磷烯低能有效哈密顿的Berry相位计算研究
2016-06-27富笑男秦志杰
王 洋, 富笑男， 秦志杰， 乔 崇， 贾 瑜
(1.河南工业大学 理学院 河南 郑州450001; 2.郑州大学 物理工程学院 河南 郑州450001)
磷烯低能有效哈密顿的Berry相位计算研究
王 洋1, 富笑男1， 秦志杰2， 乔 崇2， 贾 瑜2
(1.河南工业大学 理学院 河南 郑州450001; 2.郑州大学 物理工程学院 河南 郑州450001)
基于紧束缚近似方法计算磷烯低能有效哈密顿的Berry相位，并与石墨烯的Berry相位进行了对比.研究了外加磁场对磷烯Berry相位的影响，发现可以通过外加磁场调节磷烯的Berry相位，将其数值调节到π的整数倍，因此磷烯也可以通过外加磁场实现整数量子霍尔效应.
贝里相位； 磷烯； 量子霍尔效应
0 引言
2014年，二维黑磷(磷烯)首次在实验室中被制备出来，因其具有极高的电子迁移率以及存在一个直接带隙，使得它极有可能成为石墨烯的替代品[1].基于紧束缚近似模型研究磷烯能带性质的研究工作已有很多.文献[2]建立了磷烯晶体的四能带紧束缚模型，利用磷烯晶体的C2h点群对称性，将四能带紧束缚模型简化为二能带紧束缚模型，进而约化出二能带紧束缚模型的哈密顿.文献[3]研究了磷烯中电子的自旋-轨道耦合对磷烯紧束缚哈密顿的影响，并给出了能谱.文献[4]在此基础上研究了外加磁场下磷烯电子的朗道能级和量子霍尔效应，但对磷烯Berry相位的研究尚未见报道.本文基于紧束缚近似方法计算了磷烯的Berry相位，与石墨烯的Berry相位进行了对比，并研究了外加磁场对磷烯Berry相位的影响，提出磷烯也可以通过外加磁场实现整数量子霍尔效应.
1 磷烯的低能有效哈密顿
磷烯的紧束缚近似哈密顿可以用二次量子化语言写为
(1)
式中：ci†为第i个格点上的电子产生算符；cj为第j个格点上的电子湮灭算符.对最近邻的格点进行求和，近邻格点之间的跃迁参数如图1所示，图中t1=-1.220 eV，t2=3.665 eV，t3=-0.205 eV，t4=-0.105 eV，t5=-0.055 eV[5].
图1 磷烯中近邻格点之间的跃迁参数
磷烯的二能带哈密顿[5]为
(2)
将二能带哈密顿在布里渊区Γ点附近做泰勒展开至晶格动量的二阶项，得到低能有效哈密顿为
(3)
δ=1.014 5 eV.
2 磷烯Berry相位的计算
首先讨论无外加磁场时磷烯的Berry相位，磷烯的有效哈密顿的本征方程为
(4)
解得色散关系和本征矢为
在复平面上本征矢可以写为
(5)
(6)
注意到(6)式第二个等号右边第一项是一个全微分，其在带边流形上的积分为0，因此可忽略此项，将Berry联络取为
A=(1+R2)-1R2dθk,
(7)
则Berry相位为
(8)
积分路径沿着磷烯第一布里渊区的边界，注意到
R2=M2+N2=1.
(9)
所以，
(10)
而θ(π,π)=0.138 855π，θ(-π,-π)=-0.138 855π，所以无外加磁场时磷烯的Berry相位为
Φ=0.277 7π.
(11)
其次讨论在Z方向有外加磁场时磷烯的Berry相位，磷烯的有效哈密顿的本征方程为
(12)
计算得Berry联络为
(13)
(14)
3 结果与讨论
3.1 磷烯与石墨烯的Berry相位对比
石墨烯第一布里渊区边界的绝热演化给出的Berry相位为π[6]，这源于石墨烯晶格良好的对称性.磷烯的晶格虽是六角晶格，但是其中电子形成的sp3杂化轨道使其晶体结构呈波浪形，这导致磷烯的Berry相位是0.277 7π，并不是π的整数倍.
3.2 外加磁场对磷烯的Berry 相位的调控
利用沿着Z方向外加磁场,可连续地调节磷烯的Berry 相位.当Z方向有外加磁场时，磷烯的Berry 相位的表达式为(14)式，可见磷烯的Berry相位Φ是外加磁场B的一元函数.据此可以通过改变磁场强度将磷烯的Berry相位调节为π的整数倍.例如，如图2所示，当磁场强度为-2.972 T时，磷烯的Berry相位为11π.
另外，当外加磁场为0时，磷烯的Berry相位应当与无外加磁场时磷烯的Berry相位是一样的，事实正是如此，如果将(14)式中的磁场B设置为0，那么如图3所示，当磁场强度为0时，磷烯的Berry相位确实为0.277 7π.这与不加磁场时的磷烯Berry相位相同，说明本文所采用的理论模型与方法是自洽的.
图2 磷烯的Berry相位随Z方向的外加磁场的变化曲线(局部图)
图3 磷烯的Berry相位随Z方向的外加磁场的变化曲线(整体图)
4 小结
基于磷烯与单层石墨烯的紧束缚二能带模型，计算了磷烯与单层石墨烯的低能有效哈密顿的Berry相位.与单层石墨烯的Berry相位相比，磷烯的Berry相位并不是π的整数倍.但是可以通过外加磁场对磷烯的Berry相位进行调控，将其调整为π的整数倍.因此，在理论上提出：与石墨烯一样，磷烯也可通过外加磁场实现整数量子霍尔效应.
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(责任编辑：孔 薇)
The Research on the Berry Phase of an Effective Hamiltonian at Low Energy of Phosphorene
WANG Yang1， FU Xiaonan1， QIN Zhijie2， QIAO Chong2, JIA Yu2
(1.CollegeofScience,HenanUniversityofTechnology,Zhengzhou450001,China;2.SchoolofPhysicsandEngineering,ZhengzhouUniversity，Zhengzhou450001,China)
The Berry phase of an effective Hamiltonian at low energy case of monolayer phosphorene was calculated，and compared with the Berry phase of graphene. It was found that external magnetic field could influence the Berry phase of the monolayer phosphorene. The Berry phase of the monolayer phosphorene could be adjusted to integral multiple of π by external magnetic field. Therefore, it was possible to realize quantum Hall effect in monolayer phosphorene by external magnetic field.
Berry phase; phosphorene; quantum Hall effect
2015-11-11
王洋(1988—)，男，山东东营人，硕士研究生，主要从事凝聚态输运理论研究，E-mail:173493731@qq.com；通讯作者：贾瑜(1964—)，男，河南民权人，教授，博士，主要从事材料特性模拟及量子生长与调控研究，E-mail:jiayu@zzu.edu.cn．
王洋,富笑男，秦志杰，等.磷烯低能有效哈密顿的Berry相位计算研究[J].郑州大学学报(理学版)，2016,48(2)：71-73.
O469
A
1671-6841(2016)02-0071-03
10.13705/j.issn.1671-6841.2015239
