非线性Black-Scholes模型下Bala期权定价

董艳

（陕西铁路工程职业技术学院基础部，陕西渭南714000）



非线性Black-Scholes模型下Bala期权定价

董艳

（陕西铁路工程职业技术学院基础部，陕西渭南714000）

在非线性Black-Scholes模型下，研究了Bala期权定价问题.首先利用双参数摄动方法，将Bala期权适合的偏微分方程分解成一系列常系数抛物方程.其次通过计算这些常系数抛物型方程的解，给出了Bala期权的近似定价公式.最后利用Green函数分析了近似结论的误差估计.

Bala期权；非线性Black-Scholes模型；Green函数；误差估计

§1　引　言

近些年来有关障碍期权的研究工作已有一些文献，文献［1］研究了分数布朗运动环境下欧式障碍期权定价问题，利用偏微分方程方法给出了欧式障碍期权的显示解，并给出了看张看跌之间的平价关系.文献［2］和文献［3］则是从数值模拟的角度出发，利用蒙特卡罗模拟研究了障碍期权定价问题.胡文伟和李湛在文献［4］中采用二叉树方法研究了障碍期权定价问题.文献［5］则放弃了原生资产波动率和收益率的常数假设，在较为一般的模型基础之上，研究了障碍期权定价问题，将障碍期权满足的抛物初值问题做近似化处理，给出了障碍期权的一个近似解析表达式，并给出了相应的误差估计.

遗憾的是上述文献均是研究普通障碍期权所得结论，近些年来，越来越多的学者发现了障碍期权存在的某些不足:对于敲出障碍期权的持有者而言，当原生资产价格触及到障碍值时会导致期权立刻失效，他就失去了全部的投资.为了克服这一不足，金融实践家们衍生出了Bala期权.

下降敲出类型的Bala期权设置了另一种缓冲措施，该期权合约设置了一个“期权失效计时器”.当原生资产价格St在障碍值B的下方停留总时间达到规定的时长D后，期权全部失效，否则期权转化为欧式看跌期权.因此期权在到期日T时的收益为

（K - ST）+I｛τT＜D｝，

其中τt的定义见公式（2）.易得当D→0时，下降敲出类型的Bala期权就转化为下降敲出看跌障碍期权；当时，该Bala期权则转化为标准的欧式看跌期权.除此Bala期权还有很多类型，本文只研究其中的一种情况，至于其他Bala期权的相关结论可类推本文证明.

目前近些年来有关Bala期权定价还没有专门的文献，姜礼尚在文献［6］中给出了Bala期权适合的偏微分方程模型，并给出了相应的优先差分格式.由于Bala期权适合的偏微分方程结构复杂（它甚至都不是抛物方程），以目前的研究手段寻找Bala期权的精确解析解是困难的.

既然对于Bala期权不能得到其精确解析定价公式，那么找到一个数学上一致性和严密的近似解也不失为一个很好的研究方向.基于此，本文在混合分数布朗运动驱动的非线性Black-Scholes模型下研究阶梯期权定价问题，其中原生资产价格St满足非线性随机微分方程

无风险资产价格Mt满足

其中S0＞0为原生资产的初始价格，wt为标准布朗运动，µ（t，St）表示风险资产的期望收益率，σ0（t，St；ε）表示风险资产的波动率，ε（0＜ε＜1）为摄动参数，µ（t，St）和σ0（t，St；ε）为时间t和股票价格St的一般函数.

如果用常数r表示无风险资产的利率，P（t，τ，S）表示下降敲出类型的看跌Bala期权的价格，用C（t，τ，S）表示相应的看涨Bala期权的价格，由文献［6］易得P（t，τ，S）和C（t，τ，S）为如下两个偏微分方程初值问题的解

其中算子L为

接下来，将采用多尺度方法给出两种阶梯期权的定价公式，并采用Feymann-Kac公式给出结论的误差估计.本文提供的方法同样适合其他期权，例如欧式期权、亚式期权以及回望期权.

§2　多尺度方法

为方便叙述，首先定义如下的符号

其中

容易看出公式（5）提供了一个由P（t，τ，S）到V（t，τ，x）的变换，并且在该变换下偏微分方程问题（1）变为

假定当ε= 0时f（t，x；ε）为与t和x无关的常数，即f（t，x；0）= f0（0，0），并且f（t，x；ε）可以根据泰勒公式在ε= 0附近展成如下形式的幂级数

fn（t，x）表示f（t，x；ε）对ε的n阶导数在ε= 0处的值.由于f（t，x；ε）=σ2（t，ex；ε）＞0，所以这里假设f0（0，0）＞0.

