产出导向：指向未来的数学核心知识教学

【摘要】在“互联网+”时代，一个人最需要具备独立获取知识、批判性思考和问题解决等关键能力，以及其他适应未来社会发展和个人发展的必备品格。数学教育应该精选数学核心知识，着眼于学生学习“产出”来组织教学活动，引导学生创生数学知识，联结数学知识，应用数学知识，促进学生深度理解和灵活迁移，提升其以高阶思维能力和学习力为核心的学科素养。

【关键词】数学核心知识；产出导向；创生知识；联结知识；应用知识

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）21-0012-03

【作者简介】魏光明，南京市中华中学附属小学（南京，210019）副校长，高级教师，南京市“基础教育专家”培养对象，江苏省数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象。

“互联网+”时代已经悄然到来，知识和信息呈几何级数增加，更新和消亡的速度也明显加快，我们通过计算机或者移动终端等工具可以轻易地获得知识和信息。在这样的时代，每个人最需要的不再是简单占有大量知识，而是具备独立获取知识、批判性思考和问题解决等关键能力，以及其他适应未来社会发展和个人发展的必备品格，或者说是核心知识、关键能力和必备品格三位一体的核心素养。相应地，当下的教育包括数学教育就应该思考学生需要学习怎样的知识以及怎样学习这些知识，才能让他们凭借学习形成的素养，从容地走向未来、适应未来并拥有一个可持续发展的未来。从这个意义上说，我们应该精选数学核心知识，着眼于学生“产出”学习成果来组织教学活动，促进学生深度理解、灵活迁移和主动应用，提升其高阶思维能力和学习力。本文拟结合实例，谈谈基于“产出”导向的数学核心知识教学的一些做法和思考。

一、基于需要，自然创生数学知识

解决实际问题的需要，解释生活现象的需要，其他学科发展的需要，都会促使新的数学知识不断产生。教学数学核心知识，可以创设一个在解决问题或解释生活现象时遭遇困难、产生冲突的真实情境，促使学生自然而然地产生创生新知识的需要，并基于已有经验和知识，完整地经历创生新知识的过程。例如：教学苏教版四上《认识平均数》一课，可以这样引导学生建构“平均数”的概念：

出示小红套圈成绩统计图：小红三次均套中6个。

师：你能用一个数来表示小红比赛成绩的整体水平吗？

生1：可以用18来表示。

生2：好像也可以用6来表示。

师：能不能说说你们的想法？

生1：把小红三次套中的个数加起来就是18。

生2：小红三次都套中6个，所以我想用6来表示。

师：有道理！看来我们可以用18来表示，也可以用6来表示。

出示小军套圈成绩统计图：小军第一次套中3个，第二次8个，第三次4个。

师：你也能用一个数来表示小军比赛成绩的整体水平吗？

学生的意见几乎一边倒，认为可以用小军三次套中的个数之和15来表示。

师：用8来表示可以吗？用4或3呢？为什么？

大多数学生认为小军三次套中的个数不一样，用其中一次的个数来表示他比赛成绩的整体水平不合适。此时，出示小华套圈成绩统计图：小华第一次套中3个，第二次8个，第三次2个，第四次3个。

师：小华说他一共套中16个，比小军的水平高，他说得对吗？为什么？

学生一致表示反对。此时，教师呈现两个问题，引发学生思考、讨论和争辩：（1）能不能也用这样的数（指着板书的表示小红整体水平的“6”）来表示小军的整体水平呢？（2）如果可以，你有什么办法得到这样的数？

通过讨论和交流，学生很快认识到可以用“5”来表示小军的比赛成绩，并找到了得出这个结果的不同方法。至此，感悟“平均数”的意义、理解求一组数据的平均数的方法水到渠成。

