对一道高考题的探究

彭文强　邵　利　卢道燕

(四川师范大学数学与软件科学学院，610068)

○数学探究○

对一道高考题的探究

彭文强邵利卢道燕

(四川师范大学数学与软件科学学院，610068)

2015年高考四川卷理科第20题是高考试题中考察圆锥曲线的典型类型.该题内涵丰富,具有进一步研究的价值．本文通过“特殊到一般”的归纳和“类比”思想对其展开了一系列的探究．

一、试题再现

(1) 求椭圆E的方程;

二、试题推广

原题中存在满足条件的点,根据从特殊到一般的思维,我们不禁思考,在特殊情况下存在,那么在一般的情形下也存在这样的点吗?答案是肯定的．

证明根据同样的特殊化处理思路:假设存在满足条件的Q点.

(1)当l与x轴平行时,有|PA|=|PB|.

所以Q必在y轴上,设为Q(0,t).

下面证明:对任意过点P的直线l,均有

①当l斜率不存在时,由上可知,结论成立.

②当l斜率存在时,设为k,则直线l:y=kx+m,记A(x1,y1),B(x2,y2).

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2

=0,

=0.

我们知道圆锥曲线包括:椭圆,双曲线,抛物线,圆．那么,这样的结论能类比到双曲线吗?答案是肯定的．

(证明与推论1类似,有兴趣读者请自证)

(证明与推论2类似,过程略)

那么,这样的结论还能类比到抛物线吗?答案也是肯定的．

证明假设存在满足条件的Q点，当l与x轴平行时,|PA|=|PB|.

x2-2pkx-2pm=0,

则x1+x2=2pk,x1x2=-2pm.

若要使kQA+kQB=0,即t=-m.

证毕．

(证明与推3类似,过程略)

类比到圆,我们有:

(1+k2)x2+2kmx+m2-r2=0,

验证知:

=0.

证毕．

推论4′中,点P在其竖直对称轴y=b上,而过圆心的直线都是圆的对称轴,若点P在其他的对称轴上,类似的结论是怎样的呢?有兴趣的读者可以进一步探究．