基于新课程论函数思想在数列中的重要性

陈芝熹

摘 要：高中新课标对“双基”提出明确要求，学习数列不仅要学基本知识概念，还要学会建立数列与函数的关系，用函数思想观点去研究数列的相关问题。但在实际教学中，一些教师并没有函数思想渗透进数列教学中，一些学生也没有用函数思想解数列题的意识。本文将从教材与应用出发，对数列与函数联系以及函数在数列中的体现进行分析，从而说明函数思想对数列内容学习的重要性。

关键词：新课程；数列；函数思想；重要性

中图分类号：G633文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）07-0041-01

一、问题提出

新课程对“双基”的要求越来越明确，其中对于数列内容的学习，要求学生不仅掌握数列的概念以及基本知识、理解这些概念及其本质，还要体会其中所蕴含的数学思想，对数列内容的处理突出函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系，能够学以致用。但在有些教学课堂中常常看到这样的现象：仅仅单纯讲数列知识，很少将函数思想融入。而函数与数列作为高中数学内容的两大模块，有着举足若轻的位置，更有着密不可分的关系。

二、在人教版教材数列一章中函数思想的体现

1.教学目标中对函数的要求

新课程教学目标要求学生不仅要对基础知识的掌握，还要认识现实世界和实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。数列作为一种离散函数，是一种重要的数学模型，培养学生能用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，从而能解决一些实际问题。

2.教材内容的编排上函数思想的体现

从教材编排上，函数内容几乎是必修1中所有内容，而数列在必修5第二章以一个独立章节出现，约占12个课时，说明这两个模块在高中数学上都处于相当重要地位。而函数知识几乎贯穿高中数学学习的始末，在高中数学学习中起着决定性作用。数列一章中学习，与函数的联系大部分是在概念和例题中直接体现出来，几乎每一节都能可看到函数的身影。

人教版高中数学必修5中2.1数列的概念和简单表示法一节中，解释数列的概念时将数列看成是：以正整数集N为定义域的函数an=fn当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一对函数值。利用了函数的概念解释数列的概念，以及接下来在数列的简单表示法中介绍了通项公式、列表法、图像法、简单的递推公式四种表示法，其中的通项公式可看成数列的函数解析式，列表法和图像法也正是函数的表示法，这恰恰呼应了数列是一种特殊函数。有了前面数列是一种特殊函数做铺垫，在后面等差数列和等比数列的学习中更加明确突出了与函数的联系。

如2.2等差数列例3，已知数列an的通项公式为an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？此题通过利用等差数列的定义判定an是不是等差数列，最终得到an-an-1=d（n≥2）是一个与n无关的常数，证明这个数列是等差数列。此题把等差数列通项公式和一次函数联系起来，揭示了等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式是形如an=pn+q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q。

同样地，我们能从等差数列前n项和的公式的结构特征上认识到一个数列的前n项和是常数项为0的关于n的二次型函数，这是一个等差数列。既然等差数列前项和的公式是一个二次型函数，那就可以利用二次函数的相关性质求解，如例4中已知等差数列的前项和Sn，求使得Sn最大的序号n的值。

在2.4 和2.5节等比数列及其前n项和这两节中探究将等比数列看作是指数型函数利用指数函数性质特征总结等比数列的单调性。从新课程教材内容看到，函数思想贯穿数列这章节的始末，每一部分的内容都强调将数列与函数联系，达到进一步认识掌握数列、巩固函数知识的目的，可见函数思想在数列的教学与学习中的重要性。所以在数列的整个学习过程中，强调用函数的思想和研究方法去认识研究数列，实现数列与函数的融合。

三、函数思想在数列高考题中的应用

从课本中讲到数列是一类特殊的函数，与函数思想有着密切的联系.事实上在高考的数列题中也可以利用函数的性质解答。例如：

四、总结

新课程下函数思想在数列中的重要性不仅在教材、教学、学习上有充分体现，在应用上如高考题中也有涉及。所以这就要求了学生学习数列时要时刻用函数的观点去探究数列知识，更要求了教师在教学中将函数思想融入到数列教学中，循序渐进地帮助学生建立数列与函数的联系，这不仅帮助学生更深层次地理解数列概念本质，也提高了他们对函数的进一步把握与应用，建立了知识间的联系，帮助培养学生对数学问题化归与转化的能力。

（作者单位：西华师范大学）

参考文献：

[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）必修5[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]張翠.函数思想在高中数列中的渗透与应用[D].西安：西北大学，2015.

[4]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].河南：河南师范大学，2013.