三维动态趋势面模型在地面沉降分析中的应用

李广春　戴吾蛟,2　曾凡河,2　刘　斌

1　中南大学地球科学与信息物理学院，长沙市麓山南路932号，410083 2　湖南省精密工程测量与形变灾害监测重点实验室，长沙市麓山南路932号， 410083



三维动态趋势面模型在地面沉降分析中的应用

李广春1戴吾蛟1,2曾凡河1,2刘斌1

1中南大学地球科学与信息物理学院，长沙市麓山南路932号，410083 2湖南省精密工程测量与形变灾害监测重点实验室，长沙市麓山南路932号， 410083

摘要：在趋势面拟合模型的基础上考虑时间项，建立三维动态趋势面模型，并通过模拟数据验证模型的适用性，最后对南沙地区GPS沉降监测网数据进行分析。结果表明，三维动态趋势面模型可以反映区域沉降的整体时空变化趋势，并具有良好的时空插值效果。

关键词：动态趋势面拟合；地面沉降分析；时空插值

趋势面拟合作为一种空间拟合插值方法已经得到广泛的应用[1-5]。移动趋势面和多面函数方法是对常规趋势面方法的改进，其中移动趋势面方法需要确定移动区域半径，并且无法得到统一的模型[6]；多面函数方法依赖于核函数的选取和光滑因子的选定[7]。地面沉降过程是时空上的动态过程，其分析需要同时考虑时间和空间特性。三维动态趋势面模型是在空间趋势面拟合的基础上考虑时间项的趋势面拟合模型。本文利用此模型对GPS沉降监测数据进行拟合分析。

1三维动态趋势面

三维动态趋势面拟合模型是空间位置和时间的多项式函数，其实质是将多项式转换为多元线性回归模型，并利用最小二乘法估计参数。趋势面通常把实际地面沉降分解为趋势项和剩余项两个部分[8]。

1.1三维动态趋势面原理

三维趋势面拟合在空间趋势面拟合的基础上加入时间向量构造三维动态趋势面，以反映地面沉降的时间和空间变化情况。其多项式形式为：

(1)

式中，αijk(i、j=0,1,…,m;k=0,1,…,p)为多项式的系数，(x,y)为点的平面坐标，t为相应数据的观测时刻，ε为剩余项。对于沉降面比较简单的情况，平面坐标的阶次可以选用低阶；对于较复杂的沉降面，可以选择较高阶，但平面阶次的选择还应考虑平面采样点的个数。

一般将式(1)作为多元线性回归模型，利用最小二乘原理求解其系数。但式(1)中，各项的阶次不同可能导致各项数值的数量级不同，在参数估计的过程中可能出现病态的情况。对式(1)中的各项进行标准化处理，得：

(2)

式中，Zs为因变量标准化后的向量，Xs(i )为式(1)中各项标准化后的向量，bs为标准化后对应的多元线性回归系数。

利用最小二乘原理，求标准化后的式(2)的各项系数，使

(3)

求解式(3)，得到式(2)多元回归的系数：

(4)

1.2模型的显著性检验

趋势面拟合模型只是一种假设统计模型，因此在求得模型参数后，需要对模型进行统计检验，以检验模型及模型参数的显著性。

在线性回归分析中，模型的整体显著性检验一般是通过构建F统计量：

(5)

对模型的整体性检验只能检验模型是否显著。在模型显著的情况下，并不能保证模型中每个参数都是显著的，因此，还需要对模型参数进行统计检验。构建T统计量：

(6)

2模拟实验

为分析模型的适用性，生成4×4格网共16个点的动态趋势面，共500期数据。其中，4个顶点利用二次曲线得到，其余点的数据利用式(7)的反距离平方加权插值得到。对生成的趋势面加入方差为1的随机噪声，得到最终的模拟数据：

(7)

取模拟数据中15个点的前400期数据参与动态趋势面拟合，另外1个点作为检核点检验模型的空间预测效果。因模拟数据由二次曲线生成，模型的时间阶数定为2。由于有15个点的数据参与拟合，因此拟合模型的空间阶数最高为4阶。通过对2阶、3阶和4阶拟合模型的试算，确定空间阶次为3时拟合模型最优。

