“直线的斜率”教学设计及反思

时训江

(江苏省南京市第十三中学,210008)

“直线的斜率”教学设计及反思

时训江

(江苏省南京市第十三中学,210008)

一、基本情况分析

本文是上半年南京市高中数学优质课评比活动中笔者执教的关于“直线的斜率”一节课的教学设计及反思．

1.教材及内容分析

直线的斜率是高中解析几何的起始课,揭开了解析几何研究的序幕．通过本节的学习,学生经历用几何与代数两种方法刻画直线方向的过程,初步感受用代数方法研究几何图形这一解析几何的本质方法.即先建立坐标系,将几何问题代数化,用代数语言描述几何要素及其相互关系．

不同版本教材对本节内容的展现顺序虽然存在差异,但都围绕“怎样刻画直线的倾斜程度”这一问题展开．人教版教材首先提出“倾斜角”的概念，再类比生活中坡度的概念,给出代数的一种表示方法,即利用数“tanα”刻画直线的方向,并定义斜率k=tanα.在此过程中,比较了代数方法和几何方法表示斜率的异同点．苏教版教材首先介绍了坡度的概念,再通过类比的方法得到了过两点的直线斜率的计算公式,继而给出倾斜角的概念,揭示倾斜角与斜率的关系,理解斜率的本质．虽然不同版本教材呈现的逻辑顺序不同,但都突出了“斜率”这一代数量表征直线方向的作用,体现解析几何基本研究思路．

2. 学情分析

本节课的授课对象来自省四星级高中一年级强化班,基础较好,有一定的自学能力、推理能力和探究能力．课前,学生已经学习了函数(含三角函数)、数列等知识,对函数“数”的表示形式——解析式、“形”的表示形式——图象有了一定的认识,初步体会了数形结合思想在解决数学问题中的作用．

3. 目标分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》(苏教版)必修2平面解析几何初步的起始课．学生在已有关于直线知识和经验的基础上,围绕“用什么量刻画直线的方向(倾斜程度)”这一问题,通过合作探究,学生经历用几何与代数方法刻画直线方向的过程,感受数形结合的思想方法．同时，学生经历直线倾斜角和斜率两个数学概念自主建构的过程,掌握过两点直线的斜率计算公式,以及掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系．

4. 重点难点分析

教学重点:直线的倾斜角和斜率的概念;直线的倾斜角和斜率之间的关系．

教学难点:如何选择刻画直线方向的数学量;如何自主建构数学概念．

二、教学过程

1. 创设情境 抽象本质

课前导语:华罗庚先生曾说:数无形时少直觉,形少数时难入微,几何代数流一体,永远联系莫分离．以形助数,以数解形,数形结合是解析几何研究的基本方法．直线是最基本的几何图形,本节课我们将在初中学习直线的基础上继续来研究直线．

师:请大家在平面直角坐标系内任意画几条直线．

教师巡视,请四位同学板演(指定黑板位置,学生书写，教师设置导引问题)．

问题1请观察这些直线有何不同?

生1:有的直线上升,有的直线下降．

生2:有的直线很陡峭,有的直线很平缓．

师:每条直线都有各自的特征,位置也各有不同,大家观察得很仔细,很好!

问题2确定直线位置的要素有哪些?

(激发学生思考,主动探究,自主选择)

师:大家讨论结果可以归纳如下,确定直线位置的要素:一是点(至少两个不同的点);二是直线倾斜程度．

我们知道点可以用直角坐标系内的坐标刻画,那么:

问题3用什么量刻画直线的方向(倾斜程度)呢?

继续引导学生观察所画的直线,小组交流讨论．

教师总结学生讨论结果,主要是选择以下量来刻画直线方向:几何量(角度),代数量(比值、向量)．

问题4如何用几何量刻画直线的方向(倾斜程度)?如何用代数量刻画直线的方向(倾斜程度)?

师:大家分个工,一、二两组同学主要选择几何量,三、四两组同学主要选择代数量,当然也可以都选择．

学生分组讨论,教师巡视(课堂气氛热烈).

两组分别汇报交流讨论结果．

问题5(1)图1中角(记为α)如何定义(顶点、起始边、范围等)?

引导学生回顾角的定义,用准确的数学语言来描述该角．

(2)如图2，向量的方向如何定义(起点和终点如何确定、两点的任意性等)?

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),根据向量的坐标运算.

上述表达式有什么特点?

问题6角度和比值有关系吗?

