一类非光滑多目标规划问题的最优性条件

周轩伟

（浙江树人大学基础部，浙江杭州310015）



一类非光滑多目标规划问题的最优性条件

周轩伟

（浙江树人大学基础部，浙江杭州310015）

研究了一类非光滑多目标规划问题.这类多目标规划问题的目标函数为锥凸函数与可微函数之和，其约束条件是Euclidean空间中的锥约束.在满足广义Abadie约束规格下，利用广义Farkas引理和多目标函数标量化，给出了这一类多目标规划问题的锥弱有效解最优性必要条件.

非光滑多目标规划；广义Abadie约束规格；广义Farkas引理；最优性必要条件

O221.6

§1　引　言

考虑下列的非光滑多目标规划问题：

（MPP）其中f =（f1，···，fp）: Rn→Rp，g =（g1，···，gm）: Rn→Rm. f和g是Rn上的可微多目标函数，ϕ=（ϕ1，···，ϕp）: Rn→Rp是Rn上有限值K-凸函数；K，K1分别是Rp，Rm中的尖闭凸锥且intK /=∅，intK1/=∅，C是Rn中的凸子集.

对问题（MPP），当ϕi（x）= s（x|Di）（i = 1，···，p），其中s（x|Di）是Rn中的紧子集Di（i = 1，···，p）的支撑函数，C是Rn的开子集时，文［1-2］给出了问题（MPP）的最优性条件和对偶定理. 当ϕi（x）=（xTBx）1/2，其中B是n×n对称半正定矩阵，f是Rn上的可微函数，C = Rn，p = 1时，文［3］首先提出了问题（MPP），并在满足一种较复杂的约束规格条件下，得到了该问题的最优性必要条件.然后，文［4］证明了Slater约束规格蕴含前文中的约束规格.后来，文［5］将文［3］的问题推广到分式规划.文［6-7］再将该问题推广到极小极大分式规划.在文［3］的约束规格下，文［6-7］给出了相应的最优性必要条件.在这些必要条件的基础上，上述论文也讨论了最优性充分条件或Wolfe型对偶.在问题（MPP）中，当K = Rp+，K = Rm+和C = Rn时，文［8］在问题（MPP）满足Kuhn-Tucker约束规格或Arrow-Hurwicz-Uzawa约束规格（［9］）时，得到了弱有效解的Kuhn-Tucker型必要条件.当C⊂Rn为一般凸集，p = 1时，文［10］引进了广义的Kuhn-Tucker约束规格和广义的Arrow-Hurwicz-Uzawa约束规格，得到了最优解的Kuhn-Tucker型必要条件.当C⊂Rn为一般凸集，p＞1时，文［11］在文［10］的约束规格下，得到了Pareto弱有效解的Kuhn-Tucker型必要条件.

本文研究了非光滑多目标规划问题（MPP）.其目标函数为锥凸函数与可微函数之和，约束条件是锥约束.在满足广义Abadie约束规格下，利用广义Farkas引理和多目标函数标量化，给出了这一类多目标规划问题的锥弱有效解最优性必要条件.本文将文［10］和［11］的结果从Pareto弱有效解推广到锥弱有效解，并且将有限个不等式约束推广到锥约束.由于锥约束相当于无限个不等式约束，因此本文的结果是文［10］和［11］的结果在多目标规划中的本质推广.本文中的定理3.1和定理3.2是文［11］中定理3.1和定理3.2的推广.

§2　预备知识

给出本文涉及的基本概念，定义和引理.

定义2.1设S是Rn中的非空子集，点x0∈clS.设点列｛xk｝⊂S，xk→x0（k→+∞），正数

数列｛tk｝，tk→+∞（k→+∞）.若极限d =）存在，则称d是点x0处关于S的切向量.集合T（S，x0）=称为是S在x0处的切锥.

定义2.2设K⊂Rn.若

设C是Rn的子集，affC表示C的仿射包，riC表示C的相对内部，

其中U是Rn中的单位球.

