非线性Black-Scholes模型下几何平均亚式期权定价

李志广，康淑瑰

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）



非线性Black-Scholes模型下几何平均亚式期权定价

李志广，康淑瑰

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

在非线性Black-Scholes模型下，本文研究了几何平均亚式期权定价问题.首先利用单参数摄动方法，将亚式期权适合的偏微分方程分解成一系列常系数抛物方程.其次通过计算这些常系数抛物型方程的解，给出了几何平均亚式期权的近似定价公式.最后利用Green函数分析了近似结论的误差估计.

几何平均亚式期权；非线性Black-Scholes模型；Green函数；误差估计

§1　引　言

几何平均亚式期权是近些年来研究的热点问题.亚式期权也在金融市场活动当中发挥着重要作用，相比于普通的期权，亚式期权有两个作用: 1.避免人为炒作股票价格，2.减少公司员工进行内幕交易、损害公司利益的行为.

到目前为止，多数文献均是线性Black-Scholes模型下的结论.文献［1-2］在分数布朗运动驱动的线性Black-Scholes模型下，研究了几何平均亚式期权定价问题，利用拟条件期望得到了几何平均亚式期权的定价公式.文献［3］考虑了随机利率模型下的几何平均亚式期权定价问题，利用风险对冲技术得到了亚式期权满足的偏微分方程，得到了看涨和看跌期权的定价公式以及相应的等价关系.文献［4-5］研究了混合分数布朗运动环境下的几何平均亚式期权定价问题.总而言之，上述文献均是在线性模型下的结论，其波动率和收益率的常数假设限制了期权定价理论的发展.到目前为止，有关非线性Black-Scholes模型下亚式期权的定价问题还未见文献.

基于此，本文在非线性Black-Scholes模型下研究几何平均亚式期权定价问题.假设金融市场上有两种资产，一种是风险资产例如股票，其价格St满足

另一种是无风险资产例如银行存款、债卷，其价格满足

其中S0是已知的，µ（t，St）是风险资产的期望收益率，σ（t，St；ε）为风险资产的波动率，r为无风险利率，ε表示摄动参数（0＜ε＜1），µ（t，S）和σ（t，S；ε）为时间t和股票价格S的一般函数，｛wt，t≥0｝为标准布朗运动.定义如下路径因子

并在上述模型的基础之上考虑具有固定执行价格的几何平均亚式看涨期权，该期权在交割日T时刻的损益为，由于该损益是非负的，使得期权的持有者可以做到稳赚不赔，因此人们如果想拥有该期权就必须支付期权的出售方一定的“期权金”，这个金额的多少就是研究的期权定价问题.根据文献［6］，具有固定执行价格的几何平均亚式看跌期权的价格P（t，S，J）在非线性Black-Scholes模型下的偏微分方程模型为

其中S表示风险资产在t时刻的价格，J代表路径因子在t时刻的取值，f（t，x；ε）=σ2（t，S，J；ε），

作变换

则偏微分方程问题（1）可以转化为

下一节以公式（2）为研究对象，采用单参数摄动展开的方法研究具有固定执行价格的几何平均亚式期权问题，本文提供的方法同样适用于其它期权，例如欧式期权、障碍期权以及回望期权.

§2　几何平均亚式期权

本节利用单参数摄动方法研究几何平均亚式期权定价问题.首先将f（t，x；ε）在ε= 0附近展成幂级数形式

并假设该幂级数的首项f0（0，0）是不依赖t和x的非负常数.进一步，将抛物问题（2）的解在ε= 0附近展开成幂级数

并再将上述级数代入抛物问题（2）的主方程，容易得到

对ε合并同类项，可得

由x和t的任意性，取ε的同次幂项的系数为零，则Vn（t，x）满足

其中

同时，根据公式（3），将抛物问题（2）的初值条件进行分解

则抛物型方程（2）的求解问题转化为一系列常系数线性抛物方程的求解问题，其中V0g.f（t，x）为抛物初值问题

的解，Vn（t，x）（n = 1，2，···）是如下抛物问题的解

下面分别求解Vn（t，x）（n = 0，1，2，···）.由文献［6］可知，抛物初值问题（7）是经典Black-Scholes模型下几何平均亚式看跌期权的定价公式，它可以表示为

其中

因此接下来只需求解Vn（t，x）（n = 1，2，···）.注意到V0（t，x）是解析的，并且公式（6）中的gn（t，x）仅仅与有关，而与无关，这启发采用递推法完成Vn（t，x）的求解过程.