课堂气氛十分活跃,同学很快发现:

追问:当x1=x2时,情况如何?(数学概念的完备性)

2. 归纳总结 建构概念

引入课题:

“用角度和比值来刻画直线方向”就是今天我们要讨论的课题:直线的斜率(教师板书课题)

(1) 倾斜角的概念

倾斜角的概念:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为该直线的倾斜角.

并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．

问题7如何准确理解直线倾斜角的概念?

理解关键词:逆时针 最小正角.

导出倾斜角的取值范围:[0°,180°)．

(2) 斜率的概念

斜率的概念:已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果x1≠x2,那么该直线的斜率为

如果x1=x2,那么该直线的斜率不存在．

师:从形的角度,我们用倾斜角来刻画直线的倾斜程度;从数的角度,我们用斜率来刻画直线倾斜程度,数形结合,完美统一!

3. 巩固练习 深化理解

例1已知直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q1(-3,2),求直线l1,l2,l3的斜率.

解设k1,k2,k3分别表示直线l1,l2,l3的斜率,则

师:本例中,通过计算直线的斜率,感受直线斜率的符号与直线的方向之间的对应关系，体会数与形的相关关系．

例2经过点(3,2)画直线,使直线斜率分别为:

解(i)从点(3,2)开始,向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到点(7,5)，则过点(3,2)和(7,5)的直线即为所求.

(ii)从点(3,2)开始,向右平移1个单位,再向下平移1个单位,得到点(4,1)，则过点(3,2)和(4,1)的直线即为所求.(或者,从点(3,2)开始,向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得到点(2,3)，则过点(3,2)和(2,3)的直线即为所求.)

师:通过本例,大家可以进一步理解直线斜率的几何意义．同学们还有其它画法吗?

生:还可以利用该直线斜率及已知点再求出另外一个点坐标．

师:很好,大家沿着他的思路,试试看．这样的点唯一吗?

生:不唯一,只要取一个即可,两点定线!

生:还可以利用该直线斜率计算出倾斜角.它的倾斜角为135°,过(3,2)作x轴的平行线,以(3,2)为顶点,逆时针方向旋转135°,所得到的直线就是．

师:同学们真是太了不起了．这些方法都很好,大家只要保持探究的精神,你一定会有意想不到的收获．

4. 课堂小结

本节课我们一起解决了“怎样刻画直线的倾斜程度”的问题,经历了直线的斜率和倾斜角概念的建构过程,感受了数形结合的思想在解析几何中应用．

三、教学感悟

1. 数学概念教学,要重形式,更要重本质

本节课是直线的斜率的概念教学课(新授课).当前概念教学课不少都是走过场，常常采用“一个定义,几项注意”的方式,在概念的背景引入上着墨不够或者“开门迟迟不见山”,没有给学生充分的概括本质特征的机会.还有用解题教学代替概念教学,学生在数学上耗费大量的时间和精力,结果对数学概念内涵、本质特征知之甚少．李邦河院士认为:数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!数学概念教学时,如果只重视形式而忽视对形式背后实质和内涵的挖掘,有可能造成“双基”失落的后果．数学概念的形成大体可以归纳如下:环境→感觉→知觉→表象→概念．将凝结在数学概念中的数学家的思维打开,以典型丰富的实例为载体,以问题导引的方式展开教学,层层铺垫,环环相扣,引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性,归纳得出数学概念．

2. 数学概念教学,要激发学生主动建构,更要发挥教师的主导作用

新课程倡导学生主动建构数学．当下很多数学课堂也很推崇学生自主学习, 主动发现,自主建构．但大多数情形却是:教师给学生足够的时间讨论交流,课堂看似很生动,也很热闹,教师倒是“闲人”一个．笔者认为,新课程所倡导的学生自主探究活动一定是在教师精心指导下的有意义的数学活动．

本节课,教师根据学生已有的生活经验和数学知识,以问题导引的形式展开教学,引导学生自主建构、完善概念．学生对刻画直线方向的选择是多元化:角度、坐标、比值等；教师在遵循学生自主选择基础上,不断追问,将粗略的感知细化为严格的定义．学生完成自主概念建构后,教师组织学生交流,相互评价、补充,完善直线的斜率和倾斜角的概念，引导学生明确两者的关系,强调不论一开始时选择几何量还是代数量刻画直线方向,最终需建立概念之间的联系,突出用代数量描述几何图形特征的解析几何方法.