定义2.3设X =｛x∈Rn|g（x）∈-K1｝，g在x∗∈X∩C满足广义Abadie约束条件，若

其中

定义2.4设K⊂Rn是具有非空内部的尖凸锥，x0∈Rn.若x∄D，使得

则称x0为多目标规划（MPP）的K-弱有效解，其中D =｛x∈C|g（x）∈-K1｝.

定义2.5设K⊂Rn是具有非空内部的闭凸锥，若∀x1，x2∈Rn，以及λ∈［0，1］均有

则称f（x）为K-凸函数.

其中domh =｛x|h（x）＜+∞｝.集合

引理2.1［3］设C是Rn的凸子集，假若riC /=∅，（affC）（riC）/=∅，则对于任意的x∗∈

（clC）（riC），有

§3　主要结论

在满足广义Abadie约束条件下，给出多目标规划问题（MPP）的锥弱有效解最优性必要条件. 记

引理3.1若x∗是（MPP）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，并且对任意的x，y∈Rn有‖ϕ（x）-ϕ（y）‖≤L‖x - y‖（L＞0）.如果Z（x∗）∩riC /=∅，则广义不等式组

在riC内无解.

证假设存在¯x∈riC满足（1），则¯x∈Z（x∗）即¯x∈Z（x∗）∩riC.因为g在x∗处满足广义Abadie约束条件，由其定义有

所以存在xk⊂X∩（affC）和｛tk｝⊂R+，tk→+∞（k→+∞）使得

下面分两种情况证明:存在k1，当k≥k1时，xk∈riC.

当x∗∈riC时.由ri（riC）= riC，aff（riC）= affC，知

所以存在¯ε＞0使得（x∗+¯εU）∩（affC）⊂riC.因为xk→x∗，于是知存在k1，当k≥k1时有xk∈x∗+¯εU，从而xk∈riC.

当x∗∈C iC⊂clC iC时，假设结论不成立，即不存在k1，当k≥k1时，xk∈riC，则存在序列｛ki｝，ki→+∞（i→+∞）使得xki∈affC iC，则由（2）式，有tki（xki-x∗）→¯x - x∗（i→+∞），从而¯x - x∗∈T（（affC）（riC），x∗）.由引理2.1，对于x∗∈clC iC有

又因为¯x - x∗∈T（（affC）（riC），x∗），所以¯x - x∗/∈（riC -｛x∗｝），即¯x /∈riC，矛盾.所以由上述证明可知，存在k1，当k≥k1时，xk∈riC.

由于¯x满足（1）式，可知¯x /= x∗.由（2）式知，存在k2使得k≥k2，tk≥1.

由于ϕ（x）是Rn上的K-凸函数，所以∀u∈［0，1］有

从而有

因为tk≥1（k≥k2）有有

因为对任意的x，y∈Rn有

所以

又由

得

由上式和（3）式知，当k≥k2时有

又¯x满足广义不等式组（1）有▽f（x∗）T（¯x - x∗）+ϕ（¯x）-ϕ（x∗）∈-intK.于是存在k3使得当k≥k3时，有

由（4）式，（5）式得

因为εk→0（k→+∞），故存在k4，当k≥k4时有，

取¯k = max｛k1，k2，k3，k4｝，则当k≥¯k时，有

即

因为xk∈X∩C（k≥¯k），所以（6）式与x∗是（MMP）的K-弱有效解矛盾，从而广义不等式组（1）在riC内无解.

引理3.2设D⊂Rn为凸集，K⊂Rp为凸锥，且intK /=∅，f（x）∈Rp为K-凸函数.若广义不等式组

无解，则存在λ∈K∗｛0｝，使得∀x∈D，有

先证明Y为凸集.设

则存在x1∈D，x2∈D，有

由于K为凸集，故intK为凸集，因此

现在

因为f（x）为K-凸函数，以及intK为凸锥，故

由µ1+ f（x1）∈-intK，µ2+ f（x2）∈-intK，不妨设α＞0，1 -α＞0，故

从而有

因此

由于D为凸集，故

因此

故Y为凸集.

