一道高考试题的解法探究与错解剖析

王炳哲

2009年全国数学（Ⅰ）试卷理科21题（文科22题）是一道主要考查解析几何基本思想与基本方法的压轴题。从试题本身来看，其命题意图是考查学生数形结合、转化的数学能力，以及方程思想，函数最值方法的灵活运用的能力。试题对理科同学而言难度适中，对文科考生相对要难一些（满分12分，平均得分理科约为2.39分，文科约为0.81分），但该题对学生的审题能力、思维能力、运算能力等都起到了很好的考查作用。试题入手容易，但随着运算量、思维含量的加大要深入下去有一定的难度。

1 解法探究

2.2思想方法方面的错误

本题考查学生数形结合、转化的数学能力，以及方程数学思想。这些方法与思想如果考生运用自如，可以起到事半功倍的作用。但从高考答卷中可以看出，考生在这些方面出现问题较多，主要问题有：

1）一些考生不能充分利用数形结合的思想，通过观察图形，四个交点问题可以转化成两个交点和三个交点情况来解决；在解决两对角线交点问题时，如果通过图形的对称性来解决，直接设出点P的纵坐标为0，就好求多了，而通过这一点来做的廖廖无几；

2）在求解面积最值时，有些考生没有想到换元的思想解决，用所求的结果直接求导，不仅导致式子繁难，而且计算很容易出错，从而造成考生大量的丢分与失分。

2.3 运算方面的错误

对于本题来说，第一问的计算量不大，但是不少考生在计算过程中出现的错误是五花八门：1）在将y2=x代入（x-4）2+y2=r2过程中化简错误，考生化简成x2-9x+16-r2=0，x2-3x+16-r2=0，这样后面的求解都不对了；2）在？驻>0过程中求解不正确，加减号颠倒，去括号后漏乘系数等等计算错误。

2.4 粗心方面的錯误

3教学启示

圆锥曲线是高中数学主干内容之一，也是历年高考的重点内容，它以考察学生的思维能力为主，兼顾考察运算能力和逻辑思维能力，因此，对解析几何的备考与复习应该注意以下几个方面：

3.1重视课本基础知识的复习

学生在答卷中出现以上各种问题，都反映出考生对课本上的基础知识掌握不牢，不能灵活运用。扎实的基础体现在对概念、定义、定理、法则、公式的透彻理解，对数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）的准确表达与运用，对性质和习题的灵活变通上。惟有扎实的基础，才会有知识网络的建立和融合，数学思想方法才会丰富多彩，各种能力的提高才会能得以实现；这就要求我们在平时的教与学中，一定要重视知识形成过程和发展过程的学习，重视公式的正用、逆用和变形应用，重视定理的推导与应用，重视定义的理解和应用，重视课本例题、习题中数学思想方法的挖掘和应用。

3.2要重视知识发生、发展的过程

平时教学中要注意培养学生的思维能力，加强数形结合思想及转化与化归，换元等数学思想的训练，不但重视知识结果，更要重视知识发生，发展的过程，从而提高学生的思维层次和分析问题解决问题的能力。在解析几何的教学中重视对学生数学思想，思维能力的培养，从而提高学生思维广度及思维深度。

3.3加强运算能力的训练

从考生解析几何综合题答卷情况可以看出，一些解题思路是正确的，一些方法也是合理的，但由于学生运算能力较弱，不能根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据，不能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径，造成大量丢分，很是遗憾。因此，教师在课堂教学中在通过对典型例题的合理分析培养学生的思维能力，通过适当的练习促进学生思维能力的提高的同时，注重学生运算能力的培养。教师在高三复习中，可从以下几方面入手来培养学生的运算能力：

1）牢固掌握基础知识.在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念、公式、性质、定理、公理及法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。

2）课堂上不能只分析题目的思路，也应有完整与完善的求解过程的示范.否则学生的自我练习也容易出现只看不做、不算、不求甚解，或者似是而非的解题，易养成不良的解题习惯。

3）督促学生完善错题本，应有错解、正解、错误原因分析，改进方法、注意事项等方面的内容。