的限制，需考虑全面。计算量和难度都比基本方法要大。

参考文献

[1]邓昌骥.直线过定点的判断和应用[J].数学教学通讯，2002（12）

[2]袁拥军.巧用直线过定点的方法解题[J].数学大世界（高中生数学辅导版），2005（10）：17-18