例谈点的确定问题中的思想方法

沐文中



例谈点的确定问题中的思想方法

沐文中

“数学思想方法是以数学内容为载体，基于数学知识，又高于数学知识的一种隐形知识.”下以《平面直角坐标系》中有关点的确定问题为例，谈谈其中所渗透的数学的思想方法，望同学们能举一反三.

一、逆向思考

例1在平面直角坐标系中，已知点P（m-1，2m+3），当m取不同值时，P表示不同的点，但P永远不可能在第几象限？

【分析】同学们常见的解法是，m取几个不同的值代入，如m=2，0，-2，描点观察P点可能在第一、第二、第三象限，故不在第四象限.此时不妨运用逆向思维.若在第一象限，则得到不等式组解集为m＞ 1，所以可能在第一象限.类似地，若在第四象限，则得到不等式组无解，所以不可能在第四象限.

加强逆向思维的训练，可以培养我们思维的灵活性和发散性，使我们能进行知识的迁移.

二、类比联想

例2如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用（a，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（a，β）.例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置记为M（8，110）.

图1

图2

（1）图3中，如果点N在平面内的位置记为N（6，30），那么ON=_______，∠XON=_______；

图3

（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为A（4，30），B（4，90），试求A、B两点之间的距离.

（3）在（2）中，若以AB为一边在平面内作等边三角形△ABC，试用上述记法表示出另一个顶点C.

【分析】此题是一道阅读理解题，涉及极坐标系的内容，同学们会在高中数学的学习中遇到.我们可以类比联想平面直角坐标系表示物体位置的方法，联想此题确定P点位置的两个数据：第一个表示长度，第二个表示角度，从而转化成几何问题，尤其是第2问，90°-30°=60°，我们会联想到等边三角形的知识，所以AB=4，从而实现知识的迁移.

三、分类讨论

例3 如图4，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）.

图4

A.（4，0）B.（1，0）

【分析】作为选择题，我们会采用代入描点法确定B是不可能的.这时我们只能解决一道题而不是一类题，若改为填空题或解答题要求求出所有满足条件的点，就要求我们会用分类的思想方法来解决.分类的思想就是要求我们从具体出发，选取适当的分类标准，同时要确保分类的结果既无遗漏，也不能交叉重复，这种渗透有助于培养我们思维的严谨性与周密性.此题以等腰三角形的顶角为分类的依据，A在顶角或O在顶角或P在顶角. P（14，0），P（22，0），P（3-2，0）P（42，0），故B不可能.在解决本题的基础上我们还可深入思考：若P在坐标轴上时共有几个？从而打开我们的思路，增强我们的数学能力.

我们现在缺少的不是数学知识，而是对数学的深刻理解；缺少的不是问题解决，而是发现问题的眼光；缺少的不是题量，而是举一反三的能力.数学思想方法能帮助我们认识数学的本质，建立数学观和用数学解决问题的能力，让我们自己去建构数学模型，用数学的眼光认识和处理问题，更积极有效地探究数学的奥秘.

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）