从图1可以看出，动态趋势面拟合模型对模拟数据拟合效果较好。图2和图3表明，模型对模拟数据时间和空间的预测曲线基本和模拟数据一致，但两者还是存在一定的差别，可能是模拟数据中的随机噪声对建模过程的影响所致。图4反映了模拟数据趋势面的时空变化，图中点表示模拟数据对应点位。对加入方差为4的随机噪声的模拟数据建模结果与噪声方差为1的模拟数据建模结果进行对比，结果见表1。可以看出，随机噪声的大小对模型建立有一定影响，随机噪声过大可能造成建模不准确。

3实例分析

对南沙地区GPS地面沉降监测网进行分析。监测网由4个双频监测点和7个单频监测点组成，其中两个双频监测点布设在山顶的岩石及具有深基桩的房顶上，其余监测点布设在地面或未有深基桩的房顶上。

选取监测网中的GD01～GD11共11个监测点2012-08-26～2013-08-26共366期的数据进行分析，其中观测数据以GD05点为基准解算得到。因GD11点的数据缺失较多，将其作为检验点不参与拟合建模，选取其余10个监测点前300期数据参与动态趋势面拟合。首先利用3倍中误差法剔除粗差，利用线性插值插补缺失值，对数据进行预处理。建模过程中，以2012-08-01为时间起点，以a为单位，平面坐标以GD05监测点为基准，以km为单位。

共有10个监测点数据参与模型拟合，因此空间阶次最高为3。通过对不同时间和空间阶次模型的试算，对拟合的残差中误差进行对比。由表2可知，空间阶次为3、时间阶次为1时，模型效果最优。对此模型进行拟合，通过F-检验和T-检验，得到最终的动态趋势面模型为：

Z=9.165x-5.619y-16.9xt-5.14yt+

0.357xy+3.728x2t-0.2x3t+

0.755y2t-0.54y3t-1.979x2+

0.631x2yt+5.741xyt-0.009

(8)

通过模型(8)得到对沉降数据的拟合中误差为5.24 mm。从图5中GD09点的拟合效果可以看出，模型的拟合曲线处于观测数据的中间位置，说明拟合效果较好，但由于观测数据中存在较大的噪声，使得拟合中误差较大。在模型的时间预测(外推)中，各监测点的平均预测中误差为6.35 mm，对GD11点的空间预测中误差为9.82 mm。从图6和图7中预测曲线与实际观测值的比较可以发现，模型的预测值基本位于观测数据序列的中间，说明得到的模型基本符合沉降变化的趋势和规律。预测的统计精度较差，可能与观测数据质量较差有关。

图8给出了模型2013-02-25拟合趋势面的等值线图。可以看出，各个监测点的观测数据与拟合趋势面非常接近，但在监测点控制区域外,趋势面的变化较大。说明在监测点的内部，动态趋势面模型可以很好地拟合地表形变趋势，但其空间外推能力较差。观测数据中随机噪声较大，对所建模型也存在一定的影响。GD01和GD11点的观测数据与趋势面差别较大，可能是受观测数据噪声的影响，也有可能是区域中存在局部的趋势特征，通过整体的趋势拟合无法体现,需要对其局部特征进一步分析。

本文依次给出2012-12-03、2013-03-13、2013-06-21和2013-08-21时间点对应的空间拟合效果图，见图9。可以看出，在监测点的控制区域内可以反映时空上的沉降变化趋势。由于三维动态趋势面是连续光滑曲面，在监测点的控制区域之外，趋势面并不能准确反映其沉降趋势。

4结语

动态趋势面模型通过寻找地面沉降量与测点坐标和时间的关系，对区域地表形变的整体趋势进行拟合，得到地面沉降的时空变化趋势。相对于单点的时间序列分析和趋势面模型，其同时考虑区域的时空趋势，建立了统一的模型。但动态趋势面模型是对区域的整体趋势进行拟合分析，不能体现区域的局部趋势特征，而且模型只是得到了区域的整体趋势部分，对剩余部分是否还存在一定的规律特征需要进一步研究。