下面用凸集分离定理证明本引理的结论.因为

无解，故0 /∈Y .因为Y为凸集，由凸集分离定理，存在λ∈Rp｛0｝，使得∀µ∈Y，有

证记

由于∀¯µ∈-intK，∀α＞0和∀x∈D有

故

因此，∀α＞0有

即∀α＞0有

因此必有

即

故

在（7）式中令α→0，得知∀x∈D，有

引理3.3（广义Farkas引理）设C是Rn的凸子集，F : C→R是在C上的凸函数.同时假设

分别为给定的向量和标量.设A =（a1，···，ap），b =（b1，···，bp）T，K⊂Rp为闭凸锥，

若S∩riC /=∅以及∪λ∈K∗epi（λTG）∗是Rp×R中的闭集，其中

并且F（x）≥0，∀x∈S∩C.则存在µ∈K∗，使得

证考虑Rn×R的凸子集A1和A2，定义如下：

利用假设条件∀x∈S∩C都有F（x）≥0，可知A1和A2不相交，而A1是凸集且ri（A1）/=∅，A2是一个闭凸集.因此，根据文［12］的命题3.5.1，存在向量（ξ，β）∈｛Rn×R｝｛0｝，使得

根据A1的定义，可知β≥0，否则（8）式的右边就可以减少到负无穷.现在证明β＞0.采用反证法，假设β= 0.令¯x∈S∩riC，令¯w满足（¯x，¯w）∈A1，由（8）可得

从而线性函数ξTy在A1上的最小值可以在点（¯x，¯w）取得，且由于¯x∈riC，故点（¯x，¯w）是A1的一个相对内点.因此，根据文［13］的命题B.19（a），ξTy在A1上是常数，但这与（9）式矛盾，这一矛盾是由β= 0的假设引起的.因此，必有β＞0，且通过将（ξ，β）归一化，可以假设β= 1 .

利用S的定义及（8）式，得到

由于S非空，上式左边的线性规划问题具有有限的最优值，故该问题具有最优解x∗.

即

由上式可得

因此，

因为λ∈K∗，Ax∗- b∈-K，所以

结合（11）式和（12）式，得到

由（11）式和（13）式得

这就证明了所需要的结论.

定理3.1若x∗是（MPP）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，并且对任意的如果中的闭集，其中，那么存在λ∈使得

证由引理3.1，知

在riC内无解.显然Z（x∗）∩riC是非空凸集，由引理3.2，知存在λ∈K∗｛0｝，使得

在riC内无解.由引理3.3，知存在µ∈K∗1，使得

因为riC /=∅且C为凸集，所以

在（17）式中，令x = x∗，则有µTg（x∗）≥0.又因为

从而有

所以，µTg（x∗）= 0，于是（16）式成立，代入（17）式，有

即

从而（15）成立.定理得证.

考虑下列的问题：

（MPP1）

其中

f和g是Rn上上的可微多目标函数，ϕ（x）=（ϕ1，···，ϕp）: Rn→Rp是Rn上有限值K-凸函数，h =（h1，···，hr）: Rn→Rr是Rn上有限值K2-凸函数；K，K1，K2分别是Rp，Rm，Rr的尖闭凸锥且intK /=∅，intK1/=∅，intK2/=∅.

定理3.2若x∗是（MPP1）的K-弱有效解，g在x∗处满足广义Abadie约束条件，ϕ是Rn上有限值K-凸函数，h是Rn上有限值K2-凸函数，并且对任意的x，y∈Rn有

如果Z（x∗）∩｛x∈Rn|h（x）∈-intK2｝/=∅，∪λ∈K∗epi（λT¯G）∗是Rp×R中的闭集，其中

证设

由条件

知｛x∈Rn|h（x）∈-intK2｝/=∅.又有K2是Rp的尖闭凸锥且intK2/=∅，容易证明

中的闭集”，是广义Farkas引理成立的正则性条件，有时称为“闭锥条件”，该条件在文［14-19］均有详细讨论.在无限维空间中，该条件为“是弱*闭的”.特别地，在有限维空间中，当¯G是Rn→ Rp的线性映射显然是闭集.因此，在有限个不等式约束条件中，“闭锥条件”自然成立.

注3.2在定理3.1中用到的条件“Z（x∗）∩riC /=∅”，即不等式

在riC中有解.因为C是凸集，所以riC /=∅.例如:设

则

显然Z（x∗）∩riC = C /=∅.文［10］和文［11］都用到了条件“Z（x∗）∩riC /=∅”，文［13］在第507-510页上详细讨论该条件的必要性.

