立足课本，深化模型，激活学生思维

张国富

“优质轻负”，是当今自上而下喊得最响的办学口号。毫无疑问，优质轻负首先必须依托于规范办学，否则，何来“轻负”。同时我们更明白：轻负要以“优质”为前提，不管我们崇尚哪种教学思想，提倡何种教学手段，“优质”永远是一所学校的生命。目前，随着规范办学的强力推进，教师们对规范、提质的认知已有极大的进步，基本认为：教学质量的取得，光靠延长教学时间、打题海战术等传统做法已经落伍，我们应该立足课本、因材施教、激活学生思维等方面去追求教学质量，减少机械重复，提升学习效能，从而为学生减负。

笔者认为，课堂是取得质量的主阵地，而课堂教学要有效，教材处理最为关键，教材为课堂提供了好的内容素材。作为教师，应该立足课本，把握教材编写的要旨，顺应学生的认知规律，对教材进行合理的取舍和整合，让教材“活”起来，以促进学生的有效发展。以一节“线段和最小值问题”教学设计与思考为例，谈谈如何立足课本、深化模型、激活学生思维。

一、课前分析

本节内容属于“图形与几何”领域，是在学生学习了“两点之间线段最短”“轴对称”“勾股定理”等内容基础上的综合与提升。最短距离问题主要包括两个问题：一是“两点之间线段最短”；二是“过直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短”。本节课主要探究的是第一个问题，核心内容是把两点在直线同侧的问题转化为两点在直线异侧的问题来解决。设计理念是教师教给学生体会“轴对称”的桥梁作用，如何感悟转化以及深化模型的数学思想，让学生做一题会一类，以不变应万变。

二、教学目标

本节课是综合提升课，要求学生熟练掌握两点之间线段最短，轴对称、勾股定理等内容。因此，在课前应适当复习上述内容，另外要通过两点在直线同侧转化为两点在直线异侧的过程，让学生体会到“转化”是解决数学问题的重要思想方法。让学生通过本节课的学习，经历研究和解决数学问题的过程，提升自身分析问题和解决问题的能力，形成良好的解题技能。基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：用转化的思想处理两点在一条直线同侧的最短距离并求最短距离问题。

三、教学问题及诊断分析

两点在直线同侧问题的解决较为抽象，而且要综合运用点的轴对称性、两点之间线段最短、勾股定理等知识。因此，学生初次解决类似问题肯定有较大难度。另外，把两条线段之和通过转化变成一条新的线段，蕴含在其中的数学知识是几条结论的复合，因此，学生在这个问题上肯定存在难以透彻理解的现象。基于以上分析，本节课的教学难点是：理解把两点在直线同侧的问题转化为异侧问题中所蕴含的数学知识。

四、教学设计及其解析

1.问题提出

（1）已知：如图，点A、点B是直线l异侧的两个点，在l上求作一点P，使AP+BP的和最小。若点A、点B到l的距离分别是AC=40m和BD=20m，且CD=80m，求出最小值是多少？

师：如何确定点P的位置？

生1：连结AB，交直线l于点P，则点P即为所要求作的点。

师：那AP+BP的和最小值怎么求？

生1：过B点作AC的垂线交AC的延长线于点E，AE=60m，BE=80m，由勾股定理可得AB=100m，即AP+BP的最小值是100m。

（2）已知：如图，点A、点B是直线l同侧的两个点，到l的距离分别是AC=40m和BD=20m，在l上求作一点P，使AP+BP的和最小，并求出最小值是多少？

师：这个问题与我们前面研究的问题有什么区别和联系？

生2：刚才问题中的两个点是在直线的两侧，这个问题中的两个点是在直线的同侧。

师：在以前的数学学习过程中，遇到这样的问题，我们通常是如何解决的？

生：（大声地）“转化”，将同侧的问题转化为异侧的问题。

师：（追问）如何转化？

众生：可以先作出点A关于直线l的对称点A′，连结A′B，A′B与直线l的交点P即为所要求作的点，再构造直角三角形求出最小值。

【设计意图】（1）这是一个单动点最短路程问题的范例，呈现上述两个问题试图唤起学生对“两点之间线段最短”；“勾股定理”；“感悟辅助线的添加策略，构造直角三角形，运用勾股定理计算出AB的长”等知识的回忆。（2）加深对两点之间的距离的印象，提炼出解决问题的模型，为后续问题的解决积累经验。

2.问题探究一

（1）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，DE=2，点P在边AD上运动，求PB+PE的最小值。

解题思路：作点B关于边AD的对称点B′，连结B′E，B′E与边AD的交点P即为所要求作的点，再构造直角三角形求出B′E的长，B′E的长即为PB+PE的最小值。