让学生经历和体会“试”的感觉——除法试商起始教学的一点建议

杨健辉



让学生经历和体会“试”的感觉
——除法试商起始教学的一点建议

杨健辉

时下许多教学资源中对整数除法的意义、除法竖式写法及意义、除法竖式中商的写法等有了很多的研究和文献，然而对于试商，特别是对试商起步阶段教学的相关研究还关注得不够。很多时候，学生在笔算一位数除多位数、两位数除多位数的时候用到了一些试商的方法和技巧，却对为什么要试商，甚至什么是试商等问题都不清楚。显然，这种情况会极大地影响学生继续学习除法计算的效果，也自然引起了我们的关注和深思。

一、问题的提出

这是一个奇怪的现象：教师在教学多位数除法时会苦口婆心地告诫学生试商时要注意什么，而且学生也会很努力地按要求去做和解题，但过后仍然有不少教师反映学生的计算速度慢，且经常出错。好奇之下，我曾问过一部分学生“什么是试商”“为什么要试商”之类的问题，几乎没有几个学生能够回答。更可怕的是同样的问题也曾问过许多一线数学教师，也没有几个人能将这些问题说明白、说透彻。那么究竟是什么原因导致了学生在计算时出现犹豫、茫然、速度缓慢等现象呢？我们不妨回过头来看看学生接触到“试商”这个知识点的前前后后。

1.试商教学内容的梳理

试商是整数除法计算中公认的难点，也是计算教学的难点之一。人教版教材中关于整数除法的教学内容是这样安排的：从二年级下册开始，分别有三个单元是讲述除法教学的内容：表内除法（一）、表内除法（二）、有余数的除法，其中表内除法（一）、（二）包括除法的意义、用口诀求商等内容；而在有余数的除法单元则包含了有余数除法的意义、性质、除法竖式写法以及教学试商（初次）等4个例题（另有2个例题是解决问题）。在三年级下册则安排了教学除数是一位数的除法。四年级上册安排了教学除数是两位数的除法等（其中北师大版教材二年级部分与人教版相同），这几个部分的内容都是要用到试商的。【自叹：单看二年级下册一个学期内容的安排中就有3个单元与除法相关，学生的学习负担绝对过大。对此笔者有一建议：不妨将此处孤单的例题4（仅讲试商）内容移至三年级上册教材中作为一个小专题，这样既可减轻此处的过重负担，也可避免三年级上学期几乎没除法的学习空白，此当另说，仅供参考】

从前述分析我们可以看出，学生第一次遇到试商是在二年级下学期学习表内除法和有余数的除法时。前者是因为在表内除法部分用乘法口诀求（找到）商本身就有“试”的过程与味道（尝试找对应的口诀）。而在有余数的除法部分则要求提高：二年级下册的教师用书在有余数的除法单元目标中，首次提出了让学生“初步掌握试商的基本方法”的表述，为此新修订的教材中增加了有关教学试商的例题4，并且这个例题还是首次离开具体情境直接用竖式计算。正是由于脱离了具体操作来求商，教师必然还是引导学生通过想乘法口诀来求商。但此处用到的试商方法与表内除法部分出现的口算直接可以求商相比，学生出现了一个具体的困难：此时根据被除数找不到与之直接对应的乘法口诀，学生无法马上或直接找到商。

2.有关试商的算理分析

除法在四则运算中别具一格，它不像加、减、乘法那样，只按照一个简单的法则就能够求出一个准确的结果。特别是在除法竖式计算时，对于商中的每个数字都要经过试探才能确定。这是因为在计算除法时，根据乘、除法之间的相逆关系，还是要回到借助乘法口诀来求商。在表内除法单元中，所遇到的除法算式中的被除数可以在乘法口诀中找到对应的数（口诀中的计算结果），所以学生此时的试商过程基本上就是通过背记口诀而写出商。而在学习有余数除法的竖式计算过程中，学生通常会碰到整数除法学习的两个难点。第一个难点是，在用除法竖式进行计算时，所涉及的运算包含了加、减、乘三种运算，学生需要按照一定的顺序、规则和格式计算并书写。这个过程对二年级的学生来说不仅比较复杂，还有一定的难度，需要一段时间的模仿和练习才能掌握与消化（例3就是讲竖式的写法和意义）。第二个难点是，由于要利用乘法口诀来找商，学生面对竖式里的被除数一时难以想到究竟要用哪句乘法口诀来找商，因此需要经历一个尝试的过程：第一步是想，看除数是几，就想与几有关的口诀；第二步是试，在这些口诀中试找出满足一个数与除数相乘能最接近被除数的那句乘法口诀；第三步是比，不仅要比较找到的那个数跟除数的乘积与被除数的大小，还要满足这个乘积不能超过被除数、且两者相减余下的数要比除数小，在此基础上确定具体的商（不完全商，以下简称商）。以43÷7为例（例题4），由于在乘法口诀中找不到某一个整数乘7，能得到43，但是能够找到一个数6与7的积（42）小于43，而（6+1）乘7的积（49）大于43，从43中减去6与7的积（42），还余1，即43=6×7+1。这里的6叫做不完全商（简称商），1是余数。这里寻找到6的思考过程就是所谓的试商过程。

由上述的分析可知，通常我们计算整数除法时，根据乘、除法之间的相逆关系以及除法性质，最后还是要回到借助乘法口诀来求商，因此这个按一定的规则寻找和思考商的过程就是试商。这不仅是试商的由来，也是试商的基本思路与方法。