［1］Yang Xinmin，Yang Xiaoqi，Teo K L. Higher-order generalized convexity and duality in nondifferentiable multiobjective mathematical programming［J］. J Math Anal Appl，2004，297: 48-55.

［2］Bae D B，Kim D S. Optimality and duality theorems in nonsmooth multiobjective optimization［J］. Fixed Point Theory and Appl，2011，2011: 42.

［3］Mond B. A class of nondifferentiable mathematical programming problems［J］. J Math Anal Appl，1974，46: 169-174.

［4］Mond B，Schechter M A. On a constraint qualification in a nonlinear programming problems［J］. New Res Logic Quart，1976，23: 611-613.

［5］Aggarwal S A，Saxena P C. A class of fractional functional programming problems［J］. New Zealand Oper Res，1979，7: 79-90.

［6］Singh C. Optimality conditions for fractional minimax programming［J］. J Math Anal Appl，1984，100: 409-415.

［7］Lai Hangchin，Liu Jianchuan，Tanaka K. Necessary and sufficient conditions for minimax fractional programming［J］. J Math Anal Appl，1999，230: 311-328.

［8］Luo Hezhi，Wu Huixian. K-T necessary conditions for a class of nonsmooth multiobjective programming［J］. OR Transactions，2003，7: 62-68.

［9］Mangsarian O L. Nonlinear Programming［M］. New York: McGraw-Hill Book Company，1969.

［10］Xu Zengkun. Constraint qualifications in a class of nondifferentiable mathematical programming problems［J］. J Math Anal Appl，2005，302: 282-290.

［11］Wu Huixian and Luo Hezhi. Necessary optimality conditions for a class of nonsmooth vector optimization problems［J］. Acta Math Appl Sinica（English Series），2009，25（1）: 87-94.

［12］Bertsekas D P，Nedi´c A，Ozdaglar A E. Convex Analysis and Optimization［M］. Belmont，MA：Athena Scientific，2003.

［13］Bertsekas D P. Nonlinear Programming，2nd Ed.［M］. Belmont，MA：Athena Scientific，2004.

［14］Jeyakumar V，Lee G M. Complete characterizations of stable Farkas'lemma and coneconvex programming duality［J］. Math Prog，Ser A，2008，114: 335-347.

［15］Bot R I，Wanka G. An alternative formulation for a new closed cone constraint qualification［J］. Nonlinear Anal Theory Methods Appl，2006，64（6）: 1367-1381.

［16］Dinh N，Jeyakumar V，Lee G M. Sequential Lagrangian conditions for convex programs with applications to semidefinite programming［J］. J Optim Theory Appl，2005，125: 85-112.

［17］Gwinner J. Results of Farkas type［J］. Numer Funct Anal Optim，1987，9: 471-520.

［18］Jeyakumar V，Lee G M，Dinh N. Characterization of solution sets of convex vector minimization problems［J］. Eur J Oper Res，2006，174: 1380-1395.

［19］Gwinner J，Pomerol J C. On weak* closedness，coerciveness，and inf-sup theorems［J］. Arch Math，1989，52: 159-167.

MR Subject Classification: 90C32

Optimality conditions for a class of nonsmooth multi-objective programming problems

ZHOU Xuan-wei
（Dept. of Basic Courses，Zhejiang Shuren Univ.，Hangzhou 310015，China）

In this paper，a class of nonsmooth multi-objective programming problems is studied. By using generalized Farkas lemma and scalarization of multi-objective function，the optimality conditions of cone weakly efficient solution are given for the problem of minimizing a multi-objective function，where the multi-objective function is the sum of a differentiable multi-objective function and a cone convex multi-objective function，subject to a set of differentiable nonlinear functions with a controlled cone on a convex subset of a finite dimensional Euclidean space，under the conditions similar to the Abadie constraint qualification.

nonsmooth multi-objective programming；generalized Abadie constraint qualification；generalized Farkas lemma；optimality conditions

A

1000-4424（2016）01-0063-10

2015-10-08

2016-01-19