从上述教学可以看出，教师没有回避学生已有的用“和”来表示一组数据的整体水平的经验，而是让学生经历多次认知冲突，逐步认识到“比赛次数不同，用‘和来表示各自成绩的整体水平”不合理，自然而然地产生寻找一个合适的数来表示一组数据的整体水平的需求，并在后续学习中顺势生长出“先求和再平均分”的方法。学习是一种模仿，更是一种创造。事实上，在进入并喻文化特别是后喻文化时代以后，学生已经悄然成为知识的创生者、贡献者和分享者。我们需要顺应这种变化，充分解放学生，让学生走到前台，利用已有的知识、经验、技能和方法，按照自己的理解和习惯去探索、去发现、去表达，进而创造出独特的、有意义的、属于学生个体世界的知识，并通过相互交流和教师点拨，建构客观、完善的精准知识。持续进行这样的教学，每一个学生都可能成为深度参与的创客和学习者，并在创造的过程中更加深刻地理解知识，学会学习，学会创造。

二、着眼生长，深度联结数学知识

研究表明：碎片化知识容易受到其他知识的干扰和挤压而很快遗忘，高度依赖经常复习和反复练习进行强化，而一旦知识之间产生关联，实现结构化，则能进入长时记忆，且易于激活和提取，便于迁移和应用。因而，数学教学应该引导学生学会根据知识之间的相似性或相关性，借助知识本质、逻辑关系、数学思想和思维方法的一致性，建立多向度、深层次的关联，促进知识结构化和系统化。这里以苏教版五下“分数的意义和性质”单元结束后一道习题（对教材原题数据作了调整）的处理为例：

一块花布长6米，正好可以做5条同样大小的童裤。每条童裤用布几分之几米？（结果用带分数表示）

明晰思路、解决问题、交流互动之后，教师呈现以下一组习题，让学生观察、比较和判断：（1）一块花布长60米，正好可以做50条同样大小的童裤。每条童裤用布几分之几米？（2）一块花布长600米，正好可以做500条同样大小的童裤。每条童裤用布几分之几米？（3）一块花布长6000米，正好可以做5000条同样大小的童裤。每条童裤用布几分之几米？

师：先读一读题目，再想一想，哪种情况下每条童裤用布米数最多？

生1：花布长6000米的时候。

生2：这几种情况下每条童裤用布米数一样多。

师：哪一种答案是正确的呢？可以怎样验证？

大多数学生倾向于“每条童裤用布米数一样多”的结论，并通过计算验证了结论的正确性。

师：不计算，你也能解释为什么每条童裤用布米数一样多吗？

生1：根据商不变的规律。

生2（指着黑板上板书的几道除法算式）：从上往下看，被除数和除数同时乘10、100、1000，商不变。

师：有道理！用以前学过的知识解释、证明新知识的合理性是个好习惯。以前在运用商不变的规律进行简便计算时，我们会发现商相等，但是余数不同。这是不是和大家刚刚发现的“每条童裤用布米数一样多”相互矛盾呢？谁能来解释一下？

生：我是这样想的。剩下的布也必须分完，第一题剩下1米，平均每条裤子还可以分得1/5米，合起来就是11/5米……

在上述教学中，我们由解决一道题目，引出一组题目的比较，借助分数和除法的关系、分数的基本性质，引导学生认识到以前带有余数表示的并不是除法计算的精确答案，并从新的视角理解了商不变的规律，打通了有余数的除法与一般除法之间的通道。学习最重要的任务之一，就是建立知识之间的深度关联，形成良好的认知结构。联结越多，结构化程度越高，知识的活跃度就越高，迁移性就越强，也就越有助于学生解释、消除先前学习中遇到的疑问，预测、探索和研究后续将要学习的新知识。在教学中，我们应该具有整体视野，引导学生通过观察、比较、分析和推理，去识别具体情境中不同知识之间的关联，感悟所学知识与个体经验、相关背景、具体情境甚至现实生活之间的关联，明晰解决同一问题的多种方法、多种路径以及答案的多种表征形式之间的关联，了解算理和算法、实物操作、表象操作和心智操作之间的关联。在此基础上，引发知识借势生长和有序整理，并依托核心知识的丰富内涵建立多元联结，实现知识的纵向贯通和横向联通，增强认知结构的生长活力和吸附能力，让学生知道知识从哪里来又到哪里去以及可以怎样去，学会关联性和系统化思考，学会从新的视角、采用新的方法建立新的联结，学会从已知的领域和熟悉的世界出发去推测和探索未知世界，提升可持续发展的学习力和思考力。

