基于双曲线模型的卡尔曼滤波法在建筑物沉降预测中的应用

陆付民　蒋廷耀

1　三峡大学三峡库区地质灾害教育部重点实验室，宜昌市大学路8号，443002 2　中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室， 徐州市大学路1号，221116 3　三峡大学计算机与信息学院，宜昌市大学路8号，443002



基于双曲线模型的卡尔曼滤波法在建筑物沉降预测中的应用

陆付民1,2蒋廷耀3

1三峡大学三峡库区地质灾害教育部重点实验室，宜昌市大学路8号，443002 2中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室， 徐州市大学路1号，221116 3三峡大学计算机与信息学院，宜昌市大学路8号，443002

摘要：利用最小二乘法求出双曲线模型的模型参数，将此参数看作带有动态噪声的状态向量，建立基于双曲线模型的卡尔曼滤波模型，对建筑物的沉降量进行预测。卡尔曼滤波过程中，模型的参数不断发生变化，增强了其适应观测数据的能力，从而减小了拟合误差。计算表明，用基于双曲线模型的卡尔曼滤波模型对建筑物的沉降量进行预测，误差较小，效果较为理想。

关键词：双曲线模型；卡尔曼滤波；动态噪声；沉降；预测

为了保证建筑物的安全运营，需要定期对建筑物进行沉降观测，获取沉降观测数据，建立拟合精度及预测精度较高的预测模型。双曲线模型将模型参数作为定值，在一定程度上限制了其适应观测数据的能力，因此拟合误差较大，预测效果不太理想。为了提高模型的拟合精度及预测效果，将双曲线模型的模型参数作为带有动态噪声的状态向量，建立基于双曲线模型的卡尔曼滤波模型，并以此为基础对建筑物的沉降量进行预测。算例表明，本文模型拟合误差较小，预测效果也较为理想。

1双曲线模型

双曲线模型可以写为[1]：

(1)

式中，S0为建筑物的初期沉降量，t 为观测时刻，a和b为双曲线模型的模型参数，St为t时刻建筑物的沉降量。

y=a+bt

(2)

根据沉降观测序列，由最小二乘法即可求出模型参数a和b，进而对建筑物的沉降量进行预测。

2卡尔曼滤波模型

离散线性系统的卡尔曼滤波模型的状态方程和观测方程分别为[2-10]：

(3)

(4)

式中，Xk和Lk分别为tk时刻的状态向量和观测向量，Φk+1,k为tk时刻至tk+1时刻的状态转移矩阵，Bk+1为tk+1时刻的观测矩阵，Ωk和Δk分别为tk时刻的动态噪声和观测噪声。

卡尔曼滤波模型的随机模型为[2-10]：

(5)

式中，E(Ωk)为Ωk的数学期望，E(Δk)为Δk的数学期望，cov(Ωk,Ωj)为Ωk与Ωj的协方差，DΩ(k)为Ωk的方差，cov(Δk,Δj)为Δk与Δj的协方差，DΔ(k)为Δk的方差，cov(Ωk,Δj)为Ωk与Δj的协方差，E(X0)为X0的数学期望，var(X0)为X0的方差，cov(X0,Ωk)为X0与Ωk的协方差，cov(X0,Δk)为X0与Δk的协方差。当j=k时，δkj=1 ；当j≠k时，δkj=0。

由状态方程、观测方程和随机模型，即可推出如下卡尔曼滤波方程[2-10]：

(6)

式中，I为单位矩阵，且

(7)

3基于双曲线模型的卡尔曼滤波模型

为了提高双曲线模型的拟合精度，将双曲线模型的参数a和b作为带有动态噪声的状态向量，用卡尔曼滤波法进行滤波，求出状态向量的最佳估值，最后进行建筑物沉降量的预测。为此，建立如下模型：

(8)

则式(8)变为：

(9)

式(9)即为相应的观测方程。为了便于卡尔曼滤

波，将Xk看作包含有动态噪声的状态向量，则有Xk+1=Xk+Ωk,即

(10)

式中，Φk+1,k=I，即Φk+1,k为单位矩阵。根据式(9)和式(10)，得出卡尔曼滤波模型的状态方程和观测方程：

(11)

根据式(11) 并顾及式(5)，由式(6)即可求出tk时刻a和b的滤波值，由a和b即可求出卡尔曼滤波模型的拟合值，进而求出沉降量的拟合值。

4算例

注：残差为模型的拟合值与观测值之差。

由表1可以看出，双曲线模型的残差相对较大，最大为0.924 mm，最小为-0.027 mm。而本文模型残差均小于0.33 mm，最大残差为0.328 mm，最小残差为0.004 mm，表明本文模型拟合精度较高。另外，本文模型正负残差基本各占一半，表明其具有随机性。

双曲线模型预测J6点2013-12的沉降量为23.608 mm，而J6点2013-12的沉降观测值为 24.03 mm，预测误差为-0.422 mm，预测误差相对较大；本文模型预测J6点2013-12的沉降量为24.211 mm，预测误差为0.181 mm，预测误差相对较小，预测效果较好。

5结语

本文将双曲线模型的模型参数作为状态向量，建立基于双曲线模型的卡尔曼滤波模型，并将该模型用于建筑物的沉降预测。结果表明，本文模型的适应性较强，建模精度及变形预测精度较高，预测效果较为理想。