参考文献

[1]张菊青，刘平芝．抗差趋势面与正交多面函数结合拟合DEM数据[J]．测绘学报，2008,37(4)：526-530 (Zhang Juqing, Liu Pingzhi.Combining Fitting Based on Robust Trend Surface and Orthogonal Multi-Quadrics with Application in DEM Fitting[J]. Acta Geodaetica et Cartographica, 2008,37 (4): 526-530)

[2]张子昕，周强波．空间插值算法在GIS中的应用[J].测绘与空间地理信息，2015,38(2):103-107(Zhang Zixin, Zhou Qiangbo. Application of the Spatia Interpolation Methods in GIS[J].Geomatics & Spatial Information Technology, 2015,38(2):103-107)

[3]周明明，王山东，王璐．基于二次曲面及多面函数的GPS高程拟合研究[J]．计算机与数字工程，2014, 42(2):315-318 (Zhou Mingming, Wang Shandong, Wang Lu. GPS Height Fitting Based on Conicoid Function and Multi-Faceted Function[J]. Computer & Digital Engineering, 2014, 42(2):315-318)

[4]王秋玲．趋势面拟合法在土地勘测中的应用[J]．城市勘测, 2014(5):140-142(Wang Qiuling. Application of Trend Face Simulation Method to Land Survey[J]. Urban Geotechnical Investigation & Surveying,2014(5):140-142)

[5]薛付忠，王洁贞．三维自回归趋势面模型在疾病时空动态分析中的应用[J].中国卫生统计，1999,16(6)：338-341(Xue Fuzhong, Wang Jiezhen. Studying the Space-Time Dynamic of Disease Using Tri-Dimensional Auto-Regression Trend Surface Model[J]. Chinese Journal of Health Statistics,1999,16(6):338-341)

[6]段滔，刘耀林.基于移动趋势面分析法的城市基准地价评估研究[J].武汉大学学报：信息科学版,2004, 29(6):529-532(Duan Tao, Liu Yaolin.Urban Base Land Value Evaluation Based on Mobile Trend Surface Analysis[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2004, 29(6):529-532)

[7]刘万林,郭岚,王利.多面函数法与移动法的加权综合模型在GPS水准中的应用[J]. 西安科技大学学报, 2004, 24(3):310-312 (Liu Wanlin, Guo Lan, Wang Li. Application of Combining Multisurface Function and Movement Method in GPS Leveling[J].Journal of Xi’an University of Science and Technology, 2004, 24(3):310-312)

[8]康志军．地层趋势面拟合与DEM建模[D]．太原:太原理工大学，2007(Kang Zhijun. Stratum Tred Surface Fitting and DEM Modeling[D]. Taiyuan: Taiyuan University of Technology, 2007)

Foundation support:National Key Basic Research Program of China, No. 2013CB733303；Fundamental Research Fund for Central South University,No.2015zzts252.

About the first author:LI Guangchun，postgraduate, majors in deformation monitoring and analysis,E-mail: 284853319@qq.com.

Application of Three-Dimensional Dynamic Trend Surface Fitting Model on Land Subsidence

LIGuangchun1DAIWujiao1,2ZENGFanhe1,2LIUBin1

1School of Geosciences and Info-Physics, Central South University,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China 2Key Laboratory of Precise Engineering Surveying & Deformation Disaster Monitoring of Hunan Province ,932 South-Lushan Road,Changsha 410083,China

Abstract:This article takes time of observation into account on trend surface fitting, as a dynamic trend surface fitting model. The land subsidence data from the GPS monitoring system of Nansha is analyzed using the dynamic trend surface model. Our results indicate that the model could reflect the overall tendency of the settlement and have good spatial interpolation effects.

Key words:dynamic trend surface fitting; land subsidence analysis; spatio-temporal interpolation

收稿日期：2015-06-30

第一作者简介：李广春，硕士生，主要从事变形监测与分析研究，E-mail：284853319@qq.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.009

文章编号：1671-5942(2016)06-0508-05

中图分类号：P258

文献标识码：A

项目来源：国家973计划(2013CB733303)；中南大学研究生自主探索创新项目(2015zzts252)。