引理1设抛物初值问题（2）的解可以表示为

其中V0（t，x）见公式（9），

证考虑变换

则抛物初值问题（8）可以转化为

其中

根据文献［7-8］，热方程（11）的解可以表示为

对变换（10）进行逆变换回到Vn（t，x）可得引理结论.

综合公式（9）和引理1，可得如下结论成立.

定理1假定具有固定执行价格的几何平均亚式看跌期权Pg.f（t，S，J）满足如下的近似解析式

则P0（t，S，J）和Pn（t，S，J）分别为，

d1和d2见公式（9），α（t），Γ0（y，ξ，s）和˜gn（s，ξ）见引理1.

下面考虑固定执行价格的几何平均亚式看涨期权定价问题，再次利用文献［6］可知该期权的

价格Cg.f（t，S，J）可以表示为如下偏微分方程初值问题的解

容易得到，看涨期权与看跌期权类似，它们仅仅是初值不同.类推上述证明有如下结论成立.

定理2假定具有固定执行价格的几何平均亚式看涨期权满足如下的近似解析式

则C0（t，S，J）和Cn（t，S，J）分别为

其它参量见引理1和公式（9）.

§3　误差估计

本节以几何平均亚式看跌期权为例，采用Green函数方法研究上述结论的误差估计问题.本文所得误差估计是在如下假设条件下进行的:

（1）f（t，x；ε）在0，T］×R上关于变量x满足一致Lipschtiz条件.

（2）f（t，x；ε）在0，T］×R上一致有界，即对任意的（t，x）∈（0，T）×R以及任意正整数n，存在不依赖n，t和x的正常数M0使得

并假定对任意的（t，x）∈（0，T）×R有

上述公式中f0（t，x）= f0（0，0）.下面给出两个有关

的引理.

引理2 R0（t，x）在［0，T］×R上有界，即对任意的（t，x）∈［0，T］×R，存在不依赖x和t的正常数M1使得

证由公式（9），直接计算容易得到

进一步，利用公式（14）和公式（15）以及公式（9），可知

以及

联立公式（16）和公式（17），容易得到

对上式逐步进行放大，得到关于|R0（t，x）|的一个不等式

下面证明exN′（d1）在［0，T］×R上有界.由公式（15）容易得到，对任意的t0∈［0，T］，有所以= 0.又因为exN′（d1）在［0，T］×R上连续，所以exN′（d1）在［0，T］×R上有界，即存在常数M2＞0对任意的（t，x）∈［0，T］×R有（20）

下面证明exN′（d1）在［0，T］×R上有界.当x＞M4时，存在正常数M4使得d1＜0，此时

进一步，取y = x - ln K - 4-1f0（0，0）T，可得

其中M5为只依赖K，f（0，0）和T的正常数.从而由洛必达法则，容易得到

故exN（d1）在［0，T］×［M4，+∞）上有界.此外当x→-∞时，显然有

所以exN（d1）在［0，T］×（-∞，M4］上也有界.因此存在常数M6＞0，对任意的（t，x）∈［0，T］×R有

将公式（20），（21）代入公式（18）可得定理证明.

引理3当T足够小时，Rn（x，t）在［0，T］×R+上一致有界，即存在不依赖n，x和t的正常数M7，使得|Rn（t，x）|≤M7.

证明过程类似文献［9］之引理2.6，只需用引理2代替文献［9］的引理2.5，这里不再赘述.

综合以上引理，有定理3和定理4这两个误差结论成立.

定理3存在不依赖时间变量t，S和J的正常数M，使得

证考虑到

这里只需证明如下不等式成立

令E0（t，x）= V0（t，x）- V（t，x），易得

又因为

故联立公式（23）和公式（24），E0（t，x）为抛物初值问题

的解，其中

接下来分两步完成定理证明.

第一步寻找（25）的上下解.

由公式（13）得

利用上式和引理2可得对任意的（t，x）∈［0，T］×R+，h0（t，x）满足

将公式（26）代入抛物问题（25）的主方程得

其中

由极值原理可知，抛物方程（25）的解E0（t，x）满足

其中˜E0（t，x）和¯E0（t，x）为下述两个方程的解

第二步应用Green函数寻找（25）的上界.

由文献［7］可知，抛物问题（28）和抛物问题（29）存在Green函数G（x，y，t，τ）使得

进一步由文献［8］第四章第十六节可知，存在正常数M8和M9使得

将公式（30）-公式（32）代入公式（27），可得

进行积分换元，容易得到

将上述公式代入公式（33），可知

显然瑕积分∫T0τ-1/2dτ是收敛的，因此定义

可得公式（22）成立.