下面以公式（6）为研究对象采用多尺度方法（双参数摄动展开方法）去处理Bala期权定价问题.根据多尺度方法的中心思想［7-8］，将V（t，τ，x）在（ε，η）=（0，0）附近展开成幂级数

并将上述级数代入偏微分方程初值问题（6）的主方程，有

比较ε和η同次幂的系数，可以得到

由x和t的任意性，可令ε和η的相同次幂项的系数为零，从而

其中

易见，当（n，m）=（0，0）时，gn，m（t，τ，x）= 0，同时经过整理gn，m（t，τ，x）也可以写成如下形式

最后根据公式（8）将偏微分方程初值问题（6）的初值条件进行分解，则抛物型方程（6）的求解问题转化为一系列常系数抛物方程初值问题，并且这些常系数抛物初值问题是可解的，其中V0，0（t，τ，x）为抛物方程初值问题

的解，Vn，m（t，τ，x）是如下抛物方程初值问题的解

下面依次计算Vn，m，n = 0，1，2，···，m = 0，1，2，···.另一方面，观察抛物初值问题（12）和（13）可以看出，主方程中不含变量τ，它只作为参量出现在初值条件中，所以在以后的证明过程中将其视为常数.此外，公式（11）中gn，m（t，τ，x）不包含Vi，j（i＜n，j＜m）这样的项，这是最后一节能进行误差分析的关键.

§3　期权定价公式

引理1若V0，0（t，τ，x）是常系数抛物方程初值问题（12）的解，则它可表示为

其中N（x）表示标准正态分布的概率累积函数，

证对于首项V0，0（t，τ，x），首先考虑如下的变换

其中

若将τ视为常数，则常系数抛物初值问题（12）在变换（14）下可以写为

从而利用Poisson公式可知，抛物初值问题（15）的解为

其中

将初值条件带入并进行积分运算，可得

利用变换（14）回到可得定理结论.

接下来求解Vn，m（t，τ，x）（n，m = 0，1，2，···）.观察公式（11）可知，gn，m（t，τ，x）仅仅与

有关，而与∂xxVn，m-∂xVn，m，0＜η＜1无关，这启发采用递推法完成如下结论的证明.

引理2线性抛物方程（13）的解可表示为

其中

证注意到计算Vn，m（t，τ，x）时，gn，m（t，τ，x）是已知的，因此将τ视为常数，并作变换

则抛物方程初值问题（30）可以转化为如下形式

注意到gn，m（t，τ，x）是解析的以及˜gn，m（s，τ，x）= exp｛-αx-βs｝gn，m（T -s，τ，x），根据文献［9-10］，抛物初值问题（18）的解可表示为

对变换（17）进行逆变换可完成定理证明.

观察引理1，引理2以及公式（11），易得

这里δ（·）为狄利克雷函数，将上式代入gn，m（t，τ，x）的表达式有如下结论成立.

定理3若P（t，S）表示下降敲出类型的Bala看跌期权的价格，则它可以表示为

其中

Vn，m（t，τ，x）见引理2.

定理4若C（t，τ，S）表示下降敲出类型的Bala看涨期权的价格，则它可以表示为

其中

Vn，m（t，τ，x）的表示方法与定理3相同.

观察定理3和定理4容易验证，当τ＞D时，

从而当τ＞D时，有C（t，τ，S）= P（t，τ，S）= 0，这恰与文献［6］描述的事实相符.

§4　误差估计

本节，将在如下假设的基础之上进一步考虑近似结论的误差估计问题:

（2）假设fn（t，x）在［0，T］×R+上一致有界，即对任意的（t，x）∈［0，T］×R+以及任意正整数n，存在正常数M0，使得

并假定对任意的（t，x）∈［0，T］×R+有

上面的假设也意味着f（t，x；ε）和f（t，x；ε）均满足Lipschtiz条件和线性增长条件.事实上，由公式（7）和公式（23）可知对任意的（t，x）∈［0，T］×R有

显然f（t，x；ε）和f（t，x；ε）在（t，x）∈［0，T］×R上关于x满足线性增长条件.由公式（43）可得

因此f（t，x；ε）也关于变量x满足一致Lipschtiz条件.

为了方便证明，还需要两个有关Rn，m（t，τ，x）=∂xxVn，m-∂xVn，m的引理，在以后的证明中经常用到它们.

引理5对任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R，存在不依赖t，τ和x的正常数M1使得

证由引理1直接计算容易得到

进一步，利用公式（27）和公式（28）以及引理1有

将公式（29）和公式（30）代入R0，0（t，τ，x）可得

容易验证对任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R都有

因此exp｛x｝N′（a2）在［0，T］×R上有界，即存在正常数M3使得

进一步，由文献［10］第四章第十六节可知，存在正常数M4和M5，使得

将公式（32）代入公式（31）得到

因此公式（26）中第二个不等式成立.

引理6当T足够小时，对任意的非负整数n和m（n2+ m2＞0），存在不依赖x和t的非负常数M6和M7，使得

证明可类推文献［11］之引理2.6，只需用引理3代替文献［11］之引理2.4.

值得注意的是，上述证明得以进行是因为构造的多尺度方法使得gn，m（t，τ，x）的表达式可以写成Vn，j（t，τ，x）和Vi，m（t，τ，x）的组合，其表达式并不包含Vi，j（t，τ，x）这样的项，0≤i＜n，0≤j＜m.