从以上的分析中我们可以发现，在进行试商的起始教学时，教师怎么样给予学生一个足够的时空、搭建一个尝试平台，让学生明晰试商的由来和含义，初步体会试商的基本方法和要求是教学的重中之重。至于试商的各种方法、技巧等可在学生明白了试商的由来与意义的基础上，逐渐加以积累和完善。

二、教学改进分析

1.教学定位

由于本节课的有余数除法计算不再借助具体的操作，而是让学生利用除法竖式，直接想乘法口诀寻找商，所以学生的思考过程会遇到比较大的困难。其一，这个知识点有太多的概念、方法、规则和要求（包括上节课刚接触到的竖式写法、被除数与商和除数乘积的差、所得的商要使商和除数的乘积最接近被除数、余数不能大于除数等）。其二，寻求答案的过程有太多的思维步骤，要经历“想—试—比”的过程（如前述分析），显然这对于学生来说太多了、太难了！但由于本课的试商内容是今后学习一位数除多位数、两位数除多位数笔算试商的重要基础，也是除法学习中一个重要的节点，因此这部分的知识又必须让学生学好。在目前教材没有调整和另外安排的情况下，我们可秉承“一课一得，课课有得”的原则，根据教学实际，慎重思考，精心规划：一方面是严格控制难度，不要过早、过高地讲术语、赶进度来要求学生；另一方面要深入了解学情，用学生能够接受的方式，给予较充裕的时空、提供尝试的平台、实施简明的教学程序等，帮助学生感受试商的由来、基本方法及要求，做到开好头、缓起步、慢推进，实现一课一得（本课重在让学生明白试商的意义及最简单的方法和要求）、课课有得（在接下去的教学中逐步学习和积累方法、技巧）的目的。

2.改进设想

我们认为“例题4：用竖式计算43÷7=”教学的关键是让学生充分体验试商的过程，并想方设法把学生的“想口诀作比较”，即试商的思维过程显性化，以便在交流时帮助学生初步明白试商的由来、思路和方法，比较选优，积累经验。

改进的设想如下：将例4的横式与竖式都展示在学习单上（如下图），在横式下多提供几个竖式的空白图，并且告诉学生可以把自己的想法填写在学习单上的竖式中，如果第一次找的商不合适，请不要擦，而是直接在第二个竖式上重新计算，直到找到合适的商为止。

这样的设计主要是让学生能有一个较充分的经历尝试找商的过程，降低了试商的思维难度。同时所提供的含有多个竖式的学习单，也可以让学生体验逐次试商的优化思想。

3.具体实践（教学片段）

（1）引导方向

出示例4：43÷7。

师生对话：试试用乘法口诀来解决吧。根据以往的经验，你会想到用几的乘法口诀？（学生交谈）

（2）自主尝试

给出若干竖式模版学习单，引导学生尝试、体验寻找商的过程，并思考：

①你用了哪句乘法口诀来找商？

②你怎么知道找到的商是合适的？

（3）小组交流

请在小组内互相说一说你用了哪一句口诀，并说说自己是怎样想的。

（4）研讨方法

学生独立尝试找商后可以安排交流讨论活动，其教学预设是：

预设一：若绝大部分学生首次就直接试商6，我们可先让学生汇报商6的试商过程，再通过商讨试商5和试商7的不合适理由，进一步体验试商6的方法与过程。

预设二：若绝大部分学生经过几次试商仍感觉混乱或茫然，我们可以采用先借助学生作品进行比较，再选择和确定结果的方式获得认同。比如，通过探讨试商3、5、6、7等过程的结果，逐步帮助学生体验试商的由来、方向和方法。

其实无论是哪种预设，都可以给学生提供多次尝试找商的机会，形成一个寻找的空间，搭建一个尝试的平台。

师：老师发现试用5、6、7作商的同学最多，大家评议一下，哪一个才是合适的商呢？

①议论为什么觉得商5不合适呢？（板书：余数要比除数小）

②辩论：那为什么不能商7呢？（板书：乘积要小于43）

③师：那商6呢？（补充板书：7和6相乘的积接近43，而且小于43，因此就把6作为商，还余1，表示43÷7商6余1）

（5）看书回顾

学生阅读课本再次确认方法，回顾寻找（试）商的过程。教师同时指出：这个寻找是需要一个练习过程的，开始时有可能一试就准，也有可能要经过几次尝试才能找到，但经过努力练习，能够越来越快地帮助我们找到这个商。

（6）模仿练习（略）

4.实践体会

试商的关键在于试的过程。因此本例教学的核心之处就在于学生在教师引导下先找口诀，再借助竖式图进行独立尝试，然后通过交流讨论进行算法比较，规范方法。“看书回顾”是一个重要的反思消化环节，让学生初步明晰试商的由来、知道试商是一回什么事以及面对试商可以怎么样，这也是对学生的学习态度及方法的有效指导。当然，在三、四年级学习一位数除多位数、两位数除多位数除法时，教师也可以参照此处教学的思路，给学生时间和平台去理解、消化和熟悉试商的意义与方法，注意积小变大、积少变多、积慢变快的过程，确保学生在学习和掌握整数除法知识与技能时的到位、有效。

学生由于有了起始阶段的尝试，对接下来的试商学习更多的则是方法与技巧的积累和完善。此时的学生已初步经历和感受了“试”的过程，对试商的过程以及试商的结果等有了一定的认识，可以适应新的挑战，在后续学习中往往也会有一些意想不到的效果。

（作者单位：广州市教育研究院）