如何处理绝对值问题

常杰

绝对值是中学数学中一个非常重要的概念，它的应用十分广泛。含有绝对值符号的问题也是学生升入初中以来遇到的第一个学习障碍。那么怎样解决绝对值问题呢？本文列举几个常用的方法：

一、理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性

（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

（2）代数意义：①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零。

也可以写成：

说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数;

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

1、绝对值非负性：

非负数之和为零、则绝对值内每一个式子都为零。即|A|+|B|=0则A=0，B=0

例1.|x+3|+|y-2|=0求x，y

分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|x+3|=|y-2|=0，

解：    解得：

例2.已知|ab-2|与|a-1|互为相互数，试求下式的值。

分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab-2|=|a-1|=0，解得：a=1，b=2

于是

在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果。同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。

二、体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

1、数形结合思想

例3.已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（  A  ）

A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b

解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a

分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例4.已知：x<00，且|y|>|z|>|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（   C   ）

A.是正数B.是负数

C.是零D.不能确定符号

解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：

所以

分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

2、分类讨论的思想

例5.已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

解：设甲数为x，乙数为y

由题意得：|x|=3|y|，

（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x在原点左侧，y在原点右侧，即x<0，y>0，则4y=8，所以y=2，x=-6

若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0，y<0，则-4y=8，所以y=-2，x=6

（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x、y在原点左侧，即x<0，y<0，则-2y=8，所以y=-4，x=-12

若x、y在原点右侧，即x>0，y>0，则2y=8，所以y=4，x=12

例6.如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（   A   ）

A.0B. 1或-l

C.2或-2D.0或-2

分析： 因为a+b+c=0，所以a、b、c、存在两种情况，即两个正数一个负数和一个正数两个负数。

当两个正数一个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1，

所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0

3、整体代换思想

例7.方程|x-2008|=2008-x的解的个数是（  D  ）

A.1个 B.2个

C.3个 D.无穷多个

分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程|a|=-a的解，利用绝对值的代數意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。