引理7对任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R有

证由引理6可知

进一步联立公式（39）可以得到

因此利用文献［12］中定理11.1，可得

引理7表明: V（t，τ，x）对变量τ的偏导数与V（t，τ，x）成线性关系，这意味着Lε，ηV（t，τ，x）具有抛物算子性质，即

这说明算子Lε，η为抛物算子，因此本文可以根据抛物方程的Feyman-Kac公式研究V（t，τ，x）的近似解的误差估计问题，下面给出本节的两个主要结论.

定理8当T足够小时，存在不依赖τ，x和t的正常数，使得

证考虑C（t，τ，S）和V（t，τ，x）的对应关系，这里只需证明

成立.令x = ln S，E0，0（t，τ，x）= V0，0（t，τ，x）- V（t，τ，x），显然

又因为Lε，ηV（t，τ，x）= 0，L0V0，0（t，τ，x）= 0，所以

故联立公式（34）和公式（35），E0（t，x）为偏微分方程初值问题

的解，其中

利用公式（33），上述偏微分方程初值问题可以被重新写为

一方面，由引理5可得

又由公式（22），对任意的（t，x）∈［0，T］×R+，

注意到0＜η＜1，由中值定理可知，存在θ∈（0，η）使得

因此将公式（26）和公式（40）代入公式（37），对任意的（t，x）∈［0，T］×R+，h0，0（t，x）满足

另一方面，运用Feymann-Kac公式可知［13］，抛物初值问题（38）的解可以表示为如下形式的条件概率问题

其中Xt适合随机微分方程

t≤s≤T，Xt= x.因为公式（23）-公式（25）已经证明f（t，x；ε）和f（t，x；ε）关于变量x满足线性增长条件和一致Lipschtiz条件，所以由文献［13］可知，随机微分方程（44）的解是存在且唯一的.最后，将公式（42）代入公式（43）可得E（t，x）的一个估计

定理9假定T足够小并且存在正整数ω0使得

证类似定理7，这里只需证明

其中

显然En（t，τ，x）满足如下的初值条件

又因为Lε，ηV（t，τ，x）= 0，

所以有

其中

故联立公式（46）和公式（47），En（t，x）为如下抛物初值问题的解

为估计hn（t，x），利用公式（22），可得对任意的（t，τ，x）∈［0，T］×［0，T］×R有

又因为0＜η＜1，利用带有Lagrange余项的泰勒公式

将公式（50）和公式（51）代入公式（48），hn（x，t）满足如下形式的估计

进一步将引理5和引理6中的结论代入公式（52）可得

由Feynman-Kac公式可知，抛物初值问题（49）的解可表示为如下形式的条件概率问题

其中Xτ满足随机微分方程（66）.将公式（53）代入公式（54）可知，En（t，x）满足估计式

［1］霍海峰，温鲜，邓国和.分数次布朗运动的欧式障碍期权定价［J］.经济数学，2009，26（4）: 97-103.

［2］徐腾飞，曹小龙，胡云姣.离散障碍期权定价的蒙特卡罗模拟［J］.北京化工大学学报（自然科学版），2013，40（3）: 123-127.

［3］张利花，张卫国，许文坤.美式障碍期权定价的总体最小二乘拟蒙特卡罗模拟方法［J］.数理统计与管理，2013，32（5）: 923-930.

［4］胡文伟，李湛.基于二叉树方法的障碍期权与标准期权差价分析模型［J］.上海交通大学学报，2012，46（5）: 825-831.

［5］孙玉东，师义民，吴敏.参数依赖股票价格情形下的障碍期权定价［J］.数学物理学报，2013，33（5）: 912-925.

［6］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法（第二版）［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［7］瓦西里耶娃，布图索夫.奇异摄动方程解的渐近展开［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［8］郑连存，张欣欣.非线性偏微分方程近代分析方法［M］.北京：科学出版社，2011.

［9］Chen Yazhe. The second order parabolic partial differential equations［M］. Beijing: Peking University Press，2002.

［10］Ladyzenskaja O A，Solonikov V A，Uralceva N N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type［M］. New York: American Mathematical Society，1964.

［11］孙玉东.非线性Black-Scholes期权定价模型研究［D］.西安:西北工业大学，2014.

［12］欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析第三版上册［M］.北京:高等教育出版社，2015.

［13］金志明.随机分析基础［M］.北京:国防工业出版社，2001.

MR Subject Classification: 60H10；90A06

The pricing of Bala options under the nonlinear Black-Scholes model

DONG Yan
（Department of Basic，Shaanxi Railway Institute，Weinan 714000，China）

In this paper，the pricing problems of Bala options are studied under the nonlinear Black-Scholes model. Firstly，the partial differential equations for the Bala options are transformed into a series of parabolic equations with constant coefficients by the perturbation method of doubleparameter. Secondly，the approximate pricing formulae of the Bala options are given by solving those parabolic equations with constant coefficients. Finally，the error estimates of the approximate solutions are given by using Green function.

Bala options；nonlinear Black-Scholes model；Green function；error estimates

O211.6；F830.9

A

1000-4424（2016）01-0009-12

2015-03-22

2015-10-25

陕西铁路工程职业技术学院基金（2015-08）