参考文献

[1]陈刚. 建筑物沉降变形监测数据处理与预测方法研究[D].赣州:江西理工大学，2011(Chen Gang. Study about Data Processing and Forecast Method for Settlement Deformation Monitoring of Buildings[D]. Ganzhou：Jiangxi University of Science and Technology，2011)

[2]周乐韬，黄丁发，袁林果，等.网络RTK参考站间模糊度动态解算的卡尔曼滤波算法研究[J].测绘学报，2007，36(1)：37-42(Zhou Letao，Huang Dingfa，Yuan Linguo，et al. A Kalman Filtering Algorithm for Online Integer Ambiguity Resolution in Reference Station Network[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36(1)：37-42)

[3]崔希璋，於宗俦，陶本藻，等.广义测量平差[M].北京：测绘出版社，1992(Cui Xizhang，Yu Zongchou，Tao Benzao，et al. General Surveying Adjustment[M]. Beijing: Surveying and Mapping Press，1992)

[4]王正明，易东云. 测量数据建模与参数估计[M].长沙：国防科技大学出版社，1997(Wang Zhengming，Yi Dongyun. Modeling of Surveying Data and Parameter Estimation[M]. Changsha: National Defense Science and Technology University Press，1977)

[5]陆付民，何薪基.基于模型筛选法的卡尔曼滤波法在大坝变形分析中的应用[J].水电自动化与大坝监测，2003，26(4)：55-57(Lu Fumin，He Xinji. Application of Model Screening Based on Kalman Filter Method to Dam Deformation Analysis[J]. Hydropower Automation and Dam Monitoring，2003，26(4)：55-57)

[6]陆付民.模型优化法在滑坡变形分析中的应用[J].勘察科学技术，2003，21(2)：48-51(Lu Fumin. Application of the Model Optimization Method in the Landslide Deformation Analysis[J]. Investigation Science and Technology ，2003，21(2)：48-51)

[7]陆付民，李劲.顾及时间及开挖深度的卡尔曼滤波模型在建筑物变形分析中的应用[J].测绘通报，2012(2)：59-61(Lu Fumin，Li Jin. Application of Kalman Filter Model with the Time and Excavation Depth to Building Deformation Analysis[J]. Bulletin of Surveying and Mapping，2012(2)：59-61)

[8]陆付民. 基于AR(n)模型的卡尔曼滤波模型[J].数学的实践与认识，2007，37(19)：6-11(Lu Fumin.Kalman Filter Model Based on AR(n) Model[J]. Mathematics in Practice and Theory，2007，37(19)：6-11)

[9]徐亚明，刘冠兰，柏文峰.顾及基坑施工影响的地铁区间隧道结构卡尔曼滤波预测模型[J].武汉大学学报:信息科学版，2013，38(11) ：1 322-1 325(Xu Yaming，Liu Guanlan，Bai Wenfeng. Kalman Filter Model Considering Pit Construction Simulation Evaluation for Tunnel Deformation Prediction[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University，2013，38(11) ：1 322-1 325)

[10]高雅萍，冯晓亮. 离散性卡尔曼滤波在GPS变形监测数据处理中的应用[J].工程勘察，2006(7)：55-57(Gao Yaping，Feng Xiaoliang. Application of Discrete Kalman Filter in GPS Deformation Monitoring Data Processing[J]. Journal of Geotechnical Investigation and Surveying，2006(7)：55-57)

Foundation support:National Natural Science Foundation of China, No.41172298；Open Fund of Key Laboratory of Land Environment and Disaster Monitoring, NASMG, No.LEDM2013B03.

About the first author:LU Fumin，professor，majors in deformation monitoring and data processing，E-mail：lfm640929@ctgu.edu.cn.

Application of Kalman Filter Method Based on Hyperbolic Curve Model in the Settlement Forecast of Building

LUFumin1,2JIANGTingyao3

1Key Laboratory of Geological Hazards on Three Gorges Reservoir Area of Ministry of Education， hree Gorges University，8 Daxue Road，Yichang 443002，China 2Key Laboratory of Land Environment and Disaster Monitoring，NASMG,China University of Mining and Technology，1 Daxue Road，Xuzhou 221116，China 3Computer and Information College，Three Gorges University，8 Daxue Road，Yichang 443002，China

Abstract:We construct the hyperbolic curve model and then use the least square method to obtain its parameters. These parameters are regarded as state vectors to contain dynamic noises to erect a Kalman filter model based on the hyperbolic curve model. On the basis of this model we forecast settling amounts of the building. Since the parameters of the Kalman filter model change continuously, its ability to suit the observation data is increased, and the fitting error of the model is reduced. An example of calculation shows that the forecast error is small, and this suggests that it is best to use the Kalman filter model based on the hyperbolic curve model to forecast settling amounts of the building.

Key words:hyperbolic curve model; Kalman filter; dynamic noises; settlement; forecast

收稿日期：2015-06-11

第一作者简介：陆付民，教授，主要从事变形监测及其数据处理研究，E-mail：lfm640929@ctgu.edu.cn。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.011

文章编号：1671-5942(2016)06-0517-03

中图分类号：P258

文献标识码：A

项目来源：国家自然科学基金(41172298)；国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室开放基金(LEDM2013B03)。