灰线性加权非等距GM(1,1)形变预测模型

李克昭　李志伟　丁安民　孟福军

1　河南理工大学测绘与国土信息工程学院，焦作市世纪路2001号，454000 2　北斗导航应用技术协同创新中心，郑州市科学大道62号，450001 3　塔里木大学水利与建筑工程学院，阿拉尔市虹桥南路705号，843300



灰线性加权非等距GM(1,1)形变预测模型

李克昭1,2李志伟1丁安民1孟福军3

1河南理工大学测绘与国土信息工程学院，焦作市世纪路2001号，454000 2北斗导航应用技术协同创新中心，郑州市科学大道62号，450001 3塔里木大学水利与建筑工程学院，阿拉尔市虹桥南路705号，843300

摘要：结合加权非等距GM(1,1)模型与线性回归理论，构建灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型，并给出对模型预测精度起决定性作用的灰指数v和参数m的优化方法。与加权非等距GM(1,1)模型和线性回归预测模型相比，灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型的精度更高，预测有效时间更长，模型的稳定性更好。优化v和m后，灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型的实用性、稳定性进一步提高。

关键词：加权非等距GM(1,1)；线性回归；灰指数v；参数m；变形监测

灰色系统理论可为实测数据有限的建筑物的变形不确定性问题提供新的预测理论支持。用于沉降变形监测的传统灰色预测模型主要有灰色GM(1,1)模型[1]、优化的灰色GM(1,1)模型[2-3]、灰色人工神经网络模型[4]、灰色-马尔科夫预测模型[5]以及灰色组合模型[6-8]等。这些模型都是基于等距时间序列建立的，但在实际的变形监测工作中，时间序列往往是非等距的。基于此，一些学者构建了非等距灰色预测模型，并取得了一定的成果[9-11]。非等距灰色预测模型的预测精度有大幅提高，但依然易受建模数据随机扰动的影响，且模型的稳定性较差。线性回归预测模型对短中期的预测能够取得非常好的效果，具有一定的抗扰动能力。本文从加权非等距GM(1,1)的建模原理入手，结合线性回归理论建立灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型，并将其应用于某建筑物变形监测中，进行预测验证与比较分析。

1基于加权非等距GM(1,1)和线性回归理论的预测模型

1.1加权非等距GM(1,1)模型

假设一组非负原始数据序列，记为X(0)：

(1)

式中，tn为观测时刻，X(0)(tn)为tn时刻的观测值。

对原始数据X(0)序列进行一次累加，生成的累加数据序列记为X(1)：

(2)

参考文献[9-11]，利用最小二乘原理计算可得加权非等距GM(1,1)的预测方程为： [7-8]，由灰色GM(1,1)预测方程可得：

(3)

最后，恢复时间序列，还原预测值：

(4)

1.2灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型

(5)

(6)

式中，a1为发展系数，b1为灰作用量。式(6)可记为：

(7)

(8)

式中，参数v、m1、m2、m3为待定系数，为确定的4个参数。设参数序列：

(9)

由式(9)可求得参数v的解为：

v=ln(Ym(t+1)/Ym(t))

(10)

(11)

将式(11)的计算结果进行一次累减，还原时间序列，生成原始序列X(0)的拟合值和预测值。由式(11)可知，当m1=0时，该预测方程为线性回归方程；当m2=0时，该预测方程为传统的GM(1,1)预测方程。灰线性加权非等距GM(1,1)模型使加权非等距GM(1,1)模型中不含线性因素以及线性回归中不含指数增长趋势的情形得

到很好的改善。

2实例计算与分析

以文献[8]中居民楼1栋CJ1沉降点的沉降累计观测数据为例(表1)，利用前8期沉降数据构建灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型，预测第9～13期沉降数据，并与加权非等距GM(1,1)预测模型、线性回归预测模型进行比较(表2)。