证因为定理3已经证明当n = 0时定理结论成立，所以在本定理证明过程中，始终假设n≥1.考虑到

因此只需要证明

到En（T，x）= 0，并且

进一步整理化简，hn（t，x）还可以表示为

因此En（t，x）为如下偏微分方程初值问题的解

下面分两步完成定理证明.

第一步估计hn（t，x）.

利用公式（13），可得

将公式（37）代入公式（35）并利用引理2和引理3可得，hn（x，t）满足如下形式的估计

并且

第二步运用Green函数寻找|En（t，x）|的上界.

由文献［7-8］可知，抛物方程（36）存在Green函数使得

将公式（38）和公式（40）代入公式（39），容易得到

利用分部积分，可以得到

将公式（42）代入公式（41），可得|En（t，x）|的一个上界

可得定理证明.

§4　数值算例

为了验证方法的有效性，本节对具有固定执行价格的几何平均亚式期权进行数值分析（其解析定价结论见定理2）.根据文献［6］的结果，当波动率和利率为常数时，几何平均亚式看涨期权是有精确解的，这里假定波动率为常数σ，并存在小参数扰动使得σ=σ0+ε.接下来将本文所得近似结论（定理2）和文献［6］所得精确结果进行比对.

假定购买期权合约时间是0时刻，期权合约规定的交割日期是1年（T = 1）.由于几何平均亚式看涨期权只规定了期权持有者的权利没有规定义务，因此在0时刻就必须支付对方一定的期权金，这个金额就可以采用定理2来计算.考虑该组期货的一个一年期的几何平均亚式看涨期权（T = 1），根据2015年银行整存整取的银行存款利率，这里取r = 0.0495（2015年10月24日公布的六个月以内贷款利率），此外假定期权合约的交割价格K = 100，波动率σ= 0.5，则Ci的Matlab结果如下（注意在0时刻股票价格S0和路径因子J0是相等的，因此在表格中路径因子的数值就不单独列出）

表1　几何平均亚式看涨期权（ε= 0.1）

表2　几何平均亚式看涨期权（ε= 0.2）

表1和表2描述的精确值为诺贝尔奖经济学奖获得者Black和Merton给出的著名结果，见文献［6］. Cn为定理2所述级数解的n阶近似，即¯Cn（t，S）= C0（t，S）+εC1（t，S）+···+εnCn（t，S）.观察上述表格可以看出随着阶数n的增大，近似解Cn逐步逼近期权价格的精确解.同时对比表格表1和表2也可以看出当ε= 0.1时，C3已经比较接近真是价格，当ε= 0.2时，需要计算到C5才有比较好的近似结果，这说明ε越小逼近的速度越快，这恰与定理4所得误差估计结论相符.

［1］沈明轩，何朝林.分数布朗运动环境中几何平均亚式期权的定价［J］.山东大学学报理学版，2013，48（3）: 48-52.

［2］孙玉东，师义民，谭伟.分数布朗运动环境下亚式期权定价的新方法［J］.工程数学学报，2012，2（2）: 173-178.

［3］周清，李超.分数Vasicek利率模型下几何平均亚式期权的定价公式［J］.应用数学学报，2014，37（4）: 662-675.

［4］孙玉东，师义民.混合分数布朗运动环境下亚式期权定价［J］.经济数学，2011，28（1）: 49-51.

［5］董艳，贺兴时.屏蔽数据情形下几何平均亚式期权公式模型［J］.数学的实践与认识，2012，42（22）: 229-234.

［6］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法（第二版）［M］.高等教育出版社，2008.

［7］Chen Yazhe. The second order parabolic partial differential equations［M］. Beijing: Peking University Press，2002.

［8］Ladyzenskaja O A，Solonikov V A，Uralceva N N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type［M］. New York: American Mathematical Society，1964.

［9］孙玉东.非线性Black-Scholes期权定价模型研究［D］.西安:西北工业大学，2014.

MR Subject Classification: 60H10；90A06

The pricing of geometric average Asian options under the nonlinear Black-Scholes model

LI Zhi-guang，KANG Shu-gui
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong 037009，China）

In this paper，the pricing problems of geometric average Asian options are studied under the nonlinear Black-Scholes model. Firstly，the partial differential equations for the Asian options are transformed into a series of parabolic equations with constant coefficients by the perturbation method of single-parameter. Secondly，the approximate pricing formulae of the geometric average Asian options are given by solving those parabolic equations with constant coefficients. Finally，the error estimates of the approximate solutions are given by using Green function.

geometric average Asian options；nonlinear Black-Scholes model；Green function；error estimates

O211.6；F830.9

A

1000-4424（2016）01-0039-11

2015-01-26

2015-12-09

山西省自然科学基金（2008011002-1）；山西省高等教育发展基金（20101109；20111020）