三、关注价值，主动应用数学知识

主动应用知识解决问题属于高阶思维活动，也是一种重要的、指向未来的、作为全球公民所必需的可迁移能力，是一个人具有可持续学力的重要标志。对数学教学而言，学以致用、解决问题是一项重要的目标和任务。在教学中，要适度放大知识应用环节，让学生逐步学会在新情境中或面对新问题时应用所学的知识，或解释日常生活现象，或推断事情发展趋势，或验证新的猜想和规律，或解决简单实际问题直至生活中的真实问题。例如：苏教版五上拓展课程“分段计费”，可以这样教学：

在探究、建立出租车“分段计费”的模型之后，让学生独立解决这道题——某地出租车的收费标准是：3千米以内11元，超过3千米的部分，每千米收费2.4元（不足1千米的按1千米计算）。王老师从家打车去学校，一共付费18.2元。王老师家到学校的路程是多少千米？

生1：先算18.2-11=7.2（元），再算7.2÷2.4=3（千米），最后算3+3=6（千米）。

生2：18.2元包括起步价和超过起步价两个部分，所以，王老师家到学校的路程也可以分成两段。

教师顺势在线段图上标注出两个“3千米”。这一做法得到绝大多数学生的认可，只有少数学生有些摇摆不定。

师（指着其中一个犹豫不决的学生）：和大家分享一下你的想法，好吗？

生3：我认为最后1千米也有可能没有走完。

师（指着线段图）：为什么最后1千米也有可能没有走完呢？再读一读题目，看看有没有道理。

不少学生根据“不足1千米的按1千米计算”这一条件，认识到“最后1千米有可能没有走完”。

师：如果是这样的情况，你们认为王老师家到学校的路程是多少千米呢？

生1：我认为只要超过5千米就行了。

生2：应该是超过5千米，最多是6千米。

师：看来，用数学知识解决问题必须考虑生活中的实际情况。

生1：等红灯时间长了，出租车也要计费的。

生2：在路上堵车时间长了，也是要计费的。

生3：超过一定的路程，还要加收返程费用。

学生没有囿于应用学到的知识求出一个所谓的标准答案，而是发散开去，联系生活中的一些常识和规定，对问题进行多元分析。我们知道，不与学生的生命、生活发生联系的教育是缺乏活力的，最好的学习就是以用促学，在实践和应用过程中学习的知识才是最有力量的知识。在教学中，应该鼓励学生以已有经验为支点，以所学知识为工具，主动尝试从数学的视角去分析和解释生活现象，借数学工具去探索和解决新的数学问题与实际问题。在具体操作中，可以从解释简单的生活现象逐步过渡到解释复杂的生活现象，从解决简单的实际问题逐步过渡到解决复杂的实际问题，从解决确定的良构问题逐步过渡到解决不确定的劣构问题，逐步提高学生应用知识的能力，使他们养成主动应用知识的习惯，进而逐步增强他们应对未来挑战、探求未知领域和陌生世界的能力。

需要注意的是，人都是借助各种感官间接地联系外部世界，学习“产出”出现偏差、迷思或错误在所难免。因此，关注学生反思意识和质疑能力的培养，让他们对认知过程和思维结果保持一种自觉的、内在的觉察、反省、评估和怀疑，就显得尤为重要，这是保证“产出”质量和品质的有力保障。

实践证明，着眼于“产出”的学习，学生的注意力更集中，认知加工更深入，参与程度更高。我们应将学习的主动权还给学生，将知识的“产出权”赋予学生，让他们在与教材、与生活、与教师、与同伴、与自己对话的过程中，建构并分享知识的意义世界，通过数学学会思维，学会创造，学会接受挑战，实现知识学习与人的整体发展相统一。

【参考文献】

[1]文秋芳.构建“产出导向法”理论体系[J].外语教学与研究，2015（7）：547-558.

[2]魏光明.长程设计：关注阶段性和一致性[J].江苏教育（小学教学），2014（5）：57-58.

[3]魏光明.让质疑真实地发生——试谈学生质疑能力的培养路径[J].江苏教育研究，2014（2）：43-47.