2.1数据计算与分析

从表2可以看出，灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型的预测值残差中误差远小于加权非等距GM(1,1)和线性回归预测模型。加权非等距GM(1,1)和线性回归预测模型在短期内预测效果较好，但随着预测时间的增加，预测效果越来越来差。相比而言，灰线性加权非等距GM(1,1)预测模型精度更高，稳定预测时间更长。

2.2m、v取值对模型预测精度的影响

由表4和表5可知，对于建模数据n=7，当m=1，2，3，4时，该模型的预测拟合值精度最优；对于n=8，当m=1,2,3,4,5时，该模型的预测拟合值精度最优。m的取值随着建模数据维数的不同而变化，但并非m值越大，模型的预测精度就越高。由于各个建模数据具有一定的随机扰动性，因此，在实际建模过程中，应根据建模数据的不同进行讨论，并计算出最优的预测模型。

2.3预测结果分析

n值不同，模型的预测精度也不相同，预测精度的不同是因为不同的建模条件对模型系统特征的影响不同。由表4和表5可知，当n=7,m=1，2，3，4时，该模型在n=7条件下预测精度最优；当n=8,m=1,2,3,4,5时，该模型在n=8条件下预测精度最优。将两种模型都进行5期预测，结果见表6。

从表6看出，当n=8,m=1,2,3,4,5时，该模型最适合原始的建模数据，模型的预测精度最高，残差中误差为1.900 5 mm，同时证明了该预测模型具有预测精度高、预测周期长的优势。所以，在模型建立时，应根据建模数据的不同进行讨论，建立最优的预测模型。

3结语

[1]李年奇,张俊中. GM(1，1)模型在建筑物变形监测中的应用[J]. 测绘与空间地理信息,2013,36(8):258-260(Li Nianqi, Zhang Junzhong. Application of GM(1,1) Forecast in the Deformation of Building[J]. Geomatics & Spatial Information Technology, 2013,36(8):258-260)

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Foundationsupport:NationalNaturalScienceFoundationofChina,No. 41202245, 41272373;BackboneTeacherFoundationofHenanPolytechnicUniversity,No.72105/090.

Aboutthefirstauthor:LIKezhao,PhD,associateprofessor,majorsinsatellitepositioningandvisionnavigationtheory,E-mail:lkznwpu@126.com.

Deformation Prediction Model of Gray Line Weighted Non-Equidistance GM(1,1)

LIKezhao1,2LIZhiwei1DINGAnmin1MENGFujun3

1School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, 2001 Shiji Road, Jiaozuo 454000, China 2Collaborative Innovation Center of BDS Research Application, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 3College of Water Resources and Architectural Engineering, Tarim University, 705 South-Hongqiao Road, Alar 843300, China

Abstract:On the basis of weighted non-equidistance GM(1,1) and line regression theories, we combined a weighted non-equidistance GM(1,1) model with line regression theory organically, and propose

thegraylinearweightednon-equidistanceGM(1,1)model.Thentheoptimizationmethodofthegrayindexvandthevalueofparameterm,whicharevitaltothemodelpredictionaccuracy,isgiven.Incomparisonwiththeweightednon-equidistanceGM(1,1)andlineregressionmodels,thegraylinearweightednon-equidistanceGM(1,1)modelhasadvantages,suchashigherpredictionaccuracy,morevalidpredictiontime,andmorestablepredictionability.Whenvandmareoptimized,theapplicabilityandstabilityofthegraylinearweightednon-equidistanceGM(1,1)modelisfurtherimproved.

Keywords:weightednon-equidistanceGM(1,1);lineregression;greyindexv;parameterm;deformationmonitoring

收稿日期：2015-09-22

第一作者简介：李克昭，博士，副教授，主要从事卫星定位和视觉导航的理论研究，E-mail: lkznwpu@126.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.010

文章编号：1671-5942(2016)06-0513-04

中图分类号：P258

文献标识码：A

项目来源：国家自然科学基金(41202245，41272373)，河南理工大学骨干教师资助项